Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem75 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem75 40899
Description: Given a piecewise smooth function 𝐹, the derived function 𝐻 has a limit at the lower bound of each interval of the partition 𝑄. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem75.xre (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem75.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem75.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem75.x (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑉)
fourierdlem75.y (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
fourierdlem75.w (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
fourierdlem75.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem75.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem75.v (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem75.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
fourierdlem75.q 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
fourierdlem75.o 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem75.g 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem75.gcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
fourierdlem75.e (𝜑𝐸 ∈ ((𝐺 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
fourierdlem75.a 𝐴 = if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐸, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem75 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ∈ ((𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝐻,𝑠   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑀,𝑠,𝑖   𝑄,𝑖,𝑝   𝑄,𝑠   𝑅,𝑠   𝑖,𝑉,𝑝   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠   𝑖,𝑋,𝑚,𝑝   𝑋,𝑠   𝑌,𝑠   𝜑,𝑖,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐴(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝑃(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐸(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐹(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐺(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝐻(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑂(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝑉(𝑚)   𝑊(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑌(𝑖,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem75
Dummy variables 𝑥 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem75.xre . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
21ad2antrr 764 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
3 fourierdlem75.v . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
4 fourierdlem75.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
5 fourierdlem75.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
65fourierdlem2 40827 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑉 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
74, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑉 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
83, 7mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑉 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))))
98simpld 477 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)))
10 elmapi 8043 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
1211adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
13 fzofzp1 12757 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
1413adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
1512, 14ffvelrnd 6521 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
1615adantr 472 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
17 eqcom 2765 . . . . . . 7 ((𝑉𝑖) = 𝑋𝑋 = (𝑉𝑖))
1817biimpi 206 . . . . . 6 ((𝑉𝑖) = 𝑋𝑋 = (𝑉𝑖))
1918adantl 473 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑉𝑖))
208simprrd 814 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))
2120r19.21bi 3068 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))
2221adantr 472 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → (𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))
2319, 22eqbrtrd 4824 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → 𝑋 < (𝑉‘(𝑖 + 1)))
24 fourierdlem75.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
2524adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
26 ioossre 12426 . . . . . . 7 (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ
2726a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
2825, 27fssresd 6230 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):(𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
2928adantr 472 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):(𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
30 limcresi 23846 . . . . . . . 8 ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ⊆ (((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑋)
31 fourierdlem75.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
3230, 31sseldi 3740 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑋))
3332adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑌 ∈ (((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑋))
34 pnfxr 10282 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
3534a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → +∞ ∈ ℝ*)
3615rexrd 10279 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
3715ltpnfd 12146 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) < +∞)
3836, 35, 37xrltled 39983 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ≤ +∞)
39 iooss2 12402 . . . . . . . . 9 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑉‘(𝑖 + 1)) ≤ +∞) → (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝑋(,)+∞))
4035, 38, 39syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝑋(,)+∞))
4140resabs1d 5584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))))
4241oveq1d 6826 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑋))
4333, 42eleqtrd 2839 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑋))
4443adantr 472 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → 𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑋))
45 eqid 2758 . . . 4 (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))) = (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))))
46 ax-resscn 10183 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
