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Theorem fourierdlem48 40689
Description: The given periodic function 𝐹 has a right limit at every point in the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem48.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem48.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem48.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem48.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem48.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem48.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem48.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem48.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
fourierdlem48.dper ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
fourierdlem48.per ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
fourierdlem48.cn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem48.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem48.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem48.z 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
fourierdlem48.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥)))
fourierdlem48.ch (𝜒 ↔ ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem48 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑖,𝑘,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝐷,𝑘,𝑥   𝑖,𝐸,𝑘,𝑦   𝑖,𝐹,𝑘,𝑥,𝑦   𝑖,𝑀,𝑘   𝑚,𝑀,𝑝   𝑦,𝑀   𝑄,𝑖,𝑘,𝑥   𝑄,𝑝   𝑦,𝑄   𝑇,𝑖,𝑘,𝑥,𝑦   𝑖,𝑋,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑍   𝜒,𝑥   𝜑,𝑖,𝑘,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝜒(𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐴(𝑦,𝑘)   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑦,𝑖,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑇(𝑚,𝑝)   𝐸(𝑥,𝑚,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝑀(𝑥)   𝑋(𝑚,𝑝)   𝑍(𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem48
Dummy variables 𝑗 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → 𝜑)
2 0zd 11427 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 fourierdlem48.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
43nnzd 11519 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
53nngt0d 11102 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝑀)
6 fzolb 12515 . . . . . 6 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
72, 4, 5, 6syl3anbrc 1265 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
87adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → 0 ∈ (0..^𝑀))
9 fourierdlem48.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
10 fourierdlem48.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
119, 10resubcld 10496 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
12 fourierdlem48.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝐵𝐴)
13 fourierdlem48.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
149, 13resubcld 10496 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
1512, 14syl5eqel 2734 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
16 fourierdlem48.altb . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 < 𝐵)
1713, 9posdifd 10652 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
1816, 17mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
1918, 12syl6breqr 4727 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝑇)
2019gt0ne0d 10630 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ≠ 0)
2111, 15, 20redivcld 10891 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
2221adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ((𝐵𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
2322flcld 12639 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
24 1zzd 11446 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
2523, 24zsubcld 11525 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) ∈ ℤ)
26 id 22 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑋) = 𝐵 → (𝐸𝑋) = 𝐵)
2712a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑋) = 𝐵𝑇 = (𝐵𝐴))
2826, 27oveq12d 6708 . . . . . . 7 ((𝐸𝑋) = 𝐵 → ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝐵 − (𝐵𝐴)))
299recnd 10106 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3013recnd 10106 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3129, 30nncand 10435 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 − (𝐵𝐴)) = 𝐴)
3228, 31sylan9eqr 2707 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ((𝐸𝑋) − 𝑇) = 𝐴)
33 fourierdlem48.q . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
34 fourierdlem48.p . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
3534fourierdlem2 40644 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
363, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
3733, 36mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
3837simpld 474 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)))
39 elmapi 7921 . . . . . . . . . . . 12 (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
413nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
42 nn0uz 11760 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
4341, 42syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
44 eluzfz1 12386 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
4640, 45ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
4746rexrd 10127 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ*)
48 1zzd 11446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
492, 4, 483jca 1261 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
50 0le1 10589 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 1
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ 1)
523nnge1d 11101 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
5349, 51, 52jca32 557 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑀)))
54 elfz2 12371 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ (0...𝑀) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑀)))
5553, 54sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ (0...𝑀))
5640, 55ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘1) ∈ ℝ)
5756rexrd 10127 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘1) ∈ ℝ*)
5813rexrd 10127 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5937simprd 478 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
6059simplld 806 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
6113leidd 10632 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝐴)
6260, 61eqbrtrd 4707 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐴)
6360eqcomd 2657 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 = (𝑄‘0))
64 0re 10078 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
65 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 0 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 0 ∈ (0..^𝑀)))
6665anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 0 → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀))))
67 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 0 → (𝑄𝑖) = (𝑄‘0))
68 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 0 → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
6968fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 0 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(0 + 1)))
7067, 69breq12d 4698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 0 → ((𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))))
7166, 70imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 0 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))))
7237simprrd 812 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
7372r19.21bi 2961 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
7471, 73vtoclg 3297 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))))
7564, 74ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))
767, 75mpdan 703 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))
77 1e0p1 11590 . . . . . . . . . . . 12 1 = (0 + 1)
7877fveq2i 6232 . . . . . . . . . . 11 (𝑄‘1) = (𝑄‘(0 + 1))
7976, 78syl6breqr 4727 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘0) < (𝑄‘1))
8063, 79eqbrtrd 4707 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 < (𝑄‘1))
8147, 57, 58, 62, 80elicod 12262 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘1)))
8278oveq2i 6701 . . . . . . . 8 ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘1)) = ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1)))
8381, 82syl6eleq 2740 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))
8483adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))
8532, 84eqeltrd 2730 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))
86 fourierdlem48.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥)))
8786a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥))))
88 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
89 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → (𝑍𝑥) = (𝑍𝑋))
9088, 89oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑍𝑥)) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
9190adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (𝑍𝑥)) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
92 fourierdlem48.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
94 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑋 → (𝐵𝑥) = (𝐵𝑋))
9594oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = ((𝐵𝑋) / 𝑇))
9695fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)))
9796oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
9897adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
