Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem59 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem59 40903
Description: The derivative of 𝐻 is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem59.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem59.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem59.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem59.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem59.n0 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem59.fdv (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ))
fourierdlem59.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem59.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem59 (𝜑 → (ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐶,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem59
StepHypRef Expression
1 fourierdlem59.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
21adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3 fourierdlem59.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
43adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
5 elioore 12418 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
65adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
74, 6readdcld 10281 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
82, 7ffvelrnd 6524 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
9 fourierdlem59.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
109adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
118, 10resubcld 10670 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℝ)
12 eqcom 2767 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 0 ↔ 0 = 𝑠)
1312biimpi 206 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 0 → 0 = 𝑠)
1413adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 0 = 𝑠)
15 simpl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
1614, 15eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
1716adantll 752 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
18 fourierdlem59.n0 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
1918ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 = 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2017, 19pm2.65da 601 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑠 = 0)
2120neqned 2939 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ≠ 0)
2211, 6, 21redivcld 11065 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠) ∈ ℝ)
23 fourierdlem59.h . . . . 5 𝐻 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠))
2422, 23fmptd 6549 . . . 4 (𝜑𝐻:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
25 ioossre 12448 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
2625a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
27 dvfre 23933 . . . 4 ((𝐻:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐻):dom (ℝ D 𝐻)⟶ℝ)
2824, 26, 27syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝐻):dom (ℝ D 𝐻)⟶ℝ)
29 ovex 6842 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐵) ∈ V
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ V)
31 eqidd 2761 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)))
32 eqidd 2761 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠))
3330, 11, 6, 31, 32offval2 7080 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ∘𝑓 / (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠)))
3433, 23syl6reqr 2813 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 = ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ∘𝑓 / (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)))
3534oveq2d 6830 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D 𝐻) = (ℝ D ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ∘𝑓 / (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠))))
36 reelprrecn 10240 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
3736a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3811recnd 10280 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℂ)
39 eqid 2760 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))
4038, 39fmptd 6549 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
416recnd 10280 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
42 eldifsn 4462 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0))
4341, 21, 42sylanbrc 701 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}))
44 eqid 2760 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)
4543, 44fmptd 6549 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠):(𝐴(,)𝐵)⟶(ℂ ∖ {0}))
46 eqidd 2761 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))))
47 eqidd 2761 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶))
4830, 8, 10, 46, 47offval2 7080 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∘𝑓 − (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)))
4948eqcomd 2766 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) = ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∘𝑓 − (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)))
5049oveq2d 6830 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∘𝑓 − (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶))))
518recnd 10280 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
52 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
5351, 52fmptd 6549 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
5410recnd 10280 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
55 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)
5654, 55fmptd 6549 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
57 fourierdlem59.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
58 fourierdlem59.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
59 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
60 fourierdlem59.fdv . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ))
61 cncff 22917 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
631, 3, 57, 58, 59, 62fourierdlem28 40873 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
64 ioosscn 40237 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℂ
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℂ)
66 ax-resscn 10205 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℂ
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
6862, 67fssd 6218 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℂ)
69 ssid 3765 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ ⊆ ℂ
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
71 cncffvrn 22922 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℂ) ↔ (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℂ))
7270, 60, 71syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℂ) ↔ (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℂ))
7368, 72mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℂ))
74 ioosscn 40237 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
7574a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
763recnd 10280 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
773, 57readdcld 10281 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ)
7877rexrd 10301 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
7978adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
803, 58readdcld 10281 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ)
8180rexrd 10301 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ*)
8281adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ*)
8357adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8483rexrd 10301 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8558rexrd 10301 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
8685adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
87 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
88 ioogtlb 40238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
8984, 86, 87, 88syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
9083, 6, 4, 89ltadd2dd 10408 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
9158adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
92 iooltub 40256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
9384, 86, 87, 92syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
946, 91, 4, 93ltadd2dd 10408 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐵))
9579, 82, 7, 90, 94eliood 40241 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))
9665, 73, 75, 76, 95fourierdlem23 40868 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
9763, 96eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
98 iooretop 22790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
99 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10099tgioo2 22827 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
10198, 100eleqtri 2837 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
102101a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
1039recnd 10280 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
10437, 102, 103dvmptconst 40650 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0))
105 0cnd 10245 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
10675, 105, 70constcncfg 40605 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
107104, 106eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10837, 53, 56, 97, 107dvsubcncf 40660 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∘𝑓 − (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10950, 108eqeltrd 2839 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
11037, 102dvmptidg 40652 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
111 1cnd 10268 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11275, 111, 70constcncfg 40605 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
113110, 112eqeltrd 2839 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
11437, 40, 45, 109, 113dvdivcncf 40663 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ∘𝑓 / (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
11535, 114eqeltrd 2839 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
116 cncff 22917 . . . . 5 ((ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → (ℝ D 𝐻):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
117 fdm 6212 . . . . 5 ((ℝ D 𝐻):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ → dom (ℝ D 𝐻) = (𝐴(,)𝐵))
118115, 116, 1173syl 18 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐻) = (𝐴(,)𝐵))
119118feq2d 6192 . . 3 (𝜑 → ((ℝ D 𝐻):dom (ℝ D 𝐻)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐻):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
12028, 119mpbid 222 . 2 (𝜑 → (ℝ D 𝐻):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
121 cncffvrn 22922 . . 3 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) → ((ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐻):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
12267, 115, 121syl2anc 696 . 2 (𝜑 → ((ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐻):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
123120, 122mpbird 247 1 (𝜑 → (ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  Vcvv 3340  cdif 3712  wss 3715  {csn 4321  {cpr 4323   class class class wbr 4804  cmpt 4881  dom cdm 5266  ran crn 5267  cres 5268  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  𝑓 cof 7061  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151  *cxr 10285   < clt 10286  cmin 10478   / cdiv 10896  (,)cioo 12388  t crest 16303  TopOpenctopn 16304  topGenctg 16320  fldccnfld 19968  cnccncf 22900   D cdv 23846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-t1 21340  df-haus 21341  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-limc 23849  df-dv 23850
This theorem is referenced by:  fourierdlem72  40916
  Copyright terms: Public domain W3C validator