4746a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
4824, 47fssd 6216 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
49 ssid 3763 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℝ
5049a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
5126a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
52 eqid 2758 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5352tgioo2 22805 . . . . . . . . . . 11 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
5452, 53dvres 23872 . . . . . . . . . 10 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))))
5547, 48, 50, 51, 54syl22anc 1478 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))))
56 fourierdlem75.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
5756eqcomi 2767 . . . . . . . . . 10 (ℝ D 𝐹) = 𝐺
58 ioontr 40237 . . . . . . . . . 10 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))
5957, 58reseq12i 5547 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))) = (𝐺 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
6055, 59syl6eq 2808 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))) = (𝐺 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))))
6160adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))) = (𝐺 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))))
6261dmeqd 5479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))) = dom (𝐺 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))))
6362adantlr 753 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))) = dom (𝐺 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))))
64 fourierdlem75.gcn . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
6564adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → (𝐺 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
66 oveq1 6818 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉𝑖) = 𝑋 → ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) = (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
6766reseq2d 5549 . . . . . . . . . 10 ((𝑉𝑖) = 𝑋 → (𝐺 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = (𝐺 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))))
6867feq1d 6189 . . . . . . . . 9 ((𝑉𝑖) = 𝑋 → ((𝐺 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ ↔ (𝐺 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ))
6968adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → ((𝐺 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ ↔ (𝐺 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ))
7065, 69mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → (𝐺 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
7166adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) = (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
7271feq2d 6190 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → ((𝐺 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ ↔ (𝐺 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):(𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ))
7370, 72mpbid 222 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → (𝐺 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):(𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
74 fdm 6210 . . . . . 6 ((𝐺 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):(𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom (𝐺 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
7573, 74syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → dom (𝐺 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
7663, 75eqtrd 2792 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))) = (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
77 limcresi 23846 . . . . . . . 8 ((𝐺 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ⊆ (((𝐺 ↾ (𝑋(,)+∞)) ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑋)
78 fourierdlem75.e . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ((𝐺 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
7977, 78sseldi 3740 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ (((𝐺 ↾ (𝑋(,)+∞)) ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑋))
8079adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐸 ∈ (((𝐺 ↾ (𝑋(,)+∞)) ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑋))
8140resabs1d 5584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐺 ↾ (𝑋(,)+∞)) ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = (𝐺 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))))
8260adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))) = (𝐺 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))))
8381, 82eqtr4d 2795 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐺 ↾ (𝑋(,)+∞)) ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = (ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))))
8483oveq1d 6826 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐺 ↾ (𝑋(,)+∞)) ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑋) = ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))) lim 𝑋))
8580, 84eleqtrd 2839 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐸 ∈ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))) lim 𝑋))
8685adantr 472 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → 𝐸 ∈ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))) lim 𝑋))
87 eqid 2758 . . . 4 (𝑠 ∈ (0(,)((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)) ↦ ((((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠)) = (𝑠 ∈ (0(,)((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)) ↦ ((((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
88 oveq2 6819 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑠 → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + 𝑠))
8988fveq2d 6354 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑠 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑥)) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠)))
9089oveq1d 6826 . . . . 5 (𝑥 = 𝑠 → (((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑥)) − 𝑌) = (((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌))
9190cbvmptv 4900 . . . 4 (𝑥 ∈ (0(,)((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)) ↦ (((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑥)) − 𝑌)) = (𝑠 ∈ (0(,)((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)) ↦ (((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌))
