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Theorem fourierdlem51 40692
Description: 𝑋 is in the periodic partition, when the considered interval is centered at 𝑋. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem51.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem51.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem51.alt0 (𝜑𝐴 < 0)
fourierdlem51.bgt0 (𝜑 → 0 < 𝐵)
fourierdlem51.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem51.cfi (𝜑𝐶 ∈ Fin)
fourierdlem51.css (𝜑𝐶 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
fourierdlem51.bc (𝜑𝐵𝐶)
fourierdlem51.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem51.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem51.exc (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ 𝐶)
fourierdlem51.d 𝐷 = ({(𝐴 + 𝑋), (𝐵 + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})
fourierdlem51.f 𝐹 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((#‘𝐷) − 1)), 𝐷))
fourierdlem51.h 𝐻 = {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}
Assertion
Ref Expression
fourierdlem51 (𝜑𝑋 ∈ ran 𝐹)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑦   𝐵,𝑘,𝑥,𝑦   𝐶,𝑘,𝑥,𝑦   𝐷,𝑓   𝑘,𝐸,𝑥   𝑓,𝐹   𝑥,𝐻   𝑇,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑇(𝑓)   𝐸(𝑦,𝑓)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐻(𝑦,𝑓,𝑘)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem fourierdlem51
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem51.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem51.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
31, 2readdcld 10107 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ)
4 fourierdlem51.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
54, 2readdcld 10107 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ)
6 0red 10079 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
7 fourierdlem51.alt0 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 < 0)
81, 6, 2, 7ltadd1dd 10676 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) < (0 + 𝑋))
92recnd 10106 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
109addid2d 10275 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 + 𝑋) = 𝑋)
118, 10breqtrd 4711 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) < 𝑋)
123, 2, 11ltled 10223 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) ≤ 𝑋)
13 fourierdlem51.bgt0 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 𝐵)
146, 4, 2, 13ltadd1dd 10676 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 + 𝑋) < (𝐵 + 𝑋))
1510, 14eqbrtrrd 4709 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 < (𝐵 + 𝑋))
162, 5, 15ltled 10223 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ≤ (𝐵 + 𝑋))
173, 5, 2, 12, 16eliccd 40044 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)))
184, 2resubcld 10496 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
19 fourierdlem51.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝐵𝐴)
204, 1resubcld 10496 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
2119, 20syl5eqel 2734 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
221, 6, 4, 7, 13lttrd 10236 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 < 𝐵)
231, 4posdifd 10652 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
2422, 23mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
2519eqcomi 2660 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐴) = 𝑇
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) = 𝑇)
2724, 26breqtrd 4711 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 𝑇)
2827gt0ne0d 10630 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ≠ 0)
2918, 21, 28redivcld 10891 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
3029flcld 12639 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
31 fourierdlem51.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
3231a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))))
33 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
34 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑋 → (𝐵𝑥) = (𝐵𝑋))
3534oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = ((𝐵𝑋) / 𝑇))
3635fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)))
3736oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
3833, 37oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
3938adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
4030zred 11520 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ)
4140, 21remulcld 10108 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
422, 41readdcld 10107 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
4332, 39, 2, 42fvmptd 6327 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
44 fourierdlem51.exc . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ 𝐶)
4543, 44eqeltrrd 2731 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐶)
46 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
4746oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
4847eleq1d 2715 . . . . . . 7 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶 ↔ (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐶))
4948rspcev 3340 . . . . . 6 (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ ∧ (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐶) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶)
5030, 45, 49syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶)
51 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
5251eleq1d 2715 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑋 → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶 ↔ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶))
5352rexbidv 3081 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶))
5453elrab 3396 . . . . 5 (𝑋 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} ↔ (𝑋 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶))
5517, 50, 54sylanbrc 699 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})
56 elun2 3814 . . . 4 (𝑋 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} → 𝑋 ∈ ({(𝐴 + 𝑋), (𝐵 + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}))
5755, 56syl 17 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ({(𝐴 + 𝑋), (𝐵 + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}))
58 fourierdlem51.d . . 3 𝐷 = ({(𝐴 + 𝑋), (𝐵 + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})
5957, 58syl6eleqr 2741 . 2 (𝜑𝑋𝐷)
60 prfi 8276 . . . . . 6 {(𝐴 + 𝑋), (𝐵 + 𝑋)} ∈ Fin
61 snfi 8079 . . . . . . . 8 {(𝐴 + 𝑋)} ∈ Fin
62 fourierdlem51.cfi . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
63 fvres 6245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} → ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑥) = (𝐸𝑥))
6463adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) → ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑥) = (𝐸𝑥))
65 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
