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Theorem fourierdlem4 40849
Description: 𝐸 is a function that maps any point to a periodic corresponding point in (𝐴, 𝐵]. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem4.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem4.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem4.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem4.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem4.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem4 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem4
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
2 fourierdlem4.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
32adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
43, 1resubcld 10670 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵𝑥) ∈ ℝ)
5 fourierdlem4.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝐵𝐴)
6 fourierdlem4.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
72, 6resubcld 10670 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
85, 7syl5eqel 2843 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
98adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
105a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 = (𝐵𝐴))
112recnd 10280 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
126recnd 10280 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
13 fourierdlem4.altb . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 < 𝐵)
146, 13gtned 10384 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵𝐴)
1511, 12, 14subne0d 10613 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ 0)
1610, 15eqnetrd 2999 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ≠ 0)
1716adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ≠ 0)
184, 9, 17redivcld 11065 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ)
1918flcld 12813 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ∈ ℤ)
2019zred 11694 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ∈ ℝ)
2120, 9remulcld 10282 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
221, 21readdcld 10281 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
236adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2423, 1resubcld 10670 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝑥) ∈ ℝ)
2524, 9, 17redivcld 11065 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ)
2625, 9remulcld 10282 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴𝑥) / 𝑇) · 𝑇) ∈ ℝ)
2711addid1d 10448 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 + 0) = 𝐵)
2827eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 = (𝐵 + 0))
2911, 12subcld 10604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
3029subidd 10592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐵𝐴) − (𝐵𝐴)) = 0)
3130eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 = ((𝐵𝐴) − (𝐵𝐴)))
3231oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 + 0) = (𝐵 + ((𝐵𝐴) − (𝐵𝐴))))
3311, 29, 29addsub12d 10627 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 + ((𝐵𝐴) − (𝐵𝐴))) = ((𝐵𝐴) + (𝐵 − (𝐵𝐴))))
3411, 12nncand 10609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵 − (𝐵𝐴)) = 𝐴)
3534oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵𝐴) + (𝐵 − (𝐵𝐴))) = ((𝐵𝐴) + 𝐴))
3629, 12addcomd 10450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐵𝐴) + 𝐴) = (𝐴 + (𝐵𝐴)))
3710eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵𝐴) = 𝑇)
3837oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = (𝐴 + 𝑇))
3936, 38eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵𝐴) + 𝐴) = (𝐴 + 𝑇))
4033, 35, 393eqtrd 2798 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 + ((𝐵𝐴) − (𝐵𝐴))) = (𝐴 + 𝑇))
4128, 32, 403eqtrd 2798 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
4241adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
4342oveq1d 6829 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵𝑥) = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑥))
4412adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
459recnd 10280 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℂ)
461recnd 10280 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
4744, 45, 46addsubd 10625 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑥) = ((𝐴𝑥) + 𝑇))
4843, 47eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵𝑥) = ((𝐴𝑥) + 𝑇))
4948oveq1d 6829 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = (((𝐴𝑥) + 𝑇) / 𝑇))
5044, 46subcld 10604 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝑥) ∈ ℂ)
5150, 45, 45, 17divdird 11051 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴𝑥) + 𝑇) / 𝑇) = (((𝐴𝑥) / 𝑇) + (𝑇 / 𝑇)))
525, 29syl5eqel 2843 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
5352, 16dividd 11011 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 / 𝑇) = 1)
5453adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑇 / 𝑇) = 1)
5554oveq2d 6830 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴𝑥) / 𝑇) + (𝑇 / 𝑇)) = (((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1))
5649, 51, 553eqtrd 2798 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = (((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1))
5756fveq2d 6357 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)))
5857oveq1d 6829 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇))
5958, 21eqeltrrd 2840 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇) ∈ ℝ)
60 peano2re 10421 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ → (((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1) ∈ ℝ)
6125, 60syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1) ∈ ℝ)
62 reflcl 12811 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1) ∈ ℝ → (⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) ∈ ℝ)
6361, 62syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) ∈ ℝ)
646, 2posdifd 10826 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
6513, 64mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
6665, 10breqtrrd 4832 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝑇)
678, 66elrpd 12082 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
6867adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ+)
69 flltp1 12815 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ → ((𝐴𝑥) / 𝑇) < ((⌊‘((𝐴𝑥) / 𝑇)) + 1))
7025, 69syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑥) / 𝑇) < ((⌊‘((𝐴𝑥) / 𝑇)) + 1))
71 1zzd 11620 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℤ)
72 fladdz 12840 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) = ((⌊‘((𝐴𝑥) / 𝑇)) + 1))
7325, 71, 72syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) = ((⌊‘((𝐴𝑥) / 𝑇)) + 1))
7470, 73breqtrrd 4832 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑥) / 𝑇) < (⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)))
7525, 63, 68, 74ltmul1dd 12140 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴𝑥) / 𝑇) · 𝑇) < ((⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇))
7626, 59, 1, 75ltadd2dd 10408 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐴𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) < (𝑥 + ((⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇)))
7750, 45, 17divcan1d 11014 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴𝑥) / 𝑇) · 𝑇) = (𝐴𝑥))
7877oveq2d 6830 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐴𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = (𝑥 + (𝐴𝑥)))
7946, 44pncan3d 10607 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (𝐴𝑥)) = 𝐴)
8078, 79eqtrd 2794 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐴𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = 𝐴)
8158oveq2d 6830 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇)))
8281eqcomd 2766 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
8376, 80, 823brtr3d 4835 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 < (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
8418, 9remulcld 10282 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇) ∈ ℝ)
85 flle 12814 . . . . . . 7 (((𝐵𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ≤ ((𝐵𝑥) / 𝑇))
8618, 85syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ≤ ((𝐵𝑥) / 𝑇))