92 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 𝑠𝑥 = 𝑠)
9392cbvmptv 4900 . . . 4 (𝑥 ∈ (0(,)((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)) ↦ 𝑥) = (𝑠 ∈ (0(,)((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)) ↦ 𝑠)
942, 16, 23, 29, 44, 45, 76, 86, 87, 91, 93fourierdlem61 40885 . . 3 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → 𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)) ↦ ((((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠)) lim 0))
95 fourierdlem75.a . . . . 5 𝐴 = if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐸, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖)))
96 iftrue 4234 . . . . 5 ((𝑉𝑖) = 𝑋 → if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐸, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖))) = 𝐸)
9795, 96syl5eq 2804 . . . 4 ((𝑉𝑖) = 𝑋𝐴 = 𝐸)
9897adantl 473 . . 3 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → 𝐴 = 𝐸)
99 fourierdlem75.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
10099reseq1i 5545 . . . . . 6 (𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
101100a1i 11 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → (𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
102 ioossicc 12450 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
103 pire 24407 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℝ
104103renegcli 10532 . . . . . . . . . . 11 -π ∈ ℝ
105104rexri 10287 . . . . . . . . . 10 -π ∈ ℝ*
106105a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -π ∈ ℝ*)
107103rexri 10287 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ*
108107a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → π ∈ ℝ*)
109104a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → -π ∈ ℝ)
110103a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → π ∈ ℝ)
111104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
112111, 1readdcld 10259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
113103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → π ∈ ℝ)
114113, 1readdcld 10259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (π + 𝑋) ∈ ℝ)
115112, 114iccssred 40228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ)
116115adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ)
1175, 4, 3fourierdlem15 40840 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑉:(0...𝑀)⟶((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
118117ffvelrnda 6520 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
119116, 118sseldd 3743 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ)
1201adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
121119, 120resubcld 10648 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ)
122111recnd 10258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -π ∈ ℂ)
1231recnd 10258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
124122, 123pncand 10583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((-π + 𝑋) − 𝑋) = -π)
125124eqcomd 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -π = ((-π + 𝑋) − 𝑋))
126125adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → -π = ((-π + 𝑋) − 𝑋))
127112adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
128114adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (π + 𝑋) ∈ ℝ)
129 elicc2 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((-π + 𝑋) ∈ ℝ ∧ (π + 𝑋) ∈ ℝ) → ((𝑉𝑖) ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ↔ ((𝑉𝑖) ∈ ℝ ∧ (-π + 𝑋) ≤ (𝑉𝑖) ∧ (𝑉𝑖) ≤ (π + 𝑋))))
130127, 128, 129syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑉𝑖) ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ↔ ((𝑉𝑖) ∈ ℝ ∧ (-π + 𝑋) ≤ (𝑉𝑖) ∧ (𝑉𝑖) ≤ (π + 𝑋))))
131118, 130mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑉𝑖) ∈ ℝ ∧ (-π + 𝑋) ≤ (𝑉𝑖) ∧ (𝑉𝑖) ≤ (π + 𝑋)))
132131simp2d 1138 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (-π + 𝑋) ≤ (𝑉𝑖))
133127, 119, 120, 132lesub1dd 10833 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → ((-π + 𝑋) − 𝑋) ≤ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
134126, 133eqbrtrd 4824 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → -π ≤ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
135131simp3d 1139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑉𝑖) ≤ (π + 𝑋))
136119, 128, 120, 135lesub1dd 10833 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) ≤ ((π + 𝑋) − 𝑋))
137110recnd 10258 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → π ∈ ℂ)
138123adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → 𝑋 ∈ ℂ)
139137, 138pncand 10583 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → ((π + 𝑋) − 𝑋) = π)
140136, 139breqtrd 4828 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) ≤ π)
141109, 110, 121, 134, 140eliccd 40227 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) ∈ (-π[,]π))
142 fourierdlem75.q . . . . . . . . . . 11 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
143141, 142fmptd 6546 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
144143adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
145 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
146106, 108, 144, 145fourierdlem8 40833 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
147102, 146syl5ss 3753 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
148147resmptd 5608 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))))
149148adantr 472 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))))
150 elfzofz 12677 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
151 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
152142fvmpt2 6451 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑉𝑖) − 𝑋) ∈ (-π[,]π)) → (𝑄𝑖) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
153151, 141, 152syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑖) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
154153adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → (𝑄𝑖) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
155 oveq1 6818 . . . . . . . . . 10 ((𝑉𝑖) = 𝑋 → ((𝑉𝑖) − 𝑋) = (𝑋𝑋))
156155adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) = (𝑋𝑋))
157123ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℂ)
158157subidd 10570 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → (𝑋𝑋) = 0)