6665eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶 ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶))
6766rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶))
6867elrab 3396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} ↔ (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶))
6968simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶)
7069adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶)
71 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘𝜑
72 nfre1 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶
73 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋))
7472, 73nfrab 3153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘{𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}
7574nfcri 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}
7671, 75nfan 1868 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘(𝜑𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})
77 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘(𝐸𝑥) ∈ 𝐶
78 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) → 𝜑)
793rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ*)
80 iocssre 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ⊆ ℝ)
8179, 5, 80syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ⊆ ℝ)
8281adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) → ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ⊆ ℝ)
83 elrabi 3391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)))
8483adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)))
8582, 84sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) → 𝑥 ∈ ℝ)
86 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
874adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
8887, 86resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵𝑥) ∈ ℝ)
8921adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
9028adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ≠ 0)
9188, 89, 90redivcld 10891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ)
9291flcld 12639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ∈ ℤ)
9392zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ∈ ℝ)
9493, 89remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
9586, 94readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
9631fvmpt2 6330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝐸𝑥) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
9786, 95, 96syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐸𝑥) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
9897ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → (𝐸𝑥) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
99 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
10092ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ∈ ℤ)
101 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴)
1021rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1034rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1041, 4, 22ltled 10223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝐴𝐵)
105 lbicc2 12326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
106102, 103, 104, 105syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
107106adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
108101, 107eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
109108ad4ant14 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
11099, 100, 109jca31 556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
111 iocssicc 12299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
1121, 4, 22, 19, 31fourierdlem4 40646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
113112ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐸𝑥) ∈ (𝐴(,]𝐵))
114111, 113sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐸𝑥) ∈ (𝐴[,]𝐵))
11597, 114eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
116115ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
117102adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
11887rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
119 iocgtlb 40042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑥) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸𝑥))
120117, 118, 113, 119syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 < (𝐸𝑥))
121120ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → 𝐴 < (𝐸𝑥))
122 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴 → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴)
123122eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴𝐴 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
124123adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → 𝐴 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
125121, 124, 983brtr3d 4716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
126 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
127126adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
12821adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℝ)
129127, 128remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
130129adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
131130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
13294ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
133 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
134131, 132, 133ltadd2d 10231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → ((𝑘 · 𝑇) < ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))))
135125, 134mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → (𝑘 · 𝑇) < ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
136126ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → 𝑘 ∈ ℝ)
13793ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ∈ ℝ)
13821, 27elrpd 11907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
139138ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → 𝑇 ∈ ℝ+)
140136, 137, 139ltmul1d 11951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → (𝑘 < (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ↔ (𝑘 · 𝑇) < ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
141135, 140mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → 𝑘 < (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)))
142 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ∈ V
143 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑗 = (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) → (𝑗 ∈ ℤ ↔ (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ∈ ℤ))
144143anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑗 = (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) → ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ↔ (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ∈ ℤ)))
145144anbi1d 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑗 = (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) → (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))))