9921flcld 12639 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
10099zred 11520 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ)
101100, 15remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
10293, 98, 10, 101fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑍𝑋) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
103102, 101eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑍𝑋) ∈ ℝ)
10410, 103readdcld 10107 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍𝑋)) ∈ ℝ)
10587, 91, 10, 104fvmptd 6327 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
106102oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍𝑋)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
107105, 106eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
108107oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸𝑋) − 𝑇) = ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑇))
10910recnd 10106 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
110101recnd 10106 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
11115recnd 10106 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
112109, 110, 111addsubassd 10450 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇)))
11399zcnd 11521 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℂ)
114113, 111mulsubfacd 10530 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇) = (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))
115114oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇)) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
116108, 112, 1153eqtrd 2689 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
117116adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
118 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) → (𝑘 · 𝑇) = (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))
119118oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝑘 = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
120119eqeq2d 2661 . . . . . . 7 (𝑘 = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) → (((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))))
121120anbi2d 740 . . . . . 6 (𝑘 = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) → ((((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))))
122121rspcev 3340 . . . . 5 ((((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) ∈ ℤ ∧ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
12325, 85, 117, 122syl12anc 1364 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
12467, 69oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))
125124eleq2d 2716 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 → (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1)))))
126125anbi1d 741 . . . . . 6 (𝑖 = 0 → ((((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
127126rexbidv 3081 . . . . 5 (𝑖 = 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
128127rspcev 3340 . . . 4 ((0 ∈ (0..^𝑀) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
1298, 123, 128syl2anc 694 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
130 ovex 6718 . . . 4 ((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ V
131 eleq1 2718 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝐸𝑋) − 𝑇) → (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
132 eqeq1 2655 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝐸𝑋) − 𝑇) → (𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
133131, 132anbi12d 747 . . . . . . 7 (𝑦 = ((𝐸𝑋) − 𝑇) → ((𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
1341332rexbidv 3086 . . . . . 6 (𝑦 = ((𝐸𝑋) − 𝑇) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
135134anbi2d 740 . . . . 5 (𝑦 = ((𝐸𝑋) − 𝑇) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))))
136135imbi1d 330 . . . 4 (𝑦 = ((𝐸𝑋) − 𝑇) → (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)))
137 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
138 nfv 1883 . . . . . . 7 𝑖𝜑
139 nfre1 3034 . . . . . . 7 𝑖𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
140138, 139nfan 1868 . . . . . 6 𝑖(𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
141 nfv 1883 . . . . . . 7 𝑘𝜑
142 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑘(0..^𝑀)
143 nfre1 3034 . . . . . . . 8 𝑘𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
144142, 143nfrex 3036 . . . . . . 7 𝑘𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
145141, 144nfan 1868 . . . . . 6 𝑘(𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
146 simp1 1081 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑)
147 simp2l 1107 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
148 simp3l 1109 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
149146, 147, 148jca31 556 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
150 simp2r 1108 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
151 simp3r 1110 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
152 fourierdlem48.ch . . . . . . . . . 10 (𝜒 ↔ ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
153152biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
154153simplld 806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
155154simplld 806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝜑)
156 fourierdlem48.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
157 frel 6088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:𝐷⟶ℝ → Rel 𝐹)
158155, 156, 1573syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → Rel 𝐹)
159 resindm 5479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)))
160159eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)))
161158, 160syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)))
162 fdm 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:𝐷⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐷)
163155, 156, 1623syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → dom 𝐹 = 𝐷)
164163ineq2d 3847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹) = ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
165164reseq2d 5428 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)))
166161, 165eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)))
167166oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) lim 𝑋))
168155, 156syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝐹:𝐷⟶ℝ)
169 ax-resscn 10031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ⊆ ℂ
170169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ℝ ⊆ ℂ)
171168, 170fssd 6095 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒𝐹:𝐷⟶ℂ)
172 inss2 3867 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
173172a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷)
174171, 173fssresd 6109 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)):((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)⟶ℂ)
175 pnfxr 10130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 +∞ ∈ ℝ*
176175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → +∞ ∈ ℝ*)
177154simplrd 808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒𝑖 ∈ (0..^𝑀))
17840adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
179 fzofzp1 12605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
180179adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
181178, 180ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
182155, 177, 181syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
183153simplrd 808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒𝑘 ∈ ℤ)
184183zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒𝑘 ∈ ℝ)
185155, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒𝑇 ∈ ℝ)
186184, 185remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
187182, 186resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
188187rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
189187ltpnfd 11993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) < +∞)
190188, 176, 189xrltled 39800 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ≤ +∞)
191 iooss2 12249 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ≤ +∞) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ (𝑋(,)+∞))
192176, 190, 191syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ (𝑋(,)+∞))
193183adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
194193zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
195185recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒𝑇 ∈ ℂ)
196195adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℂ)
197194, 196mulneg1d 10521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (-𝑘 · 𝑇) = -(𝑘 · 𝑇))
198197oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)))
199 elioore 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℝ)
200199recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℂ)
201200adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℂ)
202194, 196mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
203201, 202addcld 10097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ)
204203, 202negsubd 10436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)))
205201, 202pncand 10431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑤)
206198, 204, 2053eqtrrd 2690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)))
207155adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑)
208154simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
209 fourierdlem48.cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
210 cncff 22743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
211 fdm 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