159154, 156, 1583eqtrd 2796 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → (𝑄𝑖) = 0)
160150, 159sylanl2 686 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → (𝑄𝑖) = 0)
161 fveq2 6350 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 → (𝑉𝑖) = (𝑉𝑗))
162161oveq1d 6826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑉𝑖) − 𝑋) = ((𝑉𝑗) − 𝑋))
163162cbvmptv 4900 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋)) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋))
164142, 163eqtri 2780 . . . . . . . . . 10 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋))
165164a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋)))
166 fveq2 6350 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝑉𝑗) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
167166oveq1d 6826 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝑉𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
168167adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) → ((𝑉𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
1691adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
17015, 169resubcld 10648 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
171165, 168, 14, 170fvmptd 6448 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
172171adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
173160, 172oveq12d 6829 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = (0(,)((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)))
174 simplr 809 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
175 fourierdlem75.o . . . . . . . . . . . . 13 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
1764adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 = 0) → 𝑀 ∈ ℕ)
177111, 113, 1, 5, 175, 4, 3, 142fourierdlem14 40839 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑄 ∈ (𝑂𝑀))
178177adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 = 0) → 𝑄 ∈ (𝑂𝑀))
179 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 = 0) → 𝑠 = 0)
180 fourierdlem75.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑉)
181 ffn 6204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑉:(0...𝑀)⟶((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) → 𝑉 Fn (0...𝑀))
182 fvelrnb 6403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑉 Fn (0...𝑀) → (𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑉𝑖) = 𝑋))
183117, 181, 1823syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑉𝑖) = 𝑋))
184180, 183mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑉𝑖) = 𝑋)
185159ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑉𝑖) = 𝑋 → (𝑄𝑖) = 0))
186185reximdva 3153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑉𝑖) = 𝑋 → ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = 0))
187184, 186mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = 0)
188121, 142fmptd 6546 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
189 ffn 6204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ → 𝑄 Fn (0...𝑀))
190 fvelrnb 6403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑄 Fn (0...𝑀) → (0 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = 0))
191188, 189, 1903syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (0 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = 0))
192187, 191mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ∈ ran 𝑄)
193192adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 = 0) → 0 ∈ ran 𝑄)
194179, 193eqeltrd 2837 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ran 𝑄)
195175, 176, 178, 194fourierdlem12 40837 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
196195an32s 881 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 = 0) → ¬ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
197196adantlr 753 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = 0) → ¬ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
198174, 197pm2.65da 601 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ¬ 𝑠 = 0)
199198adantlr 753 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ¬ 𝑠 = 0)
200199iffalsed 4239 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))
201160eqcomd 2764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → 0 = (𝑄𝑖))
202201adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 0 = (𝑄𝑖))
203 elioo3g 12395 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑠 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑄𝑖) < 𝑠𝑠 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
204203biimpi 206 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑠 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑄𝑖) < 𝑠𝑠 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
205204simprld 812 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑄𝑖) < 𝑠)
206205adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < 𝑠)
207202, 206eqbrtrd 4824 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 0 < 𝑠)
208207iftrued 4236 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑌)
209208oveq2d 6827 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌))
210209oveq1d 6826 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
2111rexrd 10279 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
212211ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
21336ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
214169ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
215 elioore 12396 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑠 ∈ ℝ)
216215adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
217214, 216readdcld 10259 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
218216, 207elrpd 12060 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ+)
219214, 218ltaddrpd 12096 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 < (𝑋 + 𝑠))
220215adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
221188adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
222221, 14ffvelrnd 6521 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
223222adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
2241ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
225204simprrd 814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑠 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
226225adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
