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Theorem fourierdlem62 40703
Description: The function 𝐾 is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
fourierdlem62.k 𝐾 = (𝑦 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑦 = 0, 1, (𝑦 / (2 · (sin‘(𝑦 / 2))))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem62 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ)

Proof of Theorem fourierdlem62
Dummy variables 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem62.k . . . 4 𝐾 = (𝑦 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑦 = 0, 1, (𝑦 / (2 · (sin‘(𝑦 / 2))))))
2 eqeq1 2655 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 = 0 ↔ 𝑠 = 0))
3 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑠𝑦 = 𝑠)
4 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 / 2) = (𝑠 / 2))
54fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑠 → (sin‘(𝑦 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
65oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑠 → (2 · (sin‘(𝑦 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
73, 6oveq12d 6708 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 / (2 · (sin‘(𝑦 / 2)))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
82, 7ifbieq2d 4144 . . . . 5 (𝑦 = 𝑠 → if(𝑦 = 0, 1, (𝑦 / (2 · (sin‘(𝑦 / 2))))) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
98cbvmptv 4783 . . . 4 (𝑦 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑦 = 0, 1, (𝑦 / (2 · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
101, 9eqtri 2673 . . 3 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
1110fourierdlem43 40685 . 2 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ
12 ax-resscn 10031 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
13 fss 6094 . . . . . 6 ((𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ)
1411, 12, 13mp2an 708 . . . . 5 𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ
1514a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 0 → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ)
16 difss 3770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ (-π(,)π)
17 elioore 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ (-π(,)π) → 𝑠 ∈ ℝ)
1817ssriv 3640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-π(,)π) ⊆ ℝ
1916, 18sstri 3645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ ℝ
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
21 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)
2219sseli 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℝ)
2321, 22fmpti 6423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥):((-π(,)π) ∖ {0})⟶ℝ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥):((-π(,)π) ∖ {0})⟶ℝ)
25 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))
26 2re 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℝ
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℝ)
2822rehalfcld 11317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
2928resincld 14917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
3027, 29remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ℝ)
3125, 30fmpti 6423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):((-π(,)π) ∖ {0})⟶ℝ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):((-π(,)π) ∖ {0})⟶ℝ)
33 iooretop 22616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)))
35 0re 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
36 negpilt0 39806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -π < 0
37 pipos 24257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < π
38 pire 24255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 π ∈ ℝ
3938renegcli 10380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -π ∈ ℝ
4039rexri 10135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -π ∈ ℝ*
4138rexri 10135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π ∈ ℝ*
42 elioo2 12254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (0 ∈ (-π(,)π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π < 0 ∧ 0 < π)))
4340, 41, 42mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ∈ (-π(,)π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π < 0 ∧ 0 < π))
4435, 36, 37, 43mpbir3an 1263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ (-π(,)π)
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → 0 ∈ (-π(,)π))
46 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π(,)π) ∖ {0}) = ((-π(,)π) ∖ {0})
47 1ex 10073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ V
48 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1)
4947, 48dmmpti 6061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1) = ((-π(,)π) ∖ {0})
50 reelprrecn 10066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
5212sseli 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
5352adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
54 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
5551dvmptid 23765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1))
56 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5756tgioo2 22653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
58 sncldre 39522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 ∈ ℝ → {0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
5935, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
60 retopon 22614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
6160toponunii 20769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ℝ = (topGen‘ran (,))
6261difopn 20886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ {0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → ((-π(,)π) ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,)))
6333, 59, 62mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((-π(,)π) ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,))
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → ((-π(,)π) ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,)))
6551, 53, 54, 55, 20, 57, 56, 64dvmptres 23771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1))
6665trud 1533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1)
6766eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1) = (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))
6867dmeqi 5357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1) = dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))
6949, 68eqtr3i 2675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-π(,)π) ∖ {0}) = dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))
7069eqimssi 3692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)))
72 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (cos‘(𝑥 / 2)) ∈ V
73 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))
7472, 73dmmpti 6061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) = ((-π(,)π) ∖ {0})
75 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℂ)
7653halfcld 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
7776sincld 14904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘(𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
7875, 77mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ℂ)
7976coscld 14905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (cos‘(𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
80 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
81 2ne0 11151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2 ≠ 0
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
8352, 80, 82divrec2d 10843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 / 2) = ((1 / 2) · 𝑥))
8483fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘(𝑥 / 2)) = (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))
8584oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ℝ → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) = (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))
8685mpteq2ia 4773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))
8786oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))))
88 resmpt 5484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))))
8912, 88ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))
9089eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ)
9190oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) = (ℝ D ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ))
92 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))
93 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
94 halfcn 11285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (1 / 2) ∈ ℂ
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
96 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
9795, 96mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑥) ∈ ℂ)
9897sincld 14904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ ℂ → (sin‘((1 / 2) · 𝑥)) ∈ ℂ)
9993, 98mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ ℂ → (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))) ∈ ℂ)