212209, 210, 2113syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
213 ssdmres 5455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
214212, 213sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
215156, 162syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
216215adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom 𝐹 = 𝐷)
217214, 216sseqtrd 3674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
218208, 217syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
219218adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
220 elfzofz 12524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
221220adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
222178, 221ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
223155, 177, 222syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
224223rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
225224adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
226182rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
227226adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
228199adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℝ)
229193zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℝ)
230207, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
231229, 230remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
232228, 231readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
233223adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
234155, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒𝑋 ∈ ℝ)
235234, 186readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
236235adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
237152simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
238237eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝑦)
239154simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
240238, 239eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
241 icogelb 12263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
242224, 226, 240, 241syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑄𝑖) ≤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
243242adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
244207, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
245244rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
246182adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
247246, 231resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
248247rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
249 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
250 ioogtlb 40035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑤)
251245, 248, 249, 250syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑤)
252244, 228, 231, 251ltadd1dd 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)))
253233, 236, 232, 243, 252lelttrd 10233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄𝑖) < (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)))
254 iooltub 40053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
255245, 248, 249, 254syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
256228, 247, 231, 255ltadd1dd 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) < (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)))
257182recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
258186recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
259257, 258npcand 10434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
260259adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
261256, 260breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
262225, 227, 232, 253, 261eliood 40038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
263219, 262sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
264193znegcld 11522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -𝑘 ∈ ℤ)
265 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ V
266 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥𝐷 ↔ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
2672663anbi2d 1444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ)))
268 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)))
269268eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
270267, 269imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
271 negex 10317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -𝑘 ∈ V
272 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = -𝑘 → (𝑗 ∈ ℤ ↔ -𝑘 ∈ ℤ))
2732723anbi3d 1445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = -𝑘 → ((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ)))
274 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 = -𝑘 → (𝑗 · 𝑇) = (-𝑘 · 𝑇))
275274oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = -𝑘 → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))
276275eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = -𝑘 → ((𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
277273, 276imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
278 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ ℤ ↔ 𝑗 ∈ ℤ))
2792783anbi3d 1445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ)))
280 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 · 𝑇) = (𝑗 · 𝑇))
281280oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑗 → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)))
282281eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
283279, 282imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
284 fourierdlem48.dper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
285283, 284chvarv 2299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
286271, 277, 285vtocl 3290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
287265, 270, 286vtocl 3290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
288207, 263, 264, 287syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
289206, 288eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤𝐷)
290289ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ∀𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤𝐷)
291 dfss3 3625 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤𝐷)
292290, 291sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷)
293192, 292ssind 3870 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
294 ioosscn 40034 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ
295 ssinss1 3874 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ)
296294, 295mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ)
297 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
298 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
299234rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑋 ∈ ℝ*)
300234leidd 10632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑋𝑋)
301237oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)))
302234recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝑋 ∈ ℂ)
303302, 258pncand 10431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑋)
304301, 303eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝑋 = (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)))
305 icossre 12292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
306223, 226, 305syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
307306, 239sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑦 ∈ ℝ)
308 icoltub 40050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑦 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
309224, 226, 239, 308syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑦 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
310307, 182, 186, 309ltsub1dd 10677 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
311304, 310eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑋 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
312299, 188, 299, 300, 311elicod 12262 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒𝑋 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
313 snunioo1 40056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑋 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋}) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
314299, 188, 311, 313syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋}) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
315314fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))
316297cnfldtop 22634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
317 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋(,)+∞) ∈ V
318317inex1 4832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∈ V
319 snex 4938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑋} ∈ V
320318, 319unex 6998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V
321 resttop 21012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top)
322316, 320, 321mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top
323322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top)
324 retop 22612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
325324a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
326320a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V)
327 iooretop 22616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran (,))
328327a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran (,)))
329 elrestr 16136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V ∧ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
330325, 326, 328, 329syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
331 mnfxr 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -∞ ∈ ℝ*
