Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem61 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem61 40702
Description: Given a differentiable function 𝐹, with finite limit of the derivative at 𝐴 the derived function 𝐻 has a limit at 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem61.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem61.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem61.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem61.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
fourierdlem61.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
fourierdlem61.g 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem61.domg (𝜑 → dom 𝐺 = (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem61.e (𝜑𝐸 ∈ (𝐺 lim 𝐴))
fourierdlem61.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
fourierdlem61.n 𝑁 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))
fourierdlem61.d 𝐷 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem61 (𝜑𝐸 ∈ (𝐻 lim 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐷,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝐺,𝑠   𝑁,𝑠   𝑌,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem61
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0red 10079 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2 fourierdlem61.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 fourierdlem61.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
42, 3resubcld 10496 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
54rexrd 10127 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ*)
6 fourierdlem61.altb . . . 4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
73, 2posdifd 10652 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
86, 7mpbid 222 . . 3 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
9 fourierdlem61.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
109adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
113rexrd 10127 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
132rexrd 10127 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1413adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
153adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
16 elioore 12243 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1716adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝑠 ∈ ℝ)
1815, 17readdcld 10107 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴 + 𝑠) ∈ ℝ)
193recnd 10106 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2019addid1d 10274 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)
2120eqcomd 2657 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 = (𝐴 + 0))
2221adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝐴 = (𝐴 + 0))
23 0red 10079 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 0 ∈ ℝ)
24 0xr 10124 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 0 ∈ ℝ*)
265adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ*)
27 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)))
28 ioogtlb 40035 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℝ*𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 0 < 𝑠)
2925, 26, 27, 28syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 0 < 𝑠)
3023, 17, 15, 29ltadd2dd 10234 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴 + 0) < (𝐴 + 𝑠))
3122, 30eqbrtrd 4707 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝐴 < (𝐴 + 𝑠))
324adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
33 iooltub 40053 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℝ*𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝑠 < (𝐵𝐴))
3425, 26, 27, 33syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝑠 < (𝐵𝐴))
3517, 32, 15, 34ltadd2dd 10234 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴 + 𝑠) < (𝐴 + (𝐵𝐴)))
362recnd 10106 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3719, 36pncan3d 10433 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
3837adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
3935, 38breqtrd 4711 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴 + 𝑠) < 𝐵)
4012, 14, 18, 31, 39eliood 40038 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴 + 𝑠) ∈ (𝐴(,)𝐵))
4110, 40ffvelrnd 6400 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℝ)
42 ioossre 12273 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
44 ax-resscn 10031 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
4543, 44syl6ss 3648 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
46 eqid 2651 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4746, 13, 3, 6lptioo1cn 40196 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)))
48 fourierdlem61.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
499, 45, 47, 48limcrecl 40179 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
5049adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝑌 ∈ ℝ)
5141, 50resubcld 10496 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℝ)
52 fourierdlem61.n . . . 4 𝑁 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))
5351, 52fmptd 6425 . . 3 (𝜑𝑁:(0(,)(𝐵𝐴))⟶ℝ)
54 fourierdlem61.d . . . 4 𝐷 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠)
5517, 54fmptd 6425 . . 3 (𝜑𝐷:(0(,)(𝐵𝐴))⟶ℝ)
5652oveq2i 6701 . . . . . 6 (ℝ D 𝑁) = (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌)))
5756a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝑁) = (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))))
5857dmeqd 5358 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝑁) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))))
59 reelprrecn 10066 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
6059a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
6141recnd 10106 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℂ)
62 dvfre 23759 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
639, 43, 62syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
64 fourierdlem61.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 = (ℝ D 𝐹))
6665feq1d 6068 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ))
6763, 66mpbird 247 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
6867adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
6965eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
7069dmeqd 5358 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = dom 𝐺)
71 fourierdlem61.domg . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐺 = (𝐴(,)𝐵))
7270, 71eqtr2d 2686 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) = dom (ℝ D 𝐹))
7372adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴(,)𝐵) = dom (ℝ D 𝐹))
7440, 73eleqtrd 2732 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴 + 𝑠) ∈ dom (ℝ D 𝐹))
7568, 74ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℝ)
76 1red 10093 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 1 ∈ ℝ)
779ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
7877recnd 10106 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
7972feq2d 6069 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ↔ 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ))
8067, 79mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
8180ffvelrnda 6399 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
8219adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝐴 ∈ ℂ)
8319adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
84 0red 10079 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