10092, 99fmpti 6423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))):ℂ⟶ℂ
101 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))))
102 2cn 11129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2 ∈ ℂ
103102, 94mulcli 10083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (2 · (1 / 2)) ∈ ℂ
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ ℂ → (2 · (1 / 2)) ∈ ℂ)
10597coscld 14905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ ℂ → (cos‘((1 / 2) · 𝑥)) ∈ ℂ)
106104, 105mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ ℂ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))) ∈ ℂ)
107106adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))) ∈ ℂ)
108101, 107dmmptd 6062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (⊤ → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) = ℂ)
109108trud 1533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) = ℂ
11012, 109sseqtr4i 3671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ℝ ⊆ dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))))
111 dvasinbx 40453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))))
112102, 94, 111mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))))
113112dmeqi 5357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) = dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))))
114110, 113sseqtr4i 3671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))))
115 dvcnre 40448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))):ℂ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))))) → (ℝ D ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) ↾ ℝ))
116100, 114, 115mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (ℝ D ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) ↾ ℝ)
117112reseq1i 5424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) ↾ ℝ) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ)
118 resmpt 5484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))))
11912, 118ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))))
120102, 81recidi 10794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (2 · (1 / 2)) = 1
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ℝ → (2 · (1 / 2)) = 1)
12283eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ ℝ → ((1 / 2) · 𝑥) = (𝑥 / 2))
123122fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ℝ → (cos‘((1 / 2) · 𝑥)) = (cos‘(𝑥 / 2)))
124121, 123oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ ℝ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))) = (1 · (cos‘(𝑥 / 2))))
12552halfcld 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
126125coscld 14905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ℝ → (cos‘(𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
127126mulid2d 10096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ ℝ → (1 · (cos‘(𝑥 / 2))) = (cos‘(𝑥 / 2)))
128124, 127eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ ℝ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))) = (cos‘(𝑥 / 2)))
129128mpteq2ia 4773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))
130117, 119, 1293eqtri 2677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))
13191, 116, 1303eqtri 2677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))
13287, 131eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑥 / 2))))
13451, 78, 79, 133, 20, 57, 56, 64dvmptres 23771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))))
135134trud 1533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))
136135eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
137136dmeqi 5357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) = dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
13874, 137eqtr3i 2675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-π(,)π) ∖ {0}) = dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
139138eqimssi 3692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))))
14117recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ (-π(,)π) → 𝑠 ∈ ℂ)
142141ssriv 3640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-π(,)π) ⊆ ℂ
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → (-π(,)π) ⊆ ℂ)
144 ssid 3657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ℂ ⊆ ℂ
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
146143, 145idcncfg 40403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
147146trud 1533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ)
148 cnlimc 23697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-π(,)π) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ) ↔ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥):(-π(,)π)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 𝑦))))
149142, 148ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ) ↔ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥):(-π(,)π)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 𝑦)))
150147, 149mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥):(-π(,)π)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 𝑦))
151150simpri 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 𝑦)
152 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 0 → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘0))
153 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 0 → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 𝑦) = ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 0))
154152, 153eleq12d 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 0 → (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘0) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 0)))
155154rspccva 3339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 𝑦) ∧ 0 ∈ (-π(,)π)) → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘0) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 0))
156151, 44, 155mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘0) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 0)
157 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → 𝑥 = 0)
158 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)
159 c0ex 10072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ V
160157, 158, 159fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ (-π(,)π) → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘0) = 0)
16144, 160ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘0) = 0
162 elioore 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
163162recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 ∈ ℂ)
164158, 163fmpti 6423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥):(-π(,)π)⟶ℂ
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥):(-π(,)π)⟶ℂ)
166165limcdif 23685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 0) = (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0))
167166trud 1533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 0) = (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0)
168 resmpt 5484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ (-π(,)π) → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))
16916, 168ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)
170169oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0) = ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥) lim 0)
171167, 170eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 0) = ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥) lim 0)
172156, 161, 1713eltr3i 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥) lim 0)
173172a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥) lim 0))
174 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℂ ↦ 2) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 2)
175144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 ∈ ℂ → ℂ ⊆ ℂ)
176 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
177175, 176, 175constcncfg 40402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 2) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
178102, 177mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 2) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
179 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 2 ∈ ℂ)
180174, 178, 143, 145, 179cncfmptssg 40401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 2) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
181 sincn 24243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
182181a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
183 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2))
184183divccncf 22756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
185102, 81, 184mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
186185a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
187163adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
188187halfcld 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
189183, 186, 143, 145, 188cncfmptssg 40401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑥 / 2)) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