227220, 223, 224, 226ltadd2dd 10386 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1))))
228171oveq2d 6827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1))) = (𝑋 + ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)))
229123adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℂ)
23015recnd 10258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
231229, 230pncan3d 10585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
232228, 231eqtrd 2792 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1))) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
233232adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1))) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
234227, 233breqtrd 4828 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))
235234adantlr 753 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))
236212, 213, 217, 219, 235eliood 40221 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
237 fvres 6366 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 + 𝑠) ∈ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
238236, 237syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
239238eqcomd 2764 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠)))
240239oveq1d 6826 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) = (((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌))
241240oveq1d 6826 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) = ((((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
242200, 210, 2413eqtrd 2796 . . . . . 6 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) = ((((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
243173, 242mpteq12dva 4882 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))) = (𝑠 ∈ (0(,)((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)) ↦ ((((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠)))
244101, 149, 2433eqtrd 2796 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → (𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ (0(,)((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)) ↦ ((((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠)))
245244, 160oveq12d 6829 . . 3 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → ((𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑠 ∈ (0(,)((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)) ↦ ((((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠)) lim 0))
24694, 98, 2453eltr4d 2852 . 2 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → 𝐴 ∈ ((𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
247 eqid 2758 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)))
248 eqid 2758 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑠)
249 eqid 2758 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))
25024adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2511adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
252215adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
253251, 252readdcld 10259 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
254250, 253ffvelrnd 6521 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
255254recnd 10258 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
256255adantlr 753 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
2572563adantl3 1174 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ ¬ (𝑉𝑖) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
258 limccl 23836 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ⊆ ℂ
259258, 31sseldi 3740 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
260 fourierdlem75.w . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
261260recnd 10258 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ ℂ)
262259, 261ifcld 4273 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℂ)
263262adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℂ)
2642633ad2antl1 1201 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ ¬ (𝑉𝑖) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℂ)
265257, 264subcld 10582 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ ¬ (𝑉𝑖) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ℂ)
266215recnd 10258 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑠 ∈ ℂ)
267266adantl 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ ¬ (𝑉𝑖) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℂ)
268 velsn 4335 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ {0} ↔ 𝑠 = 0)
269198, 268sylnibr 318 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
2702693adantl3 1174 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ ¬ (𝑉𝑖) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
271267, 270eldifd 3724 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ ¬ (𝑉𝑖) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}))
272 eqid 2758 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
273 eqid 2758 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑊) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑊)
274 eqid 2758 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊)) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊))
275261ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑊 ∈ ℂ)
276 ioossre 12426 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ
277276a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
278150, 119sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ)
279278rexrd 10279 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ*)
280279adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ*)
28136adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
282253adantlr 753 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
283 iccssre 12446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
284104, 103, 283mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-π[,]π) ⊆ ℝ
285284, 46sstri 3751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-π[,]π) ⊆ ℂ
286153, 141eqeltrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ (-π[,]π))
287150, 286sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ (-π[,]π))
288285, 287sseldi 3740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
289229, 288addcomd 10428 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑄𝑖)) = ((𝑄𝑖) + 𝑋))
290150adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