8560, 19dvmptc 23766 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝐴)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 0))
86 ioossre 12273 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,)(𝐵𝐴)) ⊆ ℝ
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0(,)(𝐵𝐴)) ⊆ ℝ)
8846tgioo2 22653 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
89 iooretop 22616 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,)(𝐵𝐴)) ∈ (topGen‘ran (,))
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0(,)(𝐵𝐴)) ∈ (topGen‘ran (,)))
9160, 83, 84, 85, 87, 88, 46, 90dvmptres 23771 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝐴)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 0))
9217recnd 10106 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝑠 ∈ ℂ)
93 recn 10064 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
9493adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℂ)
95 1red 10093 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
9660dvmptid 23765 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 1))
9760, 94, 95, 96, 87, 88, 46, 90dvmptres 23771 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1))
9860, 82, 23, 91, 92, 76, 97dvmptadd 23768 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐴 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (0 + 1)))
99 0p1e1 11170 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
10099mpteq2i 4774 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (0 + 1)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1)
10198, 100syl6eq 2701 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐴 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1))
1029feqmptd 6288 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)))
103102eqcomd 2657 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) = 𝐹)
104103oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥))) = (ℝ D 𝐹))
10580feqmptd 6288 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)))
106104, 69, 1053eqtrd 2689 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)))
107 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐴 + 𝑠) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)))
108 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐴 + 𝑠) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))
10960, 60, 40, 76, 78, 81, 101, 106, 107, 108dvmptco 23780 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) · 1)))
11075recnd 10106 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℂ)
111110mulid1d 10095 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) · 1) = (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))
112111mpteq2dva 4777 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) · 1)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))))
113109, 112eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))))
114 limccl 23684 . . . . . . . . 9 (𝐹 lim 𝐴) ⊆ ℂ
115114, 48sseldi 3634 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
116115adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝑌 ∈ ℂ)
117115adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ ℂ)
11860, 115dvmptc 23766 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑌)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 0))
11960, 117, 84, 118, 87, 88, 46, 90dvmptres 23771 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑌)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 0))
12060, 61, 75, 113, 116, 25, 119dvmptsub 23775 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) − 0)))
121110subid1d 10419 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) − 0) = (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))
122121mpteq2dva 4777 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) − 0)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))))
123120, 122eqtrd 2685 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))))
124123dmeqd 5358 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))) = dom (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))))
12575ralrimiva 2995 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))(𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℝ)
126 dmmptg 5670 . . . . 5 (∀𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))(𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℝ → dom (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))) = (0(,)(𝐵𝐴)))
127125, 126syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))) = (0(,)(𝐵𝐴)))
12858, 124, 1273eqtrd 2689 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D 𝑁) = (0(,)(𝐵𝐴)))
12954a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠))
130129oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D 𝐷) = (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠)))
131130, 97eqtrd 2685 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝐷) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1))
132131dmeqd 5358 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐷) = dom (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1))
13376ralrimiva 2995 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))1 ∈ ℝ)
134 dmmptg 5670 . . . . 5 (∀𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))1 ∈ ℝ → dom (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1) = (0(,)(𝐵𝐴)))
135133, 134syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1) = (0(,)(𝐵𝐴)))
136132, 135eqtrd 2685 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐷) = (0(,)(𝐵𝐴)))
137 eqid 2651 . . . . 5 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)))
138 eqid 2651 . . . . 5 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑌) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑌)
139 eqid 2651 . . . . 5 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))
14040adantrr 753 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) ≠ 𝐴)) → (𝐴 + 𝑠) ∈ (𝐴(,)𝐵))
141 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝐴) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝐴)
142 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠)
143 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐴 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐴 + 𝑠))
14487, 44syl6ss 3648 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0(,)(𝐵𝐴)) ⊆ ℂ)
1451recnd 10106 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
146141, 144, 19, 145constlimc 40174 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝐴) lim 0))
147144, 142, 145idlimc 40176 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠) lim 0))
148141, 142, 143, 82, 92, 146, 147addlimc 40198 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + 0) ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐴 + 𝑠)) lim 0))
14921, 148eqeltrd 2730 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐴 + 𝑠)) lim 0))
150102oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) lim 𝐴))
15148, 150eleqtrd 2732 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) lim 𝐴))
152 simplrr 818 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) = 𝑌) → (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)
15315, 31gtned 10210 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴 + 𝑠) ≠ 𝐴)
154153neneqd 2828 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ¬ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)
155154adantrr 753 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) → ¬ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)
156155adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) = 𝑌) → ¬ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)