190182, 189cncfmpt1f 22763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
191180, 190mulcncf 23261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
192191trud 1533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ)
193 cnlimc 23697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-π(,)π) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ) ↔ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):(-π(,)π)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 𝑦))))
194142, 193ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ) ↔ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):(-π(,)π)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 𝑦)))
195192, 194mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):(-π(,)π)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 𝑦))
196195simpri 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 𝑦)
197 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 0 → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘0))
198 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 0 → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 𝑦) = ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0))
199197, 198eleq12d 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 0 → (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘0) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0)))
200199rspccva 3339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 𝑦) ∧ 0 ∈ (-π(,)π)) → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘0) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0))
201196, 44, 200mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘0) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0)
202 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 0 → (𝑥 / 2) = (0 / 2))
203102, 81div0i 10797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0 / 2) = 0
204202, 203syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 0 → (𝑥 / 2) = 0)
205204fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 0 → (sin‘(𝑥 / 2)) = (sin‘0))
206 sin0 14923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (sin‘0) = 0
207205, 206syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → (sin‘(𝑥 / 2)) = 0)
208207oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) = (2 · 0))
209 2t0e0 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 · 0) = 0
210208, 209syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) = 0)
211 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) = (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))
212210, 211, 159fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ (-π(,)π) → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘0) = 0)
21344, 212ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘0) = 0
214 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 2 ∈ ℂ)
215163halfcld 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
216215sincld 14904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → (sin‘(𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
217214, 216mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ℂ)
218211, 217fmpti 6423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):(-π(,)π)⟶ℂ
219218a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):(-π(,)π)⟶ℂ)
220219limcdif 23685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0) = (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0))
221220trud 1533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0) = (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0)
222 resmpt 5484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ (-π(,)π) → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
22316, 222ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))
224223oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0) = ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0)
225221, 224eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0) = ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0)
226201, 213, 2253eltr3i 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0)
227226a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0))
228 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
229 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 / 2) = (𝑦 / 2))
230229fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑦 → (sin‘(𝑥 / 2)) = (sin‘(𝑦 / 2)))
231230oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑦 → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑦 / 2))))
232231adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑦 / 2))))
233 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}))
23426a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℝ)
23519sseli 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℝ)
236235rehalfcld 11317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
237236resincld 14917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
238234, 237remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℝ)
239228, 232, 233, 238fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) = (2 · (sin‘(𝑦 / 2))))
240 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℂ)
241237recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
24281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ≠ 0)
243 ioossicc 12297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π)
244 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 ∈ (-π(,)π))
245243, 244sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 ∈ (-π[,]π))
246 eldifsni 4353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
247 fourierdlem44 40686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑦 ≠ 0) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
248245, 246, 247syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
249240, 241, 242, 248mulne0d 10717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑦 / 2))) ≠ 0)
250239, 249eqnetrd 2890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ≠ 0)
251250neneqd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ¬ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) = 0)
252251nrex 3029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ ∃𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) = 0
25325fnmpt 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})(2 · (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) Fn ((-π(,)π) ∖ {0}))
254253, 30mprg 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) Fn ((-π(,)π) ∖ {0})
255 ssid 3657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ ((-π(,)π) ∖ {0})
256 fvelimab 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) Fn ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ ((-π(,)π) ∖ {0})) → (0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})) ↔ ∃𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) = 0))
257254, 255, 256mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})) ↔ ∃𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) = 0)
258252, 257mtbir 312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ¬ 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) “ ((-π(,)π) ∖ {0}))
259258a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → ¬ 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})))
260 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))))
261229fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑦 → (cos‘(𝑥 / 2)) = (cos‘(𝑦 / 2)))
262261adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (cos‘(𝑥 / 2)) = (cos‘(𝑦 / 2)))
263235recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℂ)
264263halfcld 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
265264coscld 14905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
266260, 262, 233, 265fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))‘𝑦) = (cos‘(𝑦 / 2)))
267236rered 14008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (ℜ‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
268 halfpire 24261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π / 2) ∈ ℝ
269268renegcli 10380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 -(π / 2) ∈ ℝ
270269a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -(π / 2) ∈ ℝ)
271270rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -(π / 2) ∈ ℝ*)
272268a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (π / 2) ∈ ℝ)
273272rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (π / 2) ∈ ℝ*)
274 picn 24256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 π ∈ ℂ
275 divneg 10757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(π / 2) = (-π / 2))
276274, 102, 81, 275mp3an 1464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -(π / 2) = (-π / 2)
27739a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -π ∈ ℝ)
278 2rp 11875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ ℝ+
279278a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℝ+)