332331a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -∞ ∈ ℝ*)
333188adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
334 icossre 12292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*) → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℝ)
335234, 188, 334syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℝ)
336335sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
337336mnfltd 11996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -∞ < 𝑥)
338299adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
339 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
340 icoltub 40050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
341338, 333, 339, 340syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
342332, 333, 336, 337, 341eliood 40038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
343 vsnid 4242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥 ∈ {𝑥}
344343a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ {𝑥})
345 sneq 4220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
346344, 345eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ {𝑋})
347 elun2 3814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ {𝑋} → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
348346, 347syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
349348adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
350299ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ*)
351175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
352336adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
353234ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
354 icogelb 12263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋𝑥)
355338, 333, 339, 354syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋𝑥)
356355adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋𝑥)
357 neqne 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑥 = 𝑋𝑥𝑋)
358357adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥𝑋)
359353, 352, 356, 358leneltd 10229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 < 𝑥)
360352ltpnfd 11993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < +∞)
361350, 351, 352, 359, 360eliood 40038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞))
362183zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜒𝑘 ∈ ℂ)
363362, 195mulneg1d 10521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) = -(𝑘 · 𝑇))
364363oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜒 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)))
365364adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)))
366 ioosscn 40034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℂ
367366sseli 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℂ)
368367adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℂ)
369258adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
370368, 369addcld 10097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ)
371370, 369negsubd 10436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)))
372368, 369pncand 10431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑤)
373365, 371, 3723eqtrrd 2690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)))
374186adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
375228, 374readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
376225, 227, 375, 253, 261eliood 40038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
377219, 376sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
3782723anbi3d 1445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑗 = -𝑘 → ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ)))
379274oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑗 = -𝑘 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)))
380379eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑗 = -𝑘 → (((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
381378, 380imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
3822663anbi2d 1444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ)))
383 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)))
384383eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
385382, 384imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
386265, 385, 285vtocl 3290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
387271, 381, 386vtocl 3290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
388207, 377, 264, 387syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
389373, 388eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤𝐷)
390389ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒 → ∀𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤𝐷)
391390, 291sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷)
392391ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷)
393188ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
394341adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
395350, 393, 352, 359, 394eliood 40038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
396392, 395sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥𝐷)
397361, 396elind 3831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
398 elun1 3813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
399397, 398syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
400349, 399pm2.61dan 849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
401342, 400elind 3831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
402299adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
403188adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
404 elinel1 3832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
405 elioore 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
406404, 405syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ)
407406rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
408407adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
409 elinel2 3833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
410234adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
41188eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 𝑋𝑋 = 𝑥)
412411adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒𝑥 = 𝑋) → 𝑋 = 𝑥)
413410, 412eqled 10178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑥 = 𝑋) → 𝑋𝑥)
414413adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋𝑥)
415 simpll 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝜒)
416 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
417 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑥 = 𝑋)
418 velsn 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ {𝑋} ↔ 𝑥 = 𝑋)
419417, 418sylnibr 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑥 ∈ {𝑋})
420419adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑋})
421 elunnel2 39512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
422416, 420, 421syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
423 elinel1 3832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞))
424422, 423syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞))
425234adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 ∈ ℝ)
426 elioore 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
427426adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
428299adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
429175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
430 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞))
431 ioogtlb 40035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 < 𝑥)
432428, 429, 430, 431syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 < 𝑥)
433425, 427, 432ltled 10223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋𝑥)
434415, 424, 433syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋𝑥)
435414, 434pm2.61dan 849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑋𝑥)
436409, 435sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑋𝑥)
437331a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -∞ ∈ ℝ*)
438188adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
439 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
440 iooltub 40053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
441437, 438, 439, 440syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
442404, 441sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
443402, 403, 408, 436, 442elicod 12262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
444401, 443impbida 895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))))
445444eqrdv 2649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) = ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
446 ioossre 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
447 ssinss1 3874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
448446, 447mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
449234snssd 4372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑋} ⊆ ℝ)
450448, 449unssd 3822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ)
451 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
452297, 451tgiooss 40051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
453450, 452syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
454330, 445, 4533eltr4d 2745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
455 isopn3i 20934 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top ∧ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
456323, 454, 455syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
457315, 456eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋})))
