Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem58 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem58 39718
Description: The derivative of 𝐾 is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem58.k 𝐾 = (𝑠𝐴 ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
fourierdlem58.ass (𝜑𝐴 ⊆ (-π[,]π))
fourierdlem58.0nA (𝜑 → ¬ 0 ∈ 𝐴)
fourierdlem58.4 (𝜑𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem58 (𝜑 → (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴cn→ℝ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem58
StepHypRef Expression
1 pire 24148 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → π ∈ ℝ)
32renegcld 10417 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → -π ∈ ℝ)
43, 2iccssred 39173 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
5 fourierdlem58.ass . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ (-π[,]π))
65sselda 3588 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
74, 6sseldd 3589 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
8 2re 11050 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → 2 ∈ ℝ)
107rehalfcld 11239 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
1110resincld 14817 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
129, 11remulcld 10030 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
13 2cnd 11053 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → 2 ∈ ℂ)
147recnd 10028 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℂ)
1514halfcld 11237 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
1615sincld 14804 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
17 2ne0 11073 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
1817a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → 2 ≠ 0)
19 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 0 ↔ 0 = 𝑠)
2019biimpi 206 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 0 → 0 = 𝑠)
2120adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠𝐴𝑠 = 0) → 0 = 𝑠)
22 simpl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠𝐴𝑠 = 0) → 𝑠𝐴)
2321, 22eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠𝐴𝑠 = 0) → 0 ∈ 𝐴)
2423adantll 749 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝐴) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ 𝐴)
25 fourierdlem58.0nA . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ 0 ∈ 𝐴)
2625ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝐴) ∧ 𝑠 = 0) → ¬ 0 ∈ 𝐴)
2724, 26pm2.65da 599 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → ¬ 𝑠 = 0)
2827neqned 2797 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ≠ 0)
29 fourierdlem44 39705 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
306, 28, 29syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
3113, 16, 18, 30mulne0d 10639 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
327, 12, 31redivcld 10813 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
33 fourierdlem58.k . . . . 5 𝐾 = (𝑠𝐴 ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
3432, 33fmptd 6351 . . . 4 (𝜑𝐾:𝐴⟶ℝ)
351a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → π ∈ ℝ)
3635renegcld 10417 . . . . . 6 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
3736, 35iccssred 39173 . . . . 5 (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
385, 37sstrd 3598 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
39 dvfre 23654 . . . 4 ((𝐾:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐾):dom (ℝ D 𝐾)⟶ℝ)
4034, 38, 39syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝐾):dom (ℝ D 𝐾)⟶ℝ)
41 fourierdlem58.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)))
42 eqidd 2622 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠𝐴𝑠) = (𝑠𝐴𝑠))
43 eqidd 2622 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
4441, 7, 12, 42, 43offval2 6879 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑠𝐴𝑠) ∘𝑓 / (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠𝐴 ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
4544, 33syl6reqr 2674 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 = ((𝑠𝐴𝑠) ∘𝑓 / (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
4645oveq2d 6631 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D 𝐾) = (ℝ D ((𝑠𝐴𝑠) ∘𝑓 / (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
47 reelprrecn 9988 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
4847a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
49 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝑠𝐴𝑠) = (𝑠𝐴𝑠)
5014, 49fmptd 6351 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠𝐴𝑠):𝐴⟶ℂ)
5113, 16mulcld 10020 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
5231neneqd 2795 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐴) → ¬ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0)
53 elsng 4169 . . . . . . . . . . 11 ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0} ↔ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0))
5412, 53syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐴) → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0} ↔ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0))
5552, 54mtbird 315 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → ¬ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0})
5651, 55eldifd 3571 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}))
57 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
5856, 57fmptd 6351 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))
59 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6059tgioo2 22546 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
6141, 60syl6eleq 2708 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
6248, 61dvmptidg 39467 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠𝐴𝑠)) = (𝑠𝐴 ↦ 1))
63 ax-resscn 9953 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
6538, 64sstrd 3598 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
66 1cnd 10016 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
67 ssid 3609 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
6867a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
6965, 66, 68constcncfg 39419 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠𝐴 ↦ 1) ∈ (𝐴cn→ℂ))
7062, 69eqeltrd 2698 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠𝐴𝑠)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
7138resmptd 5421 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴) = (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
7271eqcomd 2627 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴))
7372oveq2d 6631 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴)))
74 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
75 2cnd 11053 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
76 recn 9986 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
7776halfcld 11237 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
7877sincld 14804 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
7975, 78mulcld 10020 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
8074, 79fmpti 6349 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ
8180a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ)
82 ssid 3609 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℝ
8382a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
8459, 60dvres 23615 . . . . . . . . . 10 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴)) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴)))
8564, 81, 83, 38, 84syl22anc 1324 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴)) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴)))
86 retop 22505 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
88 uniretop 22506 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ = (topGen‘ran (,))
8988isopn3 20810 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = 𝐴))
9087, 38, 89syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = 𝐴))
9141, 90mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = 𝐴)
9291reseq2d 5366 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴)) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ 𝐴))
93 resmpt 5418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))))
9463, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))