28040a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -π ∈ ℝ*)
28141a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ*)
282 ioogtlb 40035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑦 ∈ (-π(,)π)) → -π < 𝑦)
283280, 281, 244, 282syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -π < 𝑦)
284277, 235, 279, 283ltdiv1dd 11967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (-π / 2) < (𝑦 / 2))
285276, 284syl5eqbr 4720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -(π / 2) < (𝑦 / 2))
28638a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ)
287 iooltub 40053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑦 ∈ (-π(,)π)) → 𝑦 < π)
288280, 281, 244, 287syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 < π)
289235, 286, 279, 288ltdiv1dd 11967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑦 / 2) < (π / 2))
290271, 273, 236, 285, 289eliood 40038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑦 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
291267, 290eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (ℜ‘(𝑦 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
292 cosne0 24321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝑦 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
293264, 291, 292syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
294266, 293eqnetrd 2890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))‘𝑦) ≠ 0)
295294neneqd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ¬ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))‘𝑦) = 0)
296295nrex 3029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ¬ ∃𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))‘𝑦) = 0
29772, 73fnmpti 6060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) Fn ((-π(,)π) ∖ {0})
298 fvelimab 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) Fn ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ ((-π(,)π) ∖ {0})) → (0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})) ↔ ∃𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))‘𝑦) = 0))
299297, 255, 298mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})) ↔ ∃𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))‘𝑦) = 0)
300296, 299mtbir 312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) “ ((-π(,)π) ∖ {0}))
301135imaeq1i 5498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})) = ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) “ ((-π(,)π) ∖ {0}))
302301eleq2i 2722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ∈ ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})) ↔ 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})))
303300, 302mtbir 312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ¬ 0 ∈ ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) “ ((-π(,)π) ∖ {0}))
304303a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → ¬ 0 ∈ ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})))
305 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
306 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (1 / (cos‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (1 / (cos‘(𝑠 / 2))))
30719sseli 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ ℝ)
308307recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ ℂ)
309308halfcld 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
310309coscld 14905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
311307rehalfcld 11317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
312311rered 14008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (ℜ‘(𝑠 / 2)) = (𝑠 / 2))
313269a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -(π / 2) ∈ ℝ)
314313rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -(π / 2) ∈ ℝ*)
315268a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (π / 2) ∈ ℝ)
316315rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (π / 2) ∈ ℝ*)
31738a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ)
318317renegcld 10495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -π ∈ ℝ)
319278a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℝ+)
32040a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -π ∈ ℝ*)
32141a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ*)
322 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ (-π(,)π))
323 ioogtlb 40035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑠 ∈ (-π(,)π)) → -π < 𝑠)
324320, 321, 322, 323syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -π < 𝑠)
325318, 307, 319, 324ltdiv1dd 11967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (-π / 2) < (𝑠 / 2))
326276, 325syl5eqbr 4720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -(π / 2) < (𝑠 / 2))
327 iooltub 40053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑠 ∈ (-π(,)π)) → 𝑠 < π)
328320, 321, 322, 327syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑠 < π)
329307, 317, 319, 328ltdiv1dd 11967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑠 / 2) < (π / 2))
330314, 316, 311, 326, 329eliood 40038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑠 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
331312, 330eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (ℜ‘(𝑠 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
332 cosne0 24321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑠 / 2) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝑠 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
333309, 331, 332syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
334333neneqd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ¬ (cos‘(𝑠 / 2)) = 0)
335311recoscld 14918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
336 elsng 4224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ → ((cos‘(𝑠 / 2)) ∈ {0} ↔ (cos‘(𝑠 / 2)) = 0))
337335, 336syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((cos‘(𝑠 / 2)) ∈ {0} ↔ (cos‘(𝑠 / 2)) = 0))
338334, 337mtbird 314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ¬ (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ {0})
339310, 338eldifd 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
340339adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
341309ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⊤ ∧ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ (𝑠 / 2) ≠ 0)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
342 cosf 14899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 cos:ℂ⟶ℂ
343342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → cos:ℂ⟶ℂ)
344343ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
345 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 / 2)) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 / 2))
346345divccncf 22756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
347102, 81, 346mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
348347a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊤ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
349141adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((⊤ ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)π)) → 𝑠 ∈ ℂ)
350349halfcld 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((⊤ ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)π)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
351345, 348, 143, 145, 350cncfmptssg 40401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (⊤ → (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
352 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = 0 → (𝑠 / 2) = (0 / 2))
353352, 203syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 = 0 → (𝑠 / 2) = 0)
354351, 45, 353cnmptlimc 23699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → 0 ∈ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) lim 0))
355 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) = (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2))
356141halfcld 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ (-π(,)π) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
357355, 356fmpti 6423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)):(-π(,)π)⟶ℂ
358357a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)):(-π(,)π)⟶ℂ)
359358limcdif 23685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊤ → ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) lim 0) = (((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0))
360359trud 1533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) lim 0) = (((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0)
361 resmpt 5484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ (-π(,)π) → ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2)))
36216, 361ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2))
363362oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0) = ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2)) lim 0)