458312, 457eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒𝑋 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋})))
459174, 293, 296, 297, 298, 458limcres 23695 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) lim 𝑋))
460293resabs1d 5463 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))
461460oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋))
462169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
463156, 462fssd 6095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
464215feq2d 6069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:𝐷⟶ℂ))
465463, 464mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
466155, 465syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
467466adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
468366a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℂ)
469391, 163sseqtr4d 3675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ dom 𝐹)
470469adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ dom 𝐹)
471258adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
472 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}
473 eqeq1 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))))
474473rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))))
475474elrab 3396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))))
476475simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} → ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
477476adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
478 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥𝜒
479 nfre1 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑥𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))
480 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑥
481479, 480nfrab 3153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥{𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}
482481nfcri 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}
483478, 482nfan 1868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥(𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))})
484 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥 𝑤𝐷
485 simp3 1083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
486 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))
487486anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 = 𝑥 → ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))))
488 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
489488eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
490487, 489imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑥 → (((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
491490, 263chvarv 2299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
4924913adant3 1101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
493485, 492eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤𝐷)
4944933exp 1283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → (𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤𝐷)))
495494adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → (𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤𝐷)))
496483, 484, 495rexlimd 3055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → (∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤𝐷))
497477, 496mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → 𝑤𝐷)
498497ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}𝑤𝐷)
499 dfss3 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}𝑤𝐷)
500498, 499sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷)
501500, 163sseqtr4d 3675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹)
502501adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹)
503155adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑)
504391sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥𝐷)
505183adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
506 fourierdlem48.per . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
507503, 504, 505, 506syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
508507adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
509 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋))
510467, 468, 470, 471, 472, 502, 508, 509limcperiod 40178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) lim (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
511259eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)))
512237, 511oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇))(,)(((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇))))
513234, 187, 186iooshift 40066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇))(,)(((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))})
514512, 513eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} = (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
515514reseq2d 5428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) = (𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
516515, 238oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) lim (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
517516adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) lim (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
518510, 517eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
519466adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
520 ioosscn 40034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
521520a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
522 icogelb 12263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ≤ 𝑦)
523224, 226, 239, 522syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑄𝑖) ≤ 𝑦)
524 iooss1 12248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑖) ≤ 𝑦) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
525224, 523, 524syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
526525, 218sstrd 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
527526, 163sseqtr4d 3675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
528527adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
529362negcld 10417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → -𝑘 ∈ ℂ)
530529, 195mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
531530adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
532 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}
533 eqeq1 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ↔ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))))
534533rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))))
535534elrab 3396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))))
536535simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} → ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))
537536adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))
538 nfre1 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑥𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))
539538, 480nfrab 3153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥{𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}
540539nfcri 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}
541478, 540nfan 1868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥(𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))})
542 simp3 1083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))
543155adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝜑)
544526sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥𝐷)
545183adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
546545znegcld 11522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -𝑘 ∈ ℤ)
547543, 544, 546, 286syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
5485473adant3 1101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
549542, 548eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → 𝑤𝐷)
5505493exp 1283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤𝐷)))
551550adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → (𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤𝐷)))
552541, 484, 551rexlimd 3055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → (∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤𝐷))
553537, 552mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → 𝑤𝐷)
554553ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}𝑤𝐷)
555 dfss3 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}𝑤𝐷)
556554, 555sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷)
557556, 163sseqtr4d 3675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹)
558557adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹)
559155ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝜑)
560544adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥𝐷)
561546adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -𝑘 ∈ ℤ)
562275fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = -𝑘 → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))))
563562eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = -𝑘 → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥)))
564273, 563imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))))
565281fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))))
566565eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹𝑥)))
567279, 566imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))))
568567, 506chvarv 2299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
569271, 564, 568vtocl 3290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