146 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑗 = (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) → (𝑗 · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
147146oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑗 = (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
148147eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑗 = (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) → ((𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
149145, 148anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑗 = (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) → ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))))
150 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑗 = (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) → (𝑘 < 𝑗𝑘 < (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇))))
151149, 150anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑗 = (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) → (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ↔ ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑘 < (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)))))
152 eqeq1 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑗 = (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) → (𝑗 = (𝑘 + 1) ↔ (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (𝑘 + 1)))
153151, 152imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 = (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) → ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑗 = (𝑘 + 1)) ↔ (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑘 < (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇))) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (𝑘 + 1))))
154 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 ∈ ℤ ↔ 𝑘 ∈ ℤ))
155154anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑖 = 𝑘 → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ↔ ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ)))
156155anbi1d 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑖 = 𝑘 → ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ↔ (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)))
157 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 · 𝑇) = (𝑘 · 𝑇))
158157oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑖 = 𝑘 → (𝑥 + (𝑖 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
159158eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑥 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
160156, 159anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 = 𝑘 → (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))))
161160anbi1d 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = 𝑘 → ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))))
162 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 < 𝑗𝑘 < 𝑗))
163161, 162anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = 𝑘 → (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ↔ ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑘 < 𝑗)))
164 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 + 1) = (𝑘 + 1))
165164eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = 𝑘 → (𝑗 = (𝑖 + 1) ↔ 𝑗 = (𝑘 + 1)))
166163, 165imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 = 𝑘 → ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝑗 = (𝑖 + 1)) ↔ (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑗 = (𝑘 + 1))))
167 simp-6l 827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝜑)
168167, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝐴 ∈ ℝ)
169167, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝐵 ∈ ℝ)
170167, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝐴 < 𝐵)
171 simp-6r 828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝑥 ∈ ℝ)
172 simp-5r 826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝑖 ∈ ℤ)
173 simp-4r 824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
174 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝑖 < 𝑗)
175 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑖 < 𝑗) → (𝑥 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
176 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑖 < 𝑗) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
177168, 169, 170, 19, 171, 172, 173, 174, 175, 176fourierdlem6 40648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑖 < 𝑗) → 𝑗 = (𝑖 + 1))
178166, 177chvarv 2299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑗 = (𝑘 + 1))
179142, 153, 178vtocl 3290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑘 < (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇))) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (𝑘 + 1))
180110, 116, 141, 179syl21anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (𝑘 + 1))
181180oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((𝑘 + 1) · 𝑇))
182181oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((𝑘 + 1) · 𝑇)))
183127recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
18421recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
185184adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℂ)
186183, 185adddirp1d 10104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 + 1) · 𝑇) = ((𝑘 · 𝑇) + 𝑇))
187186oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + ((𝑘 + 1) · 𝑇)) = (𝑥 + ((𝑘 · 𝑇) + 𝑇)))
188187adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + ((𝑘 + 1) · 𝑇)) = (𝑥 + ((𝑘 · 𝑇) + 𝑇)))
189188adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → (𝑥 + ((𝑘 + 1) · 𝑇)) = (𝑥 + ((𝑘 · 𝑇) + 𝑇)))
19086recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
191190adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
192130recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
193184ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℂ)
194191, 192, 193addassd 10100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑥 + ((𝑘 · 𝑇) + 𝑇)))
195194eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + ((𝑘 · 𝑇) + 𝑇)) = ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) + 𝑇))
196195adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → (𝑥 + ((𝑘 · 𝑇) + 𝑇)) = ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) + 𝑇))
197 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴 → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝐴 + 𝑇))
198197adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝐴 + 𝑇))
1994recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2001recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
201199, 200, 184subaddd 10448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((𝐵𝐴) = 𝑇 ↔ (𝐴 + 𝑇) = 𝐵))
20226, 201mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) = 𝐵)
203202ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → (𝐴 + 𝑇) = 𝐵)
204198, 203eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) + 𝑇) = 𝐵)