291150, 121sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ)
292142fvmpt2 6451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑉𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑄𝑖) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
293290, 291, 292syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
294293oveq1d 6826 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) + 𝑋) = (((𝑉𝑖) − 𝑋) + 𝑋))
295278recnd 10258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℂ)
296295, 229npcand 10586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑉𝑖) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑉𝑖))
297289, 294, 2963eqtrrd 2797 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) = (𝑋 + (𝑄𝑖)))
298297adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑉𝑖) = (𝑋 + (𝑄𝑖)))
299293, 291eqeltrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
300299adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
301205adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < 𝑠)
302300, 220, 224, 301ltadd2dd 10386 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + (𝑄𝑖)) < (𝑋 + 𝑠))
303298, 302eqbrtrd 4824 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑉𝑖) < (𝑋 + 𝑠))
304280, 281, 282, 303, 234eliood 40221 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
305 ioossre 12426 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ
306305a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
307300, 301gtned 10362 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ≠ (𝑄𝑖))
308 fourierdlem75.r . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
309297oveq2d 6827 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)) = ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑋 + (𝑄𝑖))))
310308, 309eleqtrd 2839 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑋 + (𝑄𝑖))))
31125, 169, 277, 272, 304, 306, 307, 310, 288fourierdlem53 40877 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) lim (𝑄𝑖)))
312 ioosscn 40217 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
313312a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
314261adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑊 ∈ ℂ)
315273, 313, 314, 288constlimc 40357 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑊 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑊) lim (𝑄𝑖)))
316272, 273, 274, 256, 275, 311, 315sublimc 40385 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅𝑊) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊)) lim (𝑄𝑖)))
317316adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) < 𝑋) → (𝑅𝑊) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊)) lim (𝑄𝑖)))
318 iftrue 4234 . . . . . . . . . 10 ((𝑉𝑖) < 𝑋 → if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌) = 𝑊)
319318oveq2d 6827 . . . . . . . . 9 ((𝑉𝑖) < 𝑋 → (𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) = (𝑅𝑊))
320319adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) < 𝑋) → (𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) = (𝑅𝑊))
321215adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
322 0red 10231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 0 ∈ ℝ)
323222ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
324225adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
325171adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) < 𝑋) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
326279ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) < 𝑋) ∧ ¬ (𝑉‘(𝑖 + 1)) ≤ 𝑋) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ*)
32736ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) < 𝑋) ∧ ¬ (𝑉‘(𝑖 + 1)) ≤ 𝑋) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
328169ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) < 𝑋) ∧ ¬ (𝑉‘(𝑖 + 1)) ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
329 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) < 𝑋) ∧ ¬ (𝑉‘(𝑖 + 1)) ≤ 𝑋) → (𝑉𝑖) < 𝑋)
330 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝑉‘(𝑖 + 1)) ≤ 𝑋) → ¬ (𝑉‘(𝑖 + 1)) ≤ 𝑋)
3311ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝑉‘(𝑖 + 1)) ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
33215adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝑉‘(𝑖 + 1)) ≤ 𝑋) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
333331, 332ltnled 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝑉‘(𝑖 + 1)) ≤ 𝑋) → (𝑋 < (𝑉‘(𝑖 + 1)) ↔ ¬ (𝑉‘(𝑖 + 1)) ≤ 𝑋))
334330, 333mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝑉‘(𝑖 + 1)) ≤ 𝑋) → 𝑋 < (𝑉‘(𝑖 + 1)))
335334adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) < 𝑋) ∧ ¬ (𝑉‘(𝑖 + 1)) ≤ 𝑋) → 𝑋 < (𝑉‘(𝑖 + 1)))
336326, 327, 328, 329, 335eliood 40221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) < 𝑋) ∧ ¬ (𝑉‘(𝑖 + 1)) ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
3375, 4, 3, 180fourierdlem12 40837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
338337ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) < 𝑋) ∧ ¬ (𝑉‘(𝑖 + 1)) ≤ 𝑋) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
339336, 338condan 870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) < 𝑋) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ≤ 𝑋)
34015adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) < 𝑋) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
3411ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
342340, 341suble0d 10808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) < 𝑋) → (((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) ≤ 0 ↔ (𝑉‘(𝑖 + 1)) ≤ 𝑋))
343339, 342mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) < 𝑋) → ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) ≤ 0)
344325, 343eqbrtrd 4824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) < 𝑋) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≤ 0)
345344adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ≤ 0)
346321, 323, 322, 324, 345ltletrd 10387 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 < 0)
347321, 322, 346ltnsymd 10376 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ¬ 0 < 𝑠)
348347iffalsed 4239 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑊)
349348oveq2d 6827 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊))
350349mpteq2dva 4894 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) < 𝑋) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊)))
