Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem44 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem44 40890
Description: A condition for having (sin‘(𝐴 / 2)) non zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem44 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)

Proof of Theorem fourierdlem44
StepHypRef Expression
1 0xr 10299 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
21a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ*)
3 2re 11303 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
4 pire 24431 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
53, 4remulcli 10267 . . . . . . 7 (2 · π) ∈ ℝ
65rexri 10310 . . . . . 6 (2 · π) ∈ ℝ*
76a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → (2 · π) ∈ ℝ*)
84renegcli 10555 . . . . . . . 8 -π ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -π ∈ ℝ)
104a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → π ∈ ℝ)
11 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
12 eliccre 40250 . . . . . . 7 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ (-π[,]π)) → 𝐴 ∈ ℝ)
139, 10, 11, 12syl3anc 1477 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ∈ ℝ)
1413adantr 472 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
15 simpr 479 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
165a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (2 · π) ∈ ℝ)
179rexrd 10302 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -π ∈ ℝ*)
1810rexrd 10302 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → π ∈ ℝ*)
19 iccleub 12443 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝐴 ∈ (-π[,]π)) → 𝐴 ≤ π)
2017, 18, 11, 19syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ≤ π)
21 pirp 24434 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ+
22 2timesgt 40018 . . . . . . . . 9 (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 π < (2 · π)
2423a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → π < (2 · π))
2513, 10, 16, 20, 24lelttrd 10408 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 < (2 · π))
2625adantr 472 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < (2 · π))
272, 7, 14, 15, 26eliood 40242 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)))
2827adantlr 753 . . 3 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)))
29 sinaover2ne0 40601 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
3028, 29syl 17 . 2 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐴) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
31 simpll 807 . . 3 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
3231, 13syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
33 0red 10254 . . . 4 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
34 simplr 809 . . . 4 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
35 simpr 479 . . . 4 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → ¬ 0 < 𝐴)
3632, 33, 34, 35lttri5d 40031 . . 3 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 < 0)
3713recnd 10281 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ∈ ℂ)
3837halfcld 11490 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
39 sinneg 15096 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘-(𝐴 / 2)) = -(sin‘(𝐴 / 2)))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (sin‘-(𝐴 / 2)) = -(sin‘(𝐴 / 2)))
41 2cnd 11306 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 2 ∈ ℂ)
42 2ne0 11326 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
4342a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 2 ≠ 0)
4437, 41, 43divnegd 11027 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -(𝐴 / 2) = (-𝐴 / 2))
4544fveq2d 6358 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (sin‘-(𝐴 / 2)) = (sin‘(-𝐴 / 2)))
4640, 45eqtr3d 2797 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -(sin‘(𝐴 / 2)) = (sin‘(-𝐴 / 2)))
4746adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(sin‘(𝐴 / 2)) = (sin‘(-𝐴 / 2)))
481a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ*)
496a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℝ*)
5013renegcld 10670 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -𝐴 ∈ ℝ)
5150adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
52 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
5313adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
5453lt0neg1d 10810 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
5552, 54mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
565renegcli 10555 . . . . . . . . . . . . 13 -(2 · π) ∈ ℝ
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(2 · π) ∈ ℝ)
588a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -π ∈ ℝ)
594, 5ltnegi 10785 . . . . . . . . . . . . . 14 (π < (2 · π) ↔ -(2 · π) < -π)
6023, 59mpbi 220 . . . . . . . . . . . . 13 -(2 · π) < -π
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(2 · π) < -π)
62 iccgelb 12444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝐴 ∈ (-π[,]π)) → -π ≤ 𝐴)
6317, 18, 11, 62syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -π ≤ 𝐴)
6463adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -π ≤ 𝐴)
6557, 58, 53, 61, 64ltletrd 10410 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(2 · π) < 𝐴)
6657, 53ltnegd 10818 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (-(2 · π) < 𝐴 ↔ -𝐴 < --(2 · π)))
6765, 66mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < --(2 · π))
6816recnd 10281 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (2 · π) ∈ ℂ)
6968negnegd 10596 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → --(2 · π) = (2 · π))
7069adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → --(2 · π) = (2 · π))
7167, 70breqtrd 4831 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < (2 · π))
7248, 49, 51, 55, 71eliood 40242 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)))
73 sinaover2ne0 40601 . . . . . . . 8 (-𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(-𝐴 / 2)) ≠ 0)
7472, 73syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (sin‘(-𝐴 / 2)) ≠ 0)
7547, 74eqnetrd 3000 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
7675neneqd 2938 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → ¬ -(sin‘(𝐴 / 2)) = 0)
7738sincld 15080 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
7877adantr 472 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
7978negeq0d 10597 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → ((sin‘(𝐴 / 2)) = 0 ↔ -(sin‘(𝐴 / 2)) = 0))
8076, 79mtbird 314 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → ¬ (sin‘(𝐴 / 2)) = 0)
8180neqned 2940 . . 3 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
8231, 36, 81syl2anc 696 . 2 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
8330, 82pm2.61dan 867 1 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933   class class class wbr 4805  cfv 6050  (class class class)co 6815  cc 10147  cr 10148  0cc0 10149   · cmul 10154  *cxr 10286   < clt 10287  cle 10288  -cneg 10480   / cdiv 10897  2c2 11283  +crp 12046  (,)cioo 12389  [,]cicc 12392  sincsin 15014  πcpi 15017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227  ax-addf 10228  ax-mulf 10229
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-fi 8485  df-sup 8516  df-inf 8517  df-oi 8583  df-card 8976  df-cda 9203  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-q 12003  df-rp 12047  df-xneg 12160  df-xadd 12161  df-xmul 12162  df-ioo 12393  df-ioc 12394  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-fl 12808  df-mod 12884  df-seq 13017  df-exp 13076  df-fac 13276  df-bc 13305  df-hash 13333  df-shft 14027  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-limsup 14422  df-clim 14439  df-rlim 14440  df-sum 14637  df-ef 15018  df-sin 15020  df-cos 15021  df-pi 15023  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-starv 16179  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-ip 16182  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-unif 16188  df-hom 16189  df-cco 16190  df-rest 16306  df-topn 16307  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-topgen 16327  df-pt 16328  df-prds 16331  df-xrs 16385  df-qtop 16390  df-imas 16391  df-xps 16393  df-mre 16469  df-mrc 16470  df-acs 16472  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-submnd 17558  df-mulg 17763  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-psmet 19961  df-xmet 19962  df-met 19963  df-bl 19964  df-mopn 19965  df-fbas 19966  df-fg 19967  df-cnfld 19970  df-top 20922  df-topon 20939  df-topsp 20960  df-bases 20973  df-cld 21046  df-ntr 21047  df-cls 21048  df-nei 21125  df-lp 21163  df-perf 21164  df-cn 21254  df-cnp 21255  df-haus 21342  df-tx 21588  df-hmeo 21781  df-fil 21872  df-fm 21964  df-flim 21965  df-flf 21966  df-xms 22347  df-ms 22348  df-tms 22349  df-cncf 22903  df-limc 23850  df-dv 23851
This theorem is referenced by:  fourierdlem56  40901  fourierdlem57  40902  fourierdlem58  40903  fourierdlem62  40907  fourierdlem66  40911  fourierdlem68  40913  fourierdlem72  40917  fourierdlem76  40921  fourierdlem78  40923  fourierdlem80  40925  fourierdlem103  40948  fourierdlem104  40949
  Copyright terms: Public domain W3C validator