364360, 363eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) lim 0) = ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2)) lim 0)
365354, 364syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⊤ → 0 ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2)) lim 0))
366 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
367342, 366ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 cos Fn ℂ
368 dffn5 6280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (cos Fn ℂ ↔ cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
369367, 368mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))
370 coscn 24244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
371369, 370eqeltrri 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
372371a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
373 0cnd 10071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → 0 ∈ ℂ)
374 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → (cos‘𝑥) = (cos‘0))
375 cos0 14924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (cos‘0) = 1
376374, 375syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → (cos‘𝑥) = 1)
377372, 373, 376cnmptlimc 23699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⊤ → 1 ∈ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) lim 0))
378 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑠 / 2) → (cos‘𝑥) = (cos‘(𝑠 / 2)))
379 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 / 2) = 0 → (cos‘(𝑠 / 2)) = (cos‘0))
380379, 375syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 / 2) = 0 → (cos‘(𝑠 / 2)) = 1)
381380ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⊤ ∧ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ (𝑠 / 2) = 0)) → (cos‘(𝑠 / 2)) = 1)
382341, 344, 365, 377, 378, 381limcco 23702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⊤ → 1 ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) lim 0))
383 ax-1ne0 10043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ≠ 0
384383a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⊤ → 1 ≠ 0)
385305, 306, 340, 382, 384reclimc 40203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → (1 / 1) ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (1 / (cos‘(𝑠 / 2)))) lim 0))
386 1div1e1 10755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / 1) = 1
38766fveq1i 6230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))‘𝑠) = ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1)‘𝑠)
388 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1))
389 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑠) → 1 = 1)
390 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}))
391 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 1 ∈ ℝ)
392388, 389, 390, 391fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1)‘𝑠) = 1)
393387, 392syl5req 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 1 = ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))‘𝑠))
394135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))))
395 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑠 → (𝑥 / 2) = (𝑠 / 2))
396395fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑠 → (cos‘(𝑥 / 2)) = (cos‘(𝑠 / 2)))
397396adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑠) → (cos‘(𝑥 / 2)) = (cos‘(𝑠 / 2)))
398394, 397, 390, 335fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))‘𝑠) = (cos‘(𝑠 / 2)))
399398eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑠 / 2)) = ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))‘𝑠))
400393, 399oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (1 / (cos‘(𝑠 / 2))) = (((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))‘𝑠) / ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))‘𝑠)))
401400mpteq2ia 4773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (1 / (cos‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))‘𝑠) / ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))‘𝑠)))
402401oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (1 / (cos‘(𝑠 / 2)))) lim 0) = ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))‘𝑠) / ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))‘𝑠))) lim 0)
403385, 386, 4023eltr3g 2746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → 1 ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))‘𝑠) / ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))‘𝑠))) lim 0))
40420, 24, 32, 34, 45, 46, 71, 140, 173, 227, 259, 304, 403lhop 23824 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → 1 ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)‘𝑠) / ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑠))) lim 0))
405404trud 1533 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)‘𝑠) / ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑠))) lim 0)
406 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))
407 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑠) → 𝑥 = 𝑠)
408406, 407, 390, 307fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)‘𝑠) = 𝑠)
409 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
410407oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑠) → (𝑥 / 2) = (𝑠 / 2))
411410fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑠) → (sin‘(𝑥 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
412411oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑠) → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
41326a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℝ)
414311resincld 14917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
415413, 414remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
416409, 412, 390, 415fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑠) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
417408, 416oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)‘𝑠) / ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑠)) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
418417mpteq2ia 4773 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)‘𝑠) / ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑠))) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
419418oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)‘𝑠) / ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑠))) lim 0) = ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) lim 0)
420405, 419eleqtri 2728 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) lim 0)
42110oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 lim 0) = ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) lim 0)
42210feq1i 6074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ ↔ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))):(-π[,]π)⟶ℂ)
42314, 422mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))):(-π[,]π)⟶ℂ
424423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⊤ → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))):(-π[,]π)⟶ℂ)
425243a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⊤ → (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π))
426 iccssre 12293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
42739, 38, 426mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-π[,]π) ⊆ ℝ
428427a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⊤ → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
429428, 12syl6ss 3648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⊤ → (-π[,]π) ⊆ ℂ)
430 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0}))
43139, 35, 36ltleii 10198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 -π ≤ 0
43235, 38, 37ltleii 10198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ≤ π
43339, 38elicc2i 12277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (0 ∈ (-π[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0 ∧ 0 ≤ π))
43435, 431, 432, 433mpbir3an 1263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 ∈ (-π[,]π)
435159snss 4348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0 ∈ (-π[,]π) ↔ {0} ⊆ (-π[,]π))
436434, 435mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 {0} ⊆ (-π[,]π)
437 ssequn2 3819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ({0} ⊆ (-π[,]π) ↔ ((-π[,]π) ∪ {0}) = (-π[,]π))
438436, 437mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-π[,]π) ∪ {0}) = (-π[,]π)
439438oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-π[,]π))
440 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
44156, 440tgiooss 40051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-π[,]π) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-π[,]π)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))
442427, 441ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-π[,]π)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))
443439, 442eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))
444443fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0}))) = (int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))
445159snss 4348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0 ∈ (-π(,)π) ↔ {0} ⊆ (-π(,)π))
