Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem6 40851
Description: 𝑋 is in the periodic partition, when the considered interval is centered at 𝑋. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem6.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem6.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem6.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem6.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem6.5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem6.i (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
fourierdlem6.j (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
fourierdlem6.iltj (𝜑𝐼 < 𝐽)
fourierdlem6.iel (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
fourierdlem6.jel (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem6 (𝜑𝐽 = (𝐼 + 1))

Proof of Theorem fourierdlem6
StepHypRef Expression
1 fourierdlem6.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
21zred 11694 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
3 fourierdlem6.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
43zred 11694 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
52, 4resubcld 10670 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽𝐼) ∈ ℝ)
6 fourierdlem6.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝐵𝐴)
7 fourierdlem6.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
8 fourierdlem6.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
97, 8resubcld 10670 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
106, 9syl5eqel 2843 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
115, 10remulcld 10282 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽𝐼) · 𝑇) ∈ ℝ)
12 fourierdlem6.altb . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 < 𝐵)
138, 7posdifd 10826 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
1412, 13mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
1514, 6syl6breqr 4846 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝑇)
1610, 15elrpd 12082 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
17 fourierdlem6.jel . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
18 fourierdlem6.iel . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
198, 7, 17, 18iccsuble 40266 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) − (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))) ≤ (𝐵𝐴))
202recnd 10280 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
214recnd 10280 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
2210recnd 10280 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
2320, 21, 22subdird 10699 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽𝐼) · 𝑇) = ((𝐽 · 𝑇) − (𝐼 · 𝑇)))
24 fourierdlem6.5 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
2524recnd 10280 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
262, 10remulcld 10282 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℝ)
2726recnd 10280 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℂ)
284, 10remulcld 10282 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℝ)
2928recnd 10280 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℂ)
3025, 27, 29pnpcand 10641 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) − (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))) = ((𝐽 · 𝑇) − (𝐼 · 𝑇)))
3123, 30eqtr4d 2797 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐽𝐼) · 𝑇) = ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) − (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))))
326a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑇 = (𝐵𝐴))
3319, 31, 323brtr4d 4836 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽𝐼) · 𝑇) ≤ 𝑇)
3411, 10, 16, 33lediv1dd 12143 . . . 4 (𝜑 → (((𝐽𝐼) · 𝑇) / 𝑇) ≤ (𝑇 / 𝑇))
355recnd 10280 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽𝐼) ∈ ℂ)
3615gt0ne0d 10804 . . . . 5 (𝜑𝑇 ≠ 0)
3735, 22, 36divcan4d 11019 . . . 4 (𝜑 → (((𝐽𝐼) · 𝑇) / 𝑇) = (𝐽𝐼))
3822, 36dividd 11011 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 / 𝑇) = 1)
3934, 37, 383brtr3d 4835 . . 3 (𝜑 → (𝐽𝐼) ≤ 1)
40 1red 10267 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
412, 4, 40lesubadd2d 10838 . . 3 (𝜑 → ((𝐽𝐼) ≤ 1 ↔ 𝐽 ≤ (𝐼 + 1)))
4239, 41mpbid 222 . 2 (𝜑𝐽 ≤ (𝐼 + 1))
43 fourierdlem6.iltj . . 3 (𝜑𝐼 < 𝐽)
44 zltp1le 11639 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
453, 1, 44syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
4643, 45mpbid 222 . 2 (𝜑 → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽)
474, 40readdcld 10281 . . 3 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
482, 47letri3d 10391 . 2 (𝜑 → (𝐽 = (𝐼 + 1) ↔ (𝐽 ≤ (𝐼 + 1) ∧ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽)))
4942, 46, 48mpbir2and 995 1 (𝜑𝐽 = (𝐼 + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153   < clt 10286  cle 10287  cmin 10478   / cdiv 10896  cz 11589  [,]cicc 12391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-rp 12046  df-icc 12395
This theorem is referenced by:  fourierdlem35  40880  fourierdlem51  40895
  Copyright terms: Public domain W3C validator