351350oveq1d 6826 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) < 𝑋) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑊)) lim (𝑄𝑖)))
352317, 320, 3513eltr4d 2852 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) < 𝑋) → (𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))) lim (𝑄𝑖)))
3533523adantl3 1174 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ ¬ (𝑉𝑖) = 𝑋) ∧ (𝑉𝑖) < 𝑋) → (𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))) lim (𝑄𝑖)))
354 eqid 2758 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑌) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑌)
355 eqid 2758 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌)) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌))
356259ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑌 ∈ ℂ)
357259adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑌 ∈ ℂ)
358354, 313, 357, 288constlimc 40357 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑌 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑌) lim (𝑄𝑖)))
359272, 354, 355, 256, 356, 311, 358sublimc 40385 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅𝑌) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌)) lim (𝑄𝑖)))
360359adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝑉𝑖) < 𝑋) → (𝑅𝑌) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌)) lim (𝑄𝑖)))
361 iffalse 4237 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑉𝑖) < 𝑋 → if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌) = 𝑌)
362361oveq2d 6827 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑉𝑖) < 𝑋 → (𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) = (𝑅𝑌))
363362adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝑉𝑖) < 𝑋) → (𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) = (𝑅𝑌))
364 0red 10231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝑉𝑖) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 0 ∈ ℝ)
365299ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝑉𝑖) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
366215adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝑉𝑖) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
3671ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝑉𝑖) < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
368278adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝑉𝑖) < 𝑋) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ)
369 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝑉𝑖) < 𝑋) → ¬ (𝑉𝑖) < 𝑋)
370367, 368, 369nltled 10377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝑉𝑖) < 𝑋) → 𝑋 ≤ (𝑉𝑖))
371368, 367subge0d 10807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝑉𝑖) < 𝑋) → (0 ≤ ((𝑉𝑖) − 𝑋) ↔ 𝑋 ≤ (𝑉𝑖)))
372370, 371mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝑉𝑖) < 𝑋) → 0 ≤ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
373293eqcomd 2764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) = (𝑄𝑖))
374373adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝑉𝑖) < 𝑋) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) = (𝑄𝑖))
375372, 374breqtrd 4828 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝑉𝑖) < 𝑋) → 0 ≤ (𝑄𝑖))
376375adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝑉𝑖) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 0 ≤ (𝑄𝑖))
377205adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝑉𝑖) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < 𝑠)
378364, 365, 366, 376, 377lelttrd 10385 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝑉𝑖) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 0 < 𝑠)
379378iftrued 4236 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝑉𝑖) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑌)
380379oveq2d 6827 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝑉𝑖) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌))
381380mpteq2dva 4894 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝑉𝑖) < 𝑋) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌)))
382381oveq1d 6826 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝑉𝑖) < 𝑋) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌)) lim (𝑄𝑖)))
383360, 363, 3823eltr4d 2852 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝑉𝑖) < 𝑋) → (𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))) lim (𝑄𝑖)))
3843833adantl3 1174 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ ¬ (𝑉𝑖) = 𝑋) ∧ ¬ (𝑉𝑖) < 𝑋) → (𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))) lim (𝑄𝑖)))
385353, 384pm2.61dan 867 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ ¬ (𝑉𝑖) = 𝑋) → (𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))) lim (𝑄𝑖)))
386313, 248, 288idlimc 40359 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑠) lim (𝑄𝑖)))
3873863adant3 1127 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ ¬ (𝑉𝑖) = 𝑋) → (𝑄𝑖) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝑠) lim (𝑄𝑖)))
3882933adant3 1127 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ ¬ (𝑉𝑖) = 𝑋) → (𝑄𝑖) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
3892953adant3 1127 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ ¬ (𝑉𝑖) = 𝑋) → (𝑉𝑖) ∈ ℂ)
3902293adant3 1127 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ ¬ (𝑉𝑖) = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℂ)
391 neqne 2938 . . . . . . . 8 (¬ (𝑉𝑖) = 𝑋 → (𝑉𝑖) ≠ 𝑋)
3923913ad2ant3 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ ¬ (𝑉𝑖) = 𝑋) → (𝑉𝑖) ≠ 𝑋)
393389, 390, 392subne0d 10591 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ ¬ (𝑉𝑖) = 𝑋) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) ≠ 0)
394388, 393eqnetrd 2997 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ ¬ (𝑉𝑖) = 𝑋) → (𝑄𝑖) ≠ 0)
3951983adantl3 1174 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ ¬ (𝑉𝑖) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ¬ 𝑠 = 0)
396395neqned 2937 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ ¬ (𝑉𝑖) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ≠ 0)
397247, 248, 249, 265, 271, 385, 387, 394, 396divlimc 40389 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ ¬ (𝑉𝑖) = 𝑋) → ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