205189, 196, 2043eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → (𝑥 + ((𝑘 + 1) · 𝑇)) = 𝐵)
20698, 182, 2053eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → (𝐸𝑥) = 𝐵)
207 fourierdlem51.bc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐵𝐶)
208207ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → 𝐵𝐶)
209206, 208eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → (𝐸𝑥) ∈ 𝐶)
2102093adantl3 1239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → (𝐸𝑥) ∈ 𝐶)
211 simpl1 1084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → (𝜑𝑥 ∈ ℝ))
212 simpl2 1085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
213 fourierdlem51.css . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐶 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
214213sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
215214adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
2162153adant2 1100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
217216adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
218 neqne 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (¬ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴 → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ≠ 𝐴)
219218adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ≠ 𝐴)
2201adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
221211, 220syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
222211, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
223 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℝ)
224223, 130readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
225224rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
226211, 212, 225syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
227221, 222, 226eliccelioc 40065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ≠ 𝐴)))
228217, 219, 227mpbir2and 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
22997ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑥) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
2301ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2314ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
23222ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝐵)
233 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
23492ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ∈ ℤ)
235 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑘 ∈ ℤ)
23697, 113eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
237236ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
238 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
239230, 231, 232, 19, 233, 234, 235, 237, 238fourierdlem35 40677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = 𝑘)
240239oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = (𝑘 · 𝑇))
241240oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
242229, 241eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑥) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
243211, 212, 228, 242syl21anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → (𝐸𝑥) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
244 simpl3 1086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶)
245243, 244eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝐴) → (𝐸𝑥) ∈ 𝐶)
246210, 245pm2.61dan 849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶) → (𝐸𝑥) ∈ 𝐶)
2472463exp 1283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶 → (𝐸𝑥) ∈ 𝐶)))
24878, 85, 247syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶 → (𝐸𝑥) ∈ 𝐶)))
24976, 77, 248rexlimd 3055 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶 → (𝐸𝑥) ∈ 𝐶))
25070, 249mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) → (𝐸𝑥) ∈ 𝐶)
25164, 250eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) → ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑥) ∈ 𝐶)
252 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} ↦ ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} ↦ ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑥))
253251, 252fmptd 6425 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} ↦ ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑥)):{𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}⟶𝐶)
254 iocssre 12291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
255102, 4, 254syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
256112, 255fssd 6095 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸:ℝ⟶ℝ)
257 ssrab2 3720 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} ⊆ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋))
258257, 81syl5ss 3647 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} ⊆ ℝ)
259256, 258fssresd 6109 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}):{𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}⟶ℝ)
260259feqmptd 6288 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} ↦ ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑥)))
261260feq1d 6068 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}):{𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}⟶𝐶 ↔ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} ↦ ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑥)):{𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}⟶𝐶))
262253, 261mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}):{𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}⟶𝐶)
263 simplll 813 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) ∧ ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑤) = ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑧)) → 𝜑)
264 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} → 𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})
265 fourierdlem51.h . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐻 = {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}
266264, 265syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} → 𝑤𝐻)
267266ad3antlr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) ∧ ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑤) = ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑧)) → 𝑤𝐻)
268263, 267jca 553 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) ∧ ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑤) = ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑧)) → (𝜑𝑤𝐻))
269 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} → 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})
270269, 265syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} → 𝑧𝐻)
271270ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) ∧ ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑤) = ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑧)) → 𝑧𝐻)
272 fvres 6245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} → ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑧) = (𝐸𝑧))
273272eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} → (𝐸𝑧) = ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑧))
274273ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) ∧ ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑤) = ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑧)) → (𝐸𝑧) = ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑧))
275 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑤) = ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑧) → ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑤) = ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑧))
276275eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑤) = ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑧) → ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑧) = ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑤))
277276adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) ∧ ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑤) = ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑧)) → ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑧) = ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑤))
278 fvres 6245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} → ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑤) = (𝐸𝑤))
279278ad3antlr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) ∧ ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑤) = ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑧)) → ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑤) = (𝐸𝑤))
280274, 277, 2793eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) ∧ ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑤) = ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑧)) → (𝐸𝑧) = (𝐸𝑤))
2811ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤𝐻) ∧ 𝑧𝐻) ∧ (𝐸𝑧) = (𝐸𝑤)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2824ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤𝐻) ∧ 𝑧𝐻) ∧ (𝐸𝑧) = (𝐸𝑤)) → 𝐵 ∈ ℝ)
28322ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤𝐻) ∧ 𝑧𝐻) ∧ (𝐸𝑧) = (𝐸𝑤)) → 𝐴 < 𝐵)
2842ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤𝐻) ∧ 𝑧𝐻) ∧ (𝐸𝑧) = (𝐸𝑤)) → 𝑋 ∈ ℝ)
285 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤𝐻) ∧ 𝑧𝐻) ∧ (𝐸𝑧) = (𝐸𝑤)) → 𝑤𝐻)
286 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤𝐻) ∧ 𝑧𝐻) ∧ (𝐸𝑧) = (𝐸𝑤)) → 𝑧𝐻)
287 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤𝐻) ∧ 𝑧𝐻) ∧ (𝐸𝑧) = (𝐸𝑤)) → (𝐸𝑧) = (𝐸𝑤))
288281, 282, 283, 284, 265, 19, 31, 285, 286, 287fourierdlem19 40661 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤𝐻) ∧ 𝑧𝐻) ∧ (𝐸𝑧) = (𝐸𝑤)) → ¬ 𝑤 < 𝑧)
289287eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤𝐻) ∧ 𝑧𝐻) ∧ (𝐸𝑧) = (𝐸𝑤)) → (𝐸𝑤) = (𝐸𝑧))
290281, 282, 283, 284, 265, 19, 31, 286, 285, 289fourierdlem19 40661 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤𝐻) ∧ 𝑧𝐻) ∧ (𝐸𝑧) = (𝐸𝑤)) → ¬ 𝑧 < 𝑤)
291265, 258syl5eqss 3682 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐻 ⊆ ℝ)
292291sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤𝐻) → 𝑤 ∈ ℝ)
293292ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤𝐻) ∧ 𝑧𝐻) ∧ (𝐸𝑧) = (𝐸𝑤)) → 𝑤 ∈ ℝ)
294291adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑤𝐻) → 𝐻 ⊆ ℝ)
295294sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤𝐻) ∧ 𝑧𝐻) → 𝑧 ∈ ℝ)
296295adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤𝐻) ∧ 𝑧𝐻) ∧ (𝐸𝑧) = (𝐸𝑤)) → 𝑧 ∈ ℝ)
297293, 296lttri3d 10215 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤𝐻) ∧ 𝑧𝐻) ∧ (𝐸𝑧) = (𝐸𝑤)) → (𝑤 = 𝑧 ↔ (¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 < 𝑤)))
298288, 290, 297mpbir2and 977 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑤𝐻) ∧ 𝑧𝐻) ∧ (𝐸𝑧) = (𝐸𝑤)) → 𝑤 = 𝑧)
299268, 271, 280, 298syl21anc 1365 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) ∧ ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑤) = ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑧)) → 𝑤 = 𝑧)
300299ex 449 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) → (((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑤) = ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑧) → 𝑤 = 𝑧))
301300ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} (((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑤) = ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑧) → 𝑤 = 𝑧))
302301ralrimiva 2995 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} (((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑤) = ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑧) → 𝑤 = 𝑧))
303 dff13 6552 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}):{𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}–1-1𝐶 ↔ ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}):{𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}⟶𝐶 ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} (((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑤) = ((𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})‘𝑧) → 𝑤 = 𝑧)))
304262, 302, 303sylanbrc 699 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}):{𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}–1-1𝐶)
305 f1fi 8294 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ Fin ∧ (𝐸 ↾ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}):{𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}–1-1𝐶) → {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} ∈ Fin)
30662, 304, 305syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} ∈ Fin)
307 unfi 8268 . . . . . . . 8 (({(𝐴 + 𝑋)} ∈ Fin ∧ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} ∈ Fin) → ({(𝐴 + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) ∈ Fin)
30861, 306, 307sylancr 696 . . . . . . 7 (𝜑 → ({(𝐴 + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) ∈ Fin)
309 simpl 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) → 𝜑)
310 elrabi 3391 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)))
311310adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)))
31267elrab 3396 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} ↔ (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶))
313312simprbi 479 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶)
314313adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶)
315 velsn 4226 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {(𝐴 + 𝑋)} ↔ 𝑥 = (𝐴 + 𝑋))
316 elun1 3813 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {(𝐴 + 𝑋)} → 𝑥 ∈ ({(𝐴 + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}))
317315, 316sylbir 225 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐴 + 𝑋) → 𝑥 ∈ ({(𝐴 + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}))
318317adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋))) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 = (𝐴 + 𝑋)) → 𝑥 ∈ ({(𝐴 + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}))
31979ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐴 + 𝑋)) → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ*)
3205rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ*)
321320ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐴 + 𝑋)) → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ*)
3223, 5iccssred 40045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ⊆ ℝ)
323322sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
324323rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
325324adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐴 + 𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3263ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐴 + 𝑋)) → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ)
327323adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐴 + 𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
32879adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋))) → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ*)
329320adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋))) → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ*)
330 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋))) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)))
331 iccgelb 12268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋))) → (𝐴 + 𝑋) ≤ 𝑥)
332328, 329, 330, 331syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋))) → (𝐴 + 𝑋) ≤ 𝑥)
333332adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐴 + 𝑋)) → (𝐴 + 𝑋) ≤ 𝑥)
334 neqne 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 = (𝐴 + 𝑋) → 𝑥 ≠ (𝐴 + 𝑋))
335334adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐴 + 𝑋)) → 𝑥 ≠ (𝐴 + 𝑋))
336326, 327, 333, 335leneltd 10229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐴 + 𝑋)) → (𝐴 + 𝑋) < 𝑥)
337 iccleub 12267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋))) → 𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑋))
338328, 329, 330, 337syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋))) → 𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑋))
339338adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐴 + 𝑋)) → 𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑋))
340319, 321, 325, 336, 339eliocd 40048 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐴 + 𝑋)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)))
341340adantlr 751 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋))) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐴 + 𝑋)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)))
342 simplr 807 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋))) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐴 + 𝑋)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶)
343341, 342, 68sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋))) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐴 + 𝑋)) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})
344 elun2 3814 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} → 𝑥 ∈ ({(𝐴 + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}))
345343, 344syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋))) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐴 + 𝑋)) → 𝑥 ∈ ({(𝐴 + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}))
346318, 345pm2.61dan 849 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋))) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ ({(𝐴 + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}))
347309, 311, 314, 346syl21anc 1365 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) → 𝑥 ∈ ({(𝐴 + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}))
348347ralrimiva 2995 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}𝑥 ∈ ({(𝐴 + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}))
349 dfss3 3625 . . . . . . . 8 ({𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} ⊆ ({(𝐴 + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}𝑥 ∈ ({(𝐴 + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}))
350348, 349sylibr 224 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} ⊆ ({(𝐴 + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}))
351 ssfi 8221 . . . . . . 7 ((({(𝐴 + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) ∈ Fin ∧ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} ⊆ ({(𝐴 + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶})) → {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} ∈ Fin)
352308, 350, 351syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} ∈ Fin)
353 unfi 8268 . . . . . 6 (({(𝐴 + 𝑋), (𝐵 + 𝑋)} ∈ Fin ∧ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} ∈ Fin) → ({(𝐴 + 𝑋), (𝐵 + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) ∈ Fin)
35460, 352, 353sylancr 696 . . . . 5 (𝜑 → ({(𝐴 + 𝑋), (𝐵 + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) ∈ Fin)
35558, 354syl5eqel 2734 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
356 prssi 4385 . . . . . . 7 (((𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ) → {(𝐴 + 𝑋), (𝐵 + 𝑋)} ⊆ ℝ)
3573, 5, 356syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → {(𝐴 + 𝑋), (𝐵 + 𝑋)} ⊆ ℝ)
358 ssrab2 3720 . . . . . . 7 {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} ⊆ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋))
359358, 322syl5ss 3647 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} ⊆ ℝ)
360357, 359unssd 3822 . . . . 5 (𝜑 → ({(𝐴 + 𝑋), (𝐵 + 𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}) ⊆ ℝ)
36158, 360syl5eqss 3682 . . . 4 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
362 fourierdlem51.f . . . 4 𝐹 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((#‘𝐷) − 1)), 𝐷))
363 eqid 2651 . . . 4 ((#‘𝐷) − 1) = ((#‘𝐷) − 1)
364355, 361, 362, 363fourierdlem36 40678 . . 3 (𝜑𝐹 Isom < , < ((0...((#‘𝐷) − 1)), 𝐷))
365 isof1o 6613 . . . 4 (𝐹 Isom < , < ((0...((#‘𝐷) − 1)), 𝐷) → 𝐹:(0...((#‘𝐷) − 1))–1-1-onto𝐷)
366 f1ofo 6182 . . . 4 (𝐹:(0...((#‘𝐷) − 1))–1-1-onto𝐷𝐹:(0...((#‘𝐷) − 1))–onto𝐷)
367365, 366syl 17 . . 3 (𝐹 Isom < , < ((0...((#‘𝐷) − 1)), 𝐷) → 𝐹:(0...((#‘𝐷) − 1))–onto𝐷)
368 forn 6156 . . 3 (𝐹:(0...((#‘𝐷) − 1))–onto𝐷 → ran 𝐹 = 𝐷)
369364, 367, 3683syl 18 . 2 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐷)
37059, 369eleqtrrd 2733 1 (𝜑𝑋 ∈ ran 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  cun 3605  wss 3607  {csn 4210  {cpr 4212   class class class wbr 4685  cmpt 4762  ran crn 5144  cres 5145  cio 5887  wf 5922  1-1wf1 5923  ontowfo 5924  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926   Isom wiso 5927  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cz 11415  +crp 11870  (,]cioc 12214  [,]cicc 12216  ...cfz 12364  cfl 12631  #chash 13157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ioc 12218  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fl 12633  df-hash 13158
This theorem is referenced by:  fourierdlem113  40754
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