157152, 156condan 852 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) → (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) = 𝑌)
158140, 78, 149, 151, 107, 157limcco 23702 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + 𝑠))) lim 0))
159138, 144, 115, 145constlimc 40174 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑌) lim 0))
160137, 138, 139, 61, 116, 158, 159sublimc 40202 . . . 4 (𝜑 → (𝑌𝑌) ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌)) lim 0))
161115subidd 10418 . . . 4 (𝜑 → (𝑌𝑌) = 0)
16252eqcomi 2660 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌)) = 𝑁
163162oveq1i 6700 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌)) lim 0) = (𝑁 lim 0)
164163a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌)) lim 0) = (𝑁 lim 0))
165160, 161, 1643eltr3d 2744 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (𝑁 lim 0))
166144, 54, 145idlimc 40176 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (𝐷 lim 0))
167 lbioo 12244 . . . . 5 ¬ 0 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))
168167a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)))
169 mptresid 5491 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠) = ( I ↾ (0(,)(𝐵𝐴)))
170129, 169syl6eq 2701 . . . . . 6 (𝜑𝐷 = ( I ↾ (0(,)(𝐵𝐴))))
171170rneqd 5385 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐷 = ran ( I ↾ (0(,)(𝐵𝐴))))
172 rnresi 5514 . . . . 5 ran ( I ↾ (0(,)(𝐵𝐴))) = (0(,)(𝐵𝐴))
173171, 172syl6req 2702 . . . 4 (𝜑 → (0(,)(𝐵𝐴)) = ran 𝐷)
174168, 173neleqtrd 2751 . . 3 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran 𝐷)
175 0ne1 11126 . . . . . 6 0 ≠ 1
176175neii 2825 . . . . 5 ¬ 0 = 1
177 elsng 4224 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → (0 ∈ {1} ↔ 0 = 1))
1781, 177syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0 ∈ {1} ↔ 0 = 1))
179176, 178mtbiri 316 . . . 4 (𝜑 → ¬ 0 ∈ {1})
180131rneqd 5385 . . . . 5 (𝜑 → ran (ℝ D 𝐷) = ran (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1))
181 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1)
18224a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
183 ioon0 12239 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℝ*) → ((0(,)(𝐵𝐴)) ≠ ∅ ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
184182, 5, 183syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0(,)(𝐵𝐴)) ≠ ∅ ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
1858, 184mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑 → (0(,)(𝐵𝐴)) ≠ ∅)
186181, 76, 185rnmptc 39667 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1) = {1})
187180, 186eqtr2d 2686 . . . 4 (𝜑 → {1} = ran (ℝ D 𝐷))
188179, 187neleqtrd 2751 . . 3 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐷))
18981recnd 10106 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
190 fourierdlem61.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (𝐺 lim 𝐴))
191105oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 lim 𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)) lim 𝐴))
192190, 191eleqtrd 2732 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)) lim 𝐴))
193 simplrr 818 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) ∧ ¬ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) = 𝐸) → (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)
194155adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) ∧ ¬ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) = 𝐸) → ¬ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)
195193, 194condan 852 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) → (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) = 𝐸)
196140, 189, 149, 192, 108, 195limcco 23702 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))) lim 0))
197110div1d 10831 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) / 1) = (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))
19856, 123syl5eq 2697 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D 𝑁) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))))
199198adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (ℝ D 𝑁) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))))
200199fveq1d 6231 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((ℝ D 𝑁)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))‘𝑠))
201 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))
202201fvmpt2 6330 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℝ) → ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))‘𝑠) = (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))
20327, 75, 202syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))‘𝑠) = (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))
204200, 203eqtr2d 2686 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) = ((ℝ D 𝑁)‘𝑠))
205131fveq1d 6231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D 𝐷)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1)‘𝑠))
206205adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1)‘𝑠))
207181fvmpt2 6330 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1)‘𝑠) = 1)
20827, 76, 207syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1)‘𝑠) = 1)
209206, 208eqtr2d 2686 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 1 = ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))
210204, 209oveq12d 6708 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) / 1) = (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠)))
211197, 210eqtr3d 2687 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) = (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠)))
212211mpteq2dva 4777 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))))
213212oveq1d 6705 . . . 4 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))) lim 0) = ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))) lim 0))
214196, 213eleqtrd 2732 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))) lim 0))
2151, 5, 8, 53, 55, 128, 136, 165, 166, 174, 188, 214lhop1 23822 . 2 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) lim 0))
21652fvmpt2 6330 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℝ) → (𝑁𝑠) = ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))
21727, 51, 216syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝑁𝑠) = ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))
21854fvmpt2 6330 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐷𝑠) = 𝑠)
21927, 27, 218syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐷𝑠) = 𝑠)
220217, 219oveq12d 6708 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠)) = (((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
221220mpteq2dva 4777 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠)))
222 fourierdlem61.h . . . 4 𝐻 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
223221, 222syl6eqr 2703 . . 3 (𝜑 → (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) = 𝐻)
224223oveq1d 6705 . 2 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) lim 0) = (𝐻 lim 0))
225215, 224eleqtrd 2732 1 (𝜑𝐸 ∈ (𝐻 lim 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wss 3607  c0 3948  {csn 4210  {cpr 4212   class class class wbr 4685  cmpt 4762   I cid 5052  dom cdm 5143  ran crn 5144  cres 5145  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  *cxr 10111   < clt 10112  cmin 10304   / cdiv 10722  (,)cioo 12213  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  fldccnfld 19794   lim climc 23671   D cdv 23672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by:  fourierdlem75  40716
  Copyright terms: Public domain W3C validator