44644, 445mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {0} ⊆ (-π(,)π)
447 ssequn2 3819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ({0} ⊆ (-π(,)π) ↔ ((-π(,)π) ∪ {0}) = (-π(,)π))
448446, 447mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-π(,)π) ∪ {0}) = (-π(,)π)
449444, 448fveq12i 6234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})))‘((-π(,)π) ∪ {0})) = ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘(-π(,)π))
450 resttopon 21013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (-π[,]π) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ (TopOn‘(-π[,]π)))
45160, 427, 450mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ (TopOn‘(-π[,]π))
452451topontopi 20768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ Top
453 retop 22612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
454 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-π[,]π) ∈ V
455453, 454pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-π[,]π) ∈ V)
456 ssid 3657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-π(,)π) ⊆ (-π(,)π)
45733, 243, 4563pm3.2i 1259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π) ∧ (-π(,)π) ⊆ (-π(,)π))
458 restopnb 21027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-π[,]π) ∈ V) ∧ ((-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π) ∧ (-π(,)π) ⊆ (-π(,)π))) → ((-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (-π(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))))
459455, 457, 458mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (-π(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))
46033, 459mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (-π(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))
461 isopn3i 20934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ Top ∧ (-π(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))) → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘(-π(,)π)) = (-π(,)π))
462452, 460, 461mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘(-π(,)π)) = (-π(,)π)
463 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-π(,)π) = (-π(,)π)
464449, 462, 4633eqtrri 2678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-π(,)π) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})))‘((-π(,)π) ∪ {0}))
46544, 464eleqtri 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})))‘((-π(,)π) ∪ {0}))
466465a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⊤ → 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})))‘((-π(,)π) ∪ {0})))
467424, 425, 429, 56, 430, 466limcres 23695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ (-π(,)π)) lim 0) = ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) lim 0))
468467trud 1533 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ (-π(,)π)) lim 0) = ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) lim 0)
469468eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) lim 0) = (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ (-π(,)π)) lim 0)
470 resmpt 5484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-π(,)π) ⊆ (-π[,]π) → ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ (-π(,)π)) = (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
471243, 470ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ (-π(,)π)) = (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
472471oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ (-π(,)π)) lim 0) = ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) lim 0)
473421, 469, 4723eqtri 2677 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 lim 0) = ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) lim 0)
474 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
475 iftrue 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 = 0 → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = 1)
476 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 = 0 → 1 ∈ ℂ)
477475, 476eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 = 0 → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℂ)
478477adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ 𝑠 = 0) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℂ)
479 iffalse 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑠 = 0 → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
480479adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
481141adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ℂ)
482 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ∈ ℂ)
483481halfcld 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
484483sincld 14904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
485482, 484mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
48681a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ≠ 0)
487243sseli 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ (-π(,)π) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
488 neqne 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑠 = 0 → 𝑠 ≠ 0)
489 fourierdlem44 40686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
490487, 488, 489syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
491482, 484, 486, 490mulne0d 10717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
492481, 485, 491divcld 10839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℂ)
493480, 492eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℂ)
494478, 493pm2.61dan 849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ (-π(,)π) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℂ)
495474, 494fmpti 6423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))):(-π(,)π)⟶ℂ
496495a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))):(-π(,)π)⟶ℂ)
497496limcdif 23685 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) lim 0) = (((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0))
498497trud 1533 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) lim 0) = (((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0)
499 resmpt 5484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ (-π(,)π) → ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
50016, 499ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
501 eldifn 3766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
502 velsn 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ {0} ↔ 𝑠 = 0)
503501, 502sylnib 317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ¬ 𝑠 = 0)
504503, 479syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
505504mpteq2ia 4773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
506500, 505eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
507506oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0) = ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) lim 0)
508473, 498, 5073eqtrri 2678 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) lim 0) = (𝐾 lim 0)
509420, 508eleqtri 2728 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ (𝐾 lim 0)
510509a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 0 → 1 ∈ (𝐾 lim 0))
511 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 0 → (𝐾𝑠) = (𝐾‘0))
512475, 10, 47fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ (-π[,]π) → (𝐾‘0) = 1)
513434, 512ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝐾‘0) = 1
514511, 513syl6eq 2701 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 0 → (𝐾𝑠) = 1)
515 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 0 → (𝐾 lim 𝑠) = (𝐾 lim 0))
516510, 514, 5153eltr4d 2745 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 0 → (𝐾𝑠) ∈ (𝐾 lim 𝑠))
517427, 12sstri 3645 . . . . . . . . . . 11 (-π[,]π) ⊆ ℂ
518517a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 0 → (-π[,]π) ⊆ ℂ)
51938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 0 → π ∈ ℝ)
520519renegcld 10495 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 0 → -π ∈ ℝ)
521 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 0 → 𝑠 = 0)
52235a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 0 → 0 ∈ ℝ)
523521, 522eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 0 → 𝑠 ∈ ℝ)
524431, 521syl5breqr 4723 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 0 → -π ≤ 𝑠)
525521, 432syl6eqbr 4724 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 0 → 𝑠 ≤ π)
526520, 519, 523, 524, 525eliccd 40044 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 0 → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
52757oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . 12 ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-π[,]π))
52856cnfldtop 22634 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
529 reex 10065 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ V
530 restabs 21017 . . . . . . . . . . . . 13 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (-π[,]π) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-π[,]π)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-π[,]π)))