398 iffalse 4237 . . . . . 6 (¬ (𝑉𝑖) = 𝑋 → if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐸, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖))) = ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖)))
39995, 398syl5eq 2804 . . . . 5 (¬ (𝑉𝑖) = 𝑋𝐴 = ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖)))
4003993ad2ant3 1130 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ ¬ (𝑉𝑖) = 𝑋) → 𝐴 = ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖)))
401 ioossre 12426 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
402401a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ)
40324, 402fssresd 6230 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)):(𝑋(,)+∞)⟶ℝ)
404401, 47syl5ss 3753 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ)
40534a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
4061ltpnfd 12146 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 < +∞)
40752, 405, 1, 406lptioo1cn 40379 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑋(,)+∞)))
408403, 404, 407, 31limcrecl 40362 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
40924, 1, 408, 260, 99fourierdlem9 40834 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
410409adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
411410, 147feqresmpt 6410 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻𝑠)))
412147sselda 3742 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
413 0cnd 10223 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 0 ∈ ℂ)
414262ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℂ)
415256, 414subcld 10582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ℂ)
416266adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℂ)
417198neqned 2937 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ≠ 0)
418415, 416, 417divcld 10991 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) ∈ ℂ)
419413, 418ifcld 4273 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℂ)
42099fvmpt2 6451 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℂ) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
421412, 419, 420syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
422198iffalsed 4239 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))
423421, 422eqtrd 2792 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐻𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))
424423mpteq2dva 4894 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
425411, 424eqtrd 2792 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
4264253adant3 1127 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ ¬ (𝑉𝑖) = 𝑋) → (𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
427426oveq1d 6826 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ ¬ (𝑉𝑖) = 𝑋) → ((𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
428397, 400, 4273eltr4d 2852 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ ¬ (𝑉𝑖) = 𝑋) → 𝐴 ∈ ((𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
4294283expa 1112 . 2 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝑉𝑖) = 𝑋) → 𝐴 ∈ ((𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
430246, 429pm2.61dan 867 1 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ∈ ((𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1630  wcel 2137  wne 2930  wral 3048  wrex 3049  {crab 3052  wss 3713  ifcif 4228  {csn 4319   class class class wbr 4802  cmpt 4879  dom cdm 5264  ran crn 5265  cres 5266   Fn wfn 6042  wf 6043  cfv 6047  (class class class)co 6811  𝑚 cmap 8021  cc 10124  cr 10125  0cc0 10126  1c1 10127   + caddc 10129  +∞cpnf 10261  *cxr 10263   < clt 10264  cle 10265  cmin 10456  -cneg 10457   / cdiv 10874  cn 11210  (,)cioo 12366  [,]cicc 12369  ...cfz 12517  ..^cfzo 12657  πcpi 14994  TopOpenctopn 16282  topGenctg 16298  fldccnfld 19946  intcnt 21021   lim climc 23823   D cdv 23824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-inf2 8709  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204  ax-addf 10205  ax-mulf 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-iin 4673  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-se 5224  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-isom 6056  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-of 7060  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-supp 7462  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-2o 7728  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-pm 8024  df-ixp 8073  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-fsupp 8439  df-fi 8480  df-sup 8511  df-inf 8512  df-oi 8578  df-card 8953  df-cda 9180  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-7 11274  df-8 11275  df-9 11276  df-n0 11483  df-z 11568  df-dec 11684  df-uz 11878  df-q 11980  df-rp 12024  df-xneg 12137  df-xadd 12138  df-xmul 12139  df-ioo 12370  df-ioc 12371  df-ico 12372  df-icc 12373  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-fl 12785  df-seq 12994  df-exp 13053  df-fac 13253  df-bc 13282  df-hash 13310  df-shft 14004  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-limsup 14399  df-clim 14416  df-rlim 14417  df-sum 14614  df-ef 14995  df-sin 14997  df-cos 14998  df-pi 15000  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-mulr 16155  df-starv 16156  df-sca 16157  df-vsca 16158  df-ip 16159  df-tset 16160  df-ple 16161  df-ds 16164  df-unif 16165  df-hom 16166  df-cco 16167  df-rest 16283  df-topn 16284  df-0g 16302  df-gsum 16303  df-topgen 16304  df-pt 16305  df-prds 16308  df-xrs 16362  df-qtop 16367  df-imas 16368  df-xps 16370  df-mre 16446  df-mrc 16447  df-acs 16449  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-submnd 17535  df-mulg 17740  df-cntz 17948  df-cmn 18393  df-psmet 19938  df-xmet 19939  df-met 19940  df-bl 19941  df-mopn 19942  df-fbas 19943  df-fg 19944  df-cnfld 19947  df-top 20899  df-topon 20916  df-topsp 20937  df-bases 20950  df-cld 21023  df-ntr 21024  df-cls 21025  df-nei 21102  df-lp 21140  df-perf 21141  df-cn 21231  df-cnp 21232  df-haus 21319  df-cmp 21390  df-tx 21565  df-hmeo 21758  df-fil 21849  df-fm 21941  df-flim 21942  df-flf 21943  df-xms 22324  df-ms 22325  df-tms 22326  df-cncf 22880  df-limc 23827  df-dv 23828
This theorem is referenced by:  fourierdlem85  40909  fourierdlem88  40912  fourierdlem103  40927  fourierdlem104  40928
  Copyright terms: Public domain W3C validator