95 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℂ → 𝑠 ∈ ℂ)
96 2cnd 11053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
9717a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
9895, 96, 97divrec2d 10765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ℂ → (𝑠 / 2) = ((1 / 2) · 𝑠))
9998eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑠) = (𝑠 / 2))
10076, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / 2) · 𝑠) = (𝑠 / 2))
101100fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘((1 / 2) · 𝑠)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
102101oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
103102mpteq2ia 4710 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
10494, 103eqtr2i 2644 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)
105104oveq2i 6626 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ))
106 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))
107 halfcn 11207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 / 2) ∈ ℂ
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
109108, 95mulcld 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑠) ∈ ℂ)
110109sincld 14804 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℂ → (sin‘((1 / 2) · 𝑠)) ∈ ℂ)
11196, 110mulcld 10020 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℂ → (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))) ∈ ℂ)
112106, 111fmpti 6349 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))):ℂ⟶ℂ
113 2cn 11051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℂ
114 dvasinbx 39472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))))
115113, 107, 114mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
116113, 17recidi 10716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 · (1 / 2)) = 1
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℂ → (2 · (1 / 2)) = 1)
11899fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℂ → (cos‘((1 / 2) · 𝑠)) = (cos‘(𝑠 / 2)))
119117, 118oveq12d 6633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ℂ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (1 · (cos‘(𝑠 / 2))))
120 halfcl 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ℂ → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
121120coscld 14805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℂ → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
122121mulid2d 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ℂ → (1 · (cos‘(𝑠 / 2))) = (cos‘(𝑠 / 2)))
123119, 122eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℂ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (cos‘(𝑠 / 2)))
124123mpteq2ia 4710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
125115, 124eqtri 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
126125dmeqi 5295 . . . . . . . . . . . . . . . 16 dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
127 dmmptg 5601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑠 ∈ ℂ (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ → dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) = ℂ)
128127, 121mprg 2922 . . . . . . . . . . . . . . . 16 dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) = ℂ
129126, 128eqtri 2643 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = ℂ
13063, 129sseqtr4i 3623 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))))
131 dvres3 23617 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))))) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ))
13247, 112, 67, 130, 131mp4an 708 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ)
133125reseq1i 5362 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ)
134105, 132, 1333eqtri 2647 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ)
135134reseq1i 5362 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ 𝐴) = (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ) ↾ 𝐴)
136135a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ 𝐴) = (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ) ↾ 𝐴))
13738resabs1d 5397 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ) ↾ 𝐴) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ 𝐴))
13865resmptd 5421 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ 𝐴) = (𝑠𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
139137, 138eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ) ↾ 𝐴) = (𝑠𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
14092, 136, 1393eqtrd 2659 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴)) = (𝑠𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
14173, 85, 1403eqtrd 2659 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
142 coscn 24137 . . . . . . . . . 10 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
143142a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
14465, 68idcncfg 39420 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠𝐴𝑠) ∈ (𝐴cn→ℂ))
145 2cnd 11053 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
14617a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≠ 0)
147 eldifsn 4294 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
148145, 146, 147sylanbrc 697 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ (ℂ ∖ {0}))
149 difssd 3722 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
15065, 148, 149constcncfg 39419 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠𝐴 ↦ 2) ∈ (𝐴cn→(ℂ ∖ {0})))
151144, 150divcncf 23156 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠𝐴 ↦ (𝑠 / 2)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
152143, 151cncfmpt1f 22656 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ∈ (𝐴cn→ℂ))
153141, 152eqeltrd 2698 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (𝐴cn→ℂ))
15448, 50, 58, 70, 153dvdivcncf 39479 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D ((𝑠𝐴𝑠) ∘𝑓 / (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ (𝐴cn→ℂ))
15546, 154eqeltrd 2698 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴cn→ℂ))
156 cncff 22636 . . . . 5 ((ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴cn→ℂ) → (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℂ)
157 fdm 6018 . . . . 5 ((ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℂ → dom (ℝ D 𝐾) = 𝐴)
158155, 156, 1573syl 18 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐾) = 𝐴)
159158feq2d 5998 . . 3 (𝜑 → ((ℝ D 𝐾):dom (ℝ D 𝐾)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℝ))
16040, 159mpbid 222 . 2 (𝜑 → (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℝ)
161 cncffvrn 22641 . . 3 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴cn→ℂ)) → ((ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℝ))
16264, 155, 161syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ((ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℝ))
163160, 162mpbird 247 1 (𝜑 → (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴cn→ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cdif 3557  wss 3560  {csn 4155  {cpr 4157  cmpt 4683  dom cdm 5084  ran crn 5085  cres 5086  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  𝑓 cof 6860  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   · cmul 9901  -cneg 10227   / cdiv 10644  2c2 11030  (,)cioo 12133  [,]cicc 12136  sincsin 14738  cosccos 14739  πcpi 14741  t crest 16021  TopOpenctopn 16022  topGenctg 16038  fldccnfld 19686  Topctop 20638  intcnt 20761  cnccncf 22619   D cdv 23567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ioc 12138  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-fac 13017  df-bc 13046  df-hash 13074  df-shft 13757  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-limsup 14152  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367  df-ef 14742  df-sin 14744  df-cos 14745  df-pi 14747  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-mulg 17481  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-nei 20842  df-lp 20880  df-perf 20881  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-t1 21058  df-haus 21059  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-fil 21590  df-fm 21682  df-flim 21683  df-flf 21684  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067  df-cncf 22621  df-limc 23570  df-dv 23571
This theorem is referenced by:  fourierdlem72  39732
  Copyright terms: Public domain W3C validator