531528, 427, 529, 530mp3an 1464 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-π[,]π)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-π[,]π))
532527, 531eqtri 2673 . . . . . . . . . . 11 ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-π[,]π))
53356, 532cnplimc 23696 . . . . . . . . . 10 (((-π[,]π) ⊆ ℂ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ↔ (𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ ∧ (𝐾𝑠) ∈ (𝐾 lim 𝑠))))
534518, 526, 533syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 0 → (𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ↔ (𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ ∧ (𝐾𝑠) ∈ (𝐾 lim 𝑠))))
53515, 516, 534mpbir2and 977 . . . . . . . 8 (𝑠 = 0 → 𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
536535adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 = 0) → 𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
537 simpl 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
538502notbii 309 . . . . . . . . . . . . 13 𝑠 ∈ {0} ↔ ¬ 𝑠 = 0)
539538biimpri 218 . . . . . . . . . . . 12 𝑠 = 0 → ¬ 𝑠 ∈ {0})
540539adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
541537, 540eldifd 3618 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
542 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑠 → ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) = ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
543542eleq2d 2716 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑠 → ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) ↔ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)))
544429ssdifssd 3781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⊤ → ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℂ)
545544, 145idcncfg 40403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ 𝑠) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
546 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
547 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℂ)
548 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
549517, 548sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ ℂ)
550549halfcld 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
551550sincld 14904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
552547, 551mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
55381a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 2 ≠ 0)
554 eldifsni 4353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝑠 ≠ 0)
555548, 554, 489syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
556547, 551, 553, 555mulne0d 10717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
557556neneqd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0)
558 elsng 4224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0} ↔ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0))
559552, 558syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0} ↔ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0))
560557, 559mtbird 314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0})
561552, 560eldifd 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}))
562546, 561fmpti 6423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):((-π[,]π) ∖ {0})⟶(ℂ ∖ {0})
563 difss 3770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
564 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ℂ ↦ 2) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ 2)
565175, 176, 175constcncfg 40402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 ∈ ℂ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ 2) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
566102, 565mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ 2) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
567 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((⊤ ∧ 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0})) → 2 ∈ ℂ)
568564, 566, 544, 145, 567cncfmptssg 40401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ 2) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
569549, 547, 553divrecd 10842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝑠 / 2) = (𝑠 · (1 / 2)))
570569mpteq2ia 4773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2)) = (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 · (1 / 2)))
571 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (1 / 2)) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (1 / 2))
572144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((1 / 2) ∈ ℂ → ℂ ⊆ ℂ)
573 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((1 / 2) ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
574572, 573, 572constcncfg 40402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((1 / 2) ∈ ℂ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (1 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
57594, 574mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (1 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
57694a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((⊤ ∧ 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0})) → (1 / 2) ∈ ℂ)
577571, 575, 544, 145, 576cncfmptssg 40401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (1 / 2)) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
578545, 577mulcncf 23261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 · (1 / 2))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
579570, 578syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2)) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
580182, 579cncfmpt1f 22763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
581568, 580mulcncf 23261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
582581trud 1533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ)
583 cncffvrn 22748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ)) → ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→(ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):((-π[,]π) ∖ {0})⟶(ℂ ∖ {0})))
584563, 582, 583mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→(ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):((-π[,]π) ∖ {0})⟶(ℂ ∖ {0}))
585562, 584mpbir 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→(ℂ ∖ {0}))
586585a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→(ℂ ∖ {0})))
587545, 586divcncf 23262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
588587trud 1533 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ)
589428ssdifssd 3781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⊤ → ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
590589trud 1533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℝ
591590, 12sstri 3645 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℂ
59257oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0}))
593 restabs 21017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})))
594528, 590, 529, 593mp3an 1464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0}))
595592, 594eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0}))
596 unicntop 22636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
597596restid 16141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
598528, 597ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
599598eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
60056, 595, 599cncfcn 22759 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
601591, 144, 600mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld))
602588, 601eleqtri 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld))
603 resttopon 21013 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) ∈ (TopOn‘((-π[,]π) ∖ {0})))
60460, 590, 603mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . 14 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) ∈ (TopOn‘((-π[,]π) ∖ {0}))
60556cnfldtopon 22633 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
606 cncnp 21132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) ∈ (TopOn‘((-π[,]π) ∖ {0})) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))):((-π[,]π) ∖ {0})⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0})(𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))))
607604, 605, 606mp2an 708 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))):((-π[,]π) ∖ {0})⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0})(𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥)))
608602, 607mpbi 220 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))):((-π[,]π) ∖ {0})⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0})(𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))
609608simpri 477 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0})(𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥)
610543, 609vtoclri 3314 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
611541, 610syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