570559, 560, 561, 569syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
571 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
572519, 521, 528, 531, 532, 558, 570, 571limcperiod 40178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) lim (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))))
573363oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + -(𝑘 · 𝑇)))
574307recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒𝑦 ∈ ℂ)
575574, 258negsubd 10436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑦 + -(𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)))
576304eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑋)
577573, 575, 5763eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = 𝑋)
578577eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒𝑋 = (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)))
579363oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + -(𝑘 · 𝑇)))
580257, 258negsubd 10436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
581579, 580eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇)))
582578, 581oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) = ((𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇))))
583184renegcld 10495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → -𝑘 ∈ ℝ)
584583, 185remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
585307, 182, 584iooshift 40066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ((𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))})
586582, 585eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
587586adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
588587reseq2d 5428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))
589577adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = 𝑋)
590588, 589oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) lim (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋))
591572, 590eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋))
592518, 591impbida 895 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋) ↔ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)))
593592eqrdv 2649 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
594461, 593eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
595167, 459, 5943eqtr2d 2691 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
596155, 177, 73syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
597155, 177, 209syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
598 fourierdlem48.r . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
599155, 177, 598syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
600 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 if(𝑦 = (𝑄𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) = if(𝑦 = (𝑄𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦))
601 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
602223, 182, 596, 597, 599, 307, 182, 309, 525, 600, 601fourierdlem32 40674 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → if(𝑦 = (𝑄𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
603525resabs1d 5463 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
604603oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
605602, 604eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → if(𝑦 = (𝑄𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
606 ne0i 3954 . . . . . . . . . . . 12 (if(𝑦 = (𝑄𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦) → ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦) ≠ ∅)
607605, 606syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦) ≠ ∅)
608595, 607eqnetrd 2890 . . . . . . . . . 10 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
609152, 608sylbir 225 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
610149, 150, 151, 609syl21anc 1365 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
6116103exp 1283 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)))
612611adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)))
613140, 145, 612rexlim2d 40175 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅))
614137, 613mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
615130, 136, 614vtocl 3290 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
6161, 129, 615syl2anc 694 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
617 iocssre 12291 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
61858, 9, 617syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
619 ovex 6718 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V
62092fvmpt2 6330 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V) → (𝑍𝑥) = ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
621619, 620mpan2 707 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑍𝑥) = ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
622621oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (𝑍𝑥)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
623622mpteq2ia 4773 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
62486, 623eqtri 2673 . . . . . . 7 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
62513, 9, 16, 12, 624fourierdlem4 40646 . . . . . 6 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
626625, 10ffvelrnd 6400 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵))
627618, 626sseldd 3637 . . . 4 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
628627adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
629 simpl 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → 𝜑)
630 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄)
631 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ → 𝑄 Fn (0...𝑀))
63240, 631syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑄 Fn (0...𝑀))
633632ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
634 fvelrnb 6282 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄 Fn (0...𝑀) → ((𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)))
635633, 634syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ((𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)))
636630, 635mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋))
637 1zzd 11446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
638 elfzelz 12380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
639638ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ ℤ)
640639zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ ℝ)
641 elfzle1 12382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 0 ≤ 𝑗)
642641ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 ≤ 𝑗)
643 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋))
644643eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → (𝐸𝑋) = (𝑄𝑗))
645644ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = (𝑄𝑗))
646 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑗 = 0 → (𝑄𝑗) = (𝑄‘0))
647646adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄𝑗) = (𝑄‘0))
64837simprld 810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → ((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵))
649648simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
650649ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄‘0) = 𝐴)
651645, 647, 6503eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = 𝐴)
652651adantllr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = 𝐴)
653652adantllr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = 𝐴)
65413adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
65558adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6569rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
657656adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
658 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵))
659 iocgtlb 40042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸𝑋))
660655, 657, 658, 659syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸𝑋))
661654, 660gtned 10210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ≠ 𝐴)
662661neneqd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ¬ (𝐸𝑋) = 𝐴)
663662ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → ¬ (𝐸𝑋) = 𝐴)
664653, 663pm2.65da 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ¬ 𝑗 = 0)
665664neqned 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ≠ 0)
666640, 642, 665ne0gt0d 10212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 < 𝑗)
667 0zd 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 ∈ ℤ)
668 zltp1le 11465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗))
669667, 639, 668syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗))
670666, 669mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (0 + 1) ≤ 𝑗)
67177, 670syl5eqbr 4720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 1 ≤ 𝑗)
672 eluz2 11731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗))
673637, 639, 671, 672syl3anbrc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
674 nnuz 11761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℕ = (ℤ‘1)
675673, 674syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ ℕ)
676 nnm1nn0 11372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
677675, 676syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
678677, 42syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0))
6794ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑀 ∈ ℤ)
680 peano2zm 11458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
681638, 680syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
682681zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
