Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem43 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem43 40862
Description: 𝐾 is a real function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
fourierdlem43.1 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem43 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ

Proof of Theorem fourierdlem43
StepHypRef Expression
1 fourierdlem43.1 . 2 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
2 1red 10239 . . 3 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 = 0) → 1 ∈ ℝ)
3 pire 24401 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → π ∈ ℝ)
54renegcld 10641 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → -π ∈ ℝ)
6 id 22 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
7 eliccre 40223 . . . . . 6 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
85, 4, 6, 7syl3anc 1473 . . . . 5 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
98adantr 472 . . . 4 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
10 2re 11274 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ∈ ℝ)
129rehalfcld 11463 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
1312resincld 15064 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
1411, 13remulcld 10254 . . . 4 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
15 2cnd 11277 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ∈ ℂ)
1613recnd 10252 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
17 2ne0 11297 . . . . . 6 2 ≠ 0
1817a1i 11 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ≠ 0)
19 0xr 10270 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 0 ∈ ℝ*)
2110, 3remulcli 10238 . . . . . . . . . . 11 (2 · π) ∈ ℝ
2221rexri 10281 . . . . . . . . . 10 (2 · π) ∈ ℝ*
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → (2 · π) ∈ ℝ*)
248adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ ℝ)
25 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 0 < 𝑠)
2621a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → (2 · π) ∈ ℝ)
275rexrd 10273 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → -π ∈ ℝ*)
284rexrd 10273 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → π ∈ ℝ*)
29 iccleub 12414 . . . . . . . . . . . 12 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ≤ π)
3027, 28, 6, 29syl3anc 1473 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ≤ π)
31 pirp 24404 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ+
32 2timesgt 39991 . . . . . . . . . . . . 13 (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 π < (2 · π)
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → π < (2 · π))
358, 4, 26, 30, 34lelttrd 10379 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 < (2 · π))
3635adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 𝑠 < (2 · π))
3720, 23, 24, 25, 36eliood 40215 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)))
38 sinaover2ne0 40574 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
3937, 38syl 17 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝑠) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
4039adantlr 753 . . . . . 6 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ 0 < 𝑠) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
418ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ ℝ)
42 iccgelb 12415 . . . . . . . . . 10 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑠 ∈ (-π[,]π)) → -π ≤ 𝑠)
4327, 28, 6, 42syl3anc 1473 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → -π ≤ 𝑠)
4443ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → -π ≤ 𝑠)
45 0red 10225 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 0 ∈ ℝ)
46 neqne 2932 . . . . . . . . . 10 𝑠 = 0 → 𝑠 ≠ 0)
4746ad2antlr 765 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 ≠ 0)
48 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → ¬ 0 < 𝑠)
4941, 45, 47, 48lttri5d 40004 . . . . . . . 8 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 < 0)
505ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → -π ∈ ℝ)
51 elico2 12422 . . . . . . . . 9 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝑠 ∈ (-π[,)0) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝑠𝑠 < 0)))
5250, 19, 51sylancl 697 . . . . . . . 8 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → (𝑠 ∈ (-π[,)0) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝑠𝑠 < 0)))
5341, 44, 49, 52mpbir3and 1425 . . . . . . 7 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → 𝑠 ∈ (-π[,)0))
543renegcli 10526 . . . . . . . . . . . . . . 15 -π ∈ ℝ
55 elicore 12411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,)0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
5654, 55mpan 708 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 𝑠 ∈ ℝ)
5756recnd 10252 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 𝑠 ∈ ℂ)
58 2cnd 11277 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 2 ∈ ℂ)
5917a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 2 ≠ 0)
6057, 58, 59divnegd 10998 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(𝑠 / 2) = (-𝑠 / 2))
6160eqcomd 2758 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (-𝑠 / 2) = -(𝑠 / 2))
6261fveq2d 6348 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(-𝑠 / 2)) = (sin‘-(𝑠 / 2)))