61210reseq1i 5424 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) = ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π[,]π) ∖ {0}))
613 difss 3770 . . . . . . . . . . 11 ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π)
614 resmpt 5484 . . . . . . . . . . 11 (((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π) → ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
615613, 614ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
616 eldifn 3766 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
617616, 502sylnib 317 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ 𝑠 = 0)
618617, 479syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
619618mpteq2ia 4773 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
620612, 615, 6193eqtri 2677 . . . . . . . . 9 (𝐾 ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
621 restabs 21017 . . . . . . . . . . . 12 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π) ∧ (-π[,]π) ∈ V) → (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})))
622453, 613, 454, 621mp3an 1464 . . . . . . . . . . 11 (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0}))
623622oveq1i 6700 . . . . . . . . . 10 ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld)) = (((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))
624623fveq1i 6230 . . . . . . . . 9 (((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) = ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)
625611, 620, 6243eltr4g 2747 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝐾 ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
626452, 613pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ Top ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π))
627626a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ Top ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π)))
628 ssdif 3778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π[,]π) ⊆ ℝ → ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (ℝ ∖ {0}))
629427, 628ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (ℝ ∖ {0})
630629, 541sseldi 3634 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}))
631 sscon 3777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({0} ⊆ (-π[,]π) → (ℝ ∖ (-π[,]π)) ⊆ (ℝ ∖ {0}))
632436, 631ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℝ ∖ (-π[,]π)) ⊆ (ℝ ∖ {0})
633629, 632unssi 3821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))) ⊆ (ℝ ∖ {0})
634 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
635 eldifn 3766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
636635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
637634, 636eldifd 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
638 elun1 3813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))))
639637, 638syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))))
640 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑠 ∈ ℝ)
641640adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ ¬ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
642 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ ¬ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ¬ 𝑠 ∈ (-π[,]π))
643641, 642eldifd 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ ¬ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (ℝ ∖ (-π[,]π)))
644 elun2 3814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ (ℝ ∖ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))))
645643, 644syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ ¬ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))))
646639, 645pm2.61dan 849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑠 ∈ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))))
647646ssriv 3640 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ ∖ {0}) ⊆ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))
648633, 647eqssi 3652 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))) = (ℝ ∖ {0})
649648fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . . 13 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))) = ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∖ {0}))
65061cldopn 20883 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (ℝ ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,)))
65159, 650ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,))
652 isopn3i 20934 . . . . . . . . . . . . . 14 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (ℝ ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∖ {0})) = (ℝ ∖ {0}))
653453, 651, 652mp2an 708 . . . . . . . . . . . . 13 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∖ {0})) = (ℝ ∖ {0})
654649, 653eqtri 2673 . . . . . . . . . . . 12 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))) = (ℝ ∖ {0})
655630, 654syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))))
656655, 537elind 3831 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ (((int‘(topGen‘ran (,)))‘(((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))) ∩ (-π[,]π)))
657 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))
65861, 657restntr 21034 . . . . . . . . . . 11 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-π[,]π) ⊆ ℝ ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π)) → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘((-π[,]π) ∖ {0})) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘(((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))) ∩ (-π[,]π)))
659453, 427, 613, 658mp3an 1464 . . . . . . . . . 10 ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘((-π[,]π) ∖ {0})) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘(((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))) ∩ (-π[,]π))
660656, 659syl6eleqr 2741 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘((-π[,]π) ∖ {0})))
66114a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ)
662451toponunii 20769 . . . . . . . . . 10 (-π[,]π) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))
663662, 596cnprest 21141 . . . . . . . . 9 (((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ Top ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π)) ∧ (𝑠 ∈ ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘((-π[,]π) ∖ {0})) ∧ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ)) → (𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ↔ (𝐾 ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)))
664627, 660, 661, 663syl12anc 1364 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ↔ (𝐾 ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)))
665625, 664mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
666536, 665pm2.61dan 849 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
667666rgen 2951 . . . . 5 𝑠 ∈ (-π[,]π)𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)
668 cncnp 21132 . . . . . 6 ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ (TopOn‘(-π[,]π)) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐾 ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))))
669451, 605, 668mp2an 708 . . . . 5 (𝐾 ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)))
67014, 667, 669mpbir2an 975 . . . 4 𝐾 ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
67156, 532, 599cncfcn 22759 . . . . . 6 (((-π[,]π) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((-π[,]π)–cn→ℂ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
672517, 144, 671mp2an 708 . . . . 5 ((-π[,]π)–cn→ℂ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
673672eqcomi 2660 . . . 4 (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) = ((-π[,]π)–cn→ℂ)
674670, 673eleqtri 2728 . . 3 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ)
675 cncffvrn 22748 . . 3 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ)) → (𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ) ↔ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ))
67612, 674, 675mp2an 708 . 2 (𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ) ↔ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ)
67711, 676mpbir 221 1 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wtru 1524  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  ifcif 4119  {csn 4210  {cpr 4212   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144  cres 5145  cima 5146   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  -cneg 10305   / cdiv 10722  2c2 11108  +crp 11870  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  cre 13881  sincsin 14838  cosccos 14839  πcpi 14841  t crest 16128  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  fldccnfld 19794  Topctop 20746  TopOnctopon 20763  Clsdccld 20868  intcnt 20869   Cn ccn 21076   CnP ccnp 21077  cnccncf 22726   lim climc 23671   D cdv 23672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-t1 21166  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by:  fourierdlem77  40718  fourierdlem78  40719  fourierdlem85  40726  fourierdlem88  40729
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