683638zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
684 elfzel2 12378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
685684zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
686683ltm1d 10994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑗)
687 elfzle2 12383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗𝑀)
688682, 683, 685, 686, 687ltletrd 10235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑀)
689688ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) < 𝑀)
690 elfzo2 12512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) < 𝑀))
691678, 679, 689, 690syl3anbrc 1265 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))
69240ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
693639, 680syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
694667, 679, 6933jca 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ))
695677nn0ge0d 11392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 ≤ (𝑗 − 1))
696682, 685, 688ltled 10223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)
697696ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)
698694, 695, 697jca32 557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑗 − 1) ∧ (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)))
699 elfz2 12371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 − 1) ∈ (0...𝑀) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑗 − 1) ∧ (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)))
700698, 699sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0...𝑀))
701692, 700ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ)
702701rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ*)
70340ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ)
704703rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
705704adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
706705adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
707618sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
708707rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
709708ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
710 simplll 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝜑)
711 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 − 1) ∈ V
712 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)))
713712anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))))
714 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄𝑖) = (𝑄‘(𝑗 − 1)))
715 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑗 − 1) + 1))
716715fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
717714, 716breq12d 4698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
718713, 717imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))))
719711, 718, 73vtocl 3290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
720710, 691, 719syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
721638zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
722 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 1 ∈ ℂ)
723721, 722npcand 10434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
724723eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 = ((𝑗 − 1) + 1))
725724fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄𝑗) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
726725eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄𝑗))
727726ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄𝑗))
728720, 727breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄𝑗))
729 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋))
730728, 729breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝐸𝑋))
731627leidd 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐸𝑋) ≤ (𝐸𝑋))
732731ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≤ (𝐸𝑋))
733644adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) = (𝑄𝑗))
734732, 733breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄𝑗))
735734adantllr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄𝑗))
736702, 706, 709, 730, 735eliocd 40048 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄𝑗)))
737725oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
738737ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
739736, 738eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
740714, 716oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
741740eleq2d 2716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))))
742741rspcev 3340 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
743691, 739, 742syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
744743ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
745744adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
746745rexlimdva 3060 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
747636, 746mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
7483ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑀 ∈ ℕ)
74940ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
750 iocssicc 12299 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
751649eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 = (𝑄‘0))
752648simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑄𝑀) = 𝐵)
753752eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 = (𝑄𝑀))
754751, 753oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
755750, 754syl5sseq 3686 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
756755sselda 3636 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
757756adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
758 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄)
759 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → (𝑄𝑘) = (𝑄𝑗))
760759breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑄𝑘) < (𝐸𝑋) ↔ (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋)))
761760cbvrabv 3230 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < (𝐸𝑋)} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋)}
762761supeq1i 8394 . . . . . . . . . . . 12 sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < (𝐸𝑋)}, ℝ, < ) = sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋)}, ℝ, < )
763748, 749, 757, 758, 762fourierdlem25 40667 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
764 ioossioc 40031 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
765764sseli 3632 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
766765a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
767766reximdva 3046 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
768763, 767mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
769747, 768pm2.61dan 849 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
770626, 769mpdan 703 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
771 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑗))
772 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
773772fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
774771, 773oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
775774eleq2d 2716 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))))
776775cbvrexv 3202 . . . . . . . 8 (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
777770, 776sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
778777adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
779 elfzonn0 12552 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0)
780 1nn0 11346 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℕ0
781780a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 1 ∈ ℕ0)
782779, 781nn0addcld 11393 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
783782, 42syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘0))
784783adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘0))
7857843ad2antl2 1244 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘0))
7864ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
7877863ad2antl1 1243 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
788779nn0red 11390 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
789788adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
7907893ad2antl2 1244 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
791 1red 10093 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
792790, 791readdcld 10107 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℝ)
793787zred 11520 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
794 elfzop1le2 39816 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀)
795794adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀)
7967953ad2antl2 1244 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀)
797 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
798 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 = (𝑗 + 1) → (𝑄𝑀) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
799798eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄𝑀))
800799adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄𝑀))
801752ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝑄𝑀) = 𝐵)
802797, 800, 8013eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸𝑋) = 𝐵)
803802adantllr 755 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸𝑋) = 𝐵)
804 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸𝑋) ≠ 𝐵)
805804neneqd 2828 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → ¬ (𝐸𝑋) = 𝐵)
806803, 805pm2.65da 599 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ¬ 𝑀 = (𝑗 + 1))
807806neqned 2830 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ≠ (𝑗 + 1))
8088073ad2antl1 1243 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ≠ (𝑗 + 1))
809792, 793, 796, 808leneltd 10229 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) < 𝑀)
810 elfzo2 12512 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 + 1) < 𝑀))
811785, 787, 809, 810syl3anbrc 1265 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀))
81240adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
813 fzofzp1 12605 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈ (0...𝑀))
814813adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑗 + 1) ∈ (0...𝑀))
815812, 814ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
816815rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
817816adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
8188173adant3 1101 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
819818adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
820 simpl1l 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝜑)
821820, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
822 fzofzp1 12605 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀) → ((𝑗 + 1) + 1) ∈ (0...𝑀))
823811, 822syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ((𝑗 + 1) + 1) ∈ (0...𝑀))
824821, 823ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
825824rexrd 10127 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)) ∈ ℝ*)
826627rexrd 10127 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
827826ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
8288273ad2antl1 1243 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
829815leidd 10632 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
830829adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
831 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
832831eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝐸𝑋))
833832adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝐸𝑋))
834830, 833breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸𝑋))
835834adantllr 755 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸𝑋))
8368353adantl3 1239 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸𝑋))
837 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
838 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
839 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 + 1) ∈ V
840 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
841840anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀))))
842 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑄𝑖) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
843 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑗 + 1) + 1))
844843fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
845842, 844breq12d 4698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))))
846841, 845imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))))
847839, 846, 73vtocl 3290 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
848847adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
849838, 848eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
850820, 811, 837, 849syl21anc 1365 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
851819, 825, 828, 836, 850elicod 12262 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))))
852842, 844oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))))
853852eleq2d 2716 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))))
854853rspcev 3340 . . . . . . . . 9 (((𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
855811, 851, 854syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
856 simpl2 1085 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ (0..^𝑀))
857 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))))
8588573adant1r 1359 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))))
859 elfzofz 12524 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
860859adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
861812, 860ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ)
862861rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
863862adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
8648633adantl3 1239 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
865816adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
8668653adantl3 1239 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
867826adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
8688673ad2antl1 1243 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
8698613adant3 1101 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ)
8706273ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
8718623adant3 1101 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
8728163adant3 1101 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
873 simp3 1083 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
874 iocgtlb 40042 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋))
875871, 872, 873, 874syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋))
876869, 870, 875ltled 10223 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄𝑗) ≤ (𝐸𝑋))
877876adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄𝑗) ≤ (𝐸𝑋))
878870adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
879815adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
8808793adantl3 1239 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
881 iocleub 40043 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
882871, 872, 873, 881syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
883882adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
884 neqne 2831 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝐸𝑋) ≠ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
885884necomd 2878 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≠ (𝐸𝑋))
886885adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≠ (𝐸𝑋))
887878, 880, 883, 886leneltd 10229 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) < (𝑄‘(𝑗 + 1)))
888864, 866, 868, 877, 887elicod 12262 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
889858, 888sylan 487 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
890771, 773oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
891890eleq2d 2716 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))))
892891rspcev 3340 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
893856, 889, 892syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
894855, 893pm2.61dan 849 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
895894rexlimdv3a 3062 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → (∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
896778, 895mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
897 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
898 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
899898oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
900899eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → ((𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝐸𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
901900rspcev 3340 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
90299, 107, 901syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
903902ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
904 r19.42v 3121 . . . . . . . 8 (∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
905897, 903, 904sylanbrc 699 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
906905ex 449 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
907906reximdv 3045 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
908896, 907mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
909629, 908jca 553 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
910 eleq1 2718 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐸𝑋) → (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
911 eqeq1 2655 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐸𝑋) → (𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
912910, 911anbi12d 747 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐸𝑋) → ((𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
9139122rexbidv 3086 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐸𝑋) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
914913anbi2d 740 . . . . 5 (𝑦 = (𝐸𝑋) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))))
915914imbi1d 330 . . . 4 (𝑦 = (𝐸𝑋) → (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)))
916915, 614vtoclg 3297 . . 3 ((𝐸𝑋) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅))
917628, 909, 916sylc 65 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
918616, 917pm2.61dane 2910 1 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  ifcif 4119  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144  cres 5145  Rel wrel 5148   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  supcsup 8387  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  (,)cioo 12213  (,]cioc 12214  [,)cico 12215  [,]cicc 12216  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  cfl 12631  t crest 16128  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  fldccnfld 19794  Topctop 20746  intcnt 20869  cnccncf 22726   lim climc 23671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-rest 16130  df-topn 16131  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-ntr 20872  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-xms 22172  df-ms 22173  df-cncf 22728  df-limc 23675
This theorem is referenced by:  fourierdlem94  40735  fourierdlem113  40754
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