6362negeqd 10459 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(sin‘(-𝑠 / 2)) = -(sin‘-(𝑠 / 2)))
6457halfcld 11461 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
65 sinneg 15067 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 / 2) ∈ ℂ → (sin‘-(𝑠 / 2)) = -(sin‘(𝑠 / 2)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘-(𝑠 / 2)) = -(sin‘(𝑠 / 2)))
6766negeqd 10459 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(sin‘-(𝑠 / 2)) = --(sin‘(𝑠 / 2)))
6864sincld 15051 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
6968negnegd 10567 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → --(sin‘(𝑠 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
7063, 67, 693eqtrd 2790 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(sin‘(-𝑠 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
7157negcld 10563 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 ∈ ℂ)
7271halfcld 11461 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (-𝑠 / 2) ∈ ℂ)
7372sincld 15051 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(-𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
7419a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 0 ∈ ℝ*)
7522a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (2 · π) ∈ ℝ*)
7656renegcld 10641 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 ∈ ℝ)
7754a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -π ∈ ℝ)
7877rexrd 10273 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -π ∈ ℝ*)
79 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 𝑠 ∈ (-π[,)0))
80 icoltub 40227 . . . . . . . . . . . . 13 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (-π[,)0)) → 𝑠 < 0)
8178, 74, 79, 80syl3anc 1473 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 𝑠 < 0)
8256lt0neg1d 10781 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (𝑠 < 0 ↔ 0 < -𝑠))
8381, 82mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → 0 < -𝑠)
843a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → π ∈ ℝ)
8521a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (2 · π) ∈ ℝ)
86 icogelb 12410 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (-π[,)0)) → -π ≤ 𝑠)
8778, 74, 79, 86syl3anc 1473 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -π ≤ 𝑠)
8884, 56, 87lenegcon1d 10793 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 ≤ π)
8933a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → π < (2 · π))
9076, 84, 85, 88, 89lelttrd 10379 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 < (2 · π))
9174, 75, 76, 83, 90eliood 40215 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)))
92 sinaover2ne0 40574 . . . . . . . . . 10 (-𝑠 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(-𝑠 / 2)) ≠ 0)
9391, 92syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(-𝑠 / 2)) ≠ 0)
9473, 93negne0d 10574 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → -(sin‘(-𝑠 / 2)) ≠ 0)
9570, 94eqnetrrd 2992 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (-π[,)0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
9653, 95syl 17 . . . . . 6 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑠) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
9740, 96pm2.61dan 867 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
9815, 16, 18, 97mulne0d 10863 . . . 4 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
999, 14, 98redivcld 11037 . . 3 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
1002, 99ifclda 4256 . 2 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ)
1011, 100fmpti 6538 1 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  ifcif 4222   class class class wbr 4796  cmpt 4873  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  cc 10118  cr 10119  0cc0 10120  1c1 10121   · cmul 10125  *cxr 10257   < clt 10258  cle 10259  -cneg 10451   / cdiv 10868  2c2 11254  +crp 12017  (,)cioo 12360  [,)cico 12362  [,]cicc 12363  sincsin 14985  πcpi 14988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-ioc 12365  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-mod 12855  df-seq 12988  df-exp 13047  df-fac 13247  df-bc 13276  df-hash 13304  df-shft 13998  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-limsup 14393  df-clim 14410  df-rlim 14411  df-sum 14608  df-ef 14989  df-sin 14991  df-cos 14992  df-pi 14994  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-rest 16277  df-topn 16278  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-topgen 16298  df-pt 16299  df-prds 16302  df-xrs 16356  df-qtop 16361  df-imas 16362  df-xps 16364  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-mulg 17734  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-fbas 19937  df-fg 19938  df-cnfld 19941  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cld 21017  df-ntr 21018  df-cls 21019  df-nei 21096  df-lp 21134  df-perf 21135  df-cn 21225  df-cnp 21226  df-haus 21313  df-tx 21559  df-hmeo 21752  df-fil 21843  df-fm 21935  df-flim 21936  df-flf 21937  df-xms 22318  df-ms 22319  df-tms 22320  df-cncf 22874  df-limc 23821  df-dv 23822
This theorem is referenced by:  fourierdlem55  40873  fourierdlem62  40880  fourierdlem66  40884  fourierdlem77  40895  fourierdlem85  40903  fourierdlem88  40906  fourierdlem103  40921  fourierdlem104  40922
  Copyright terms: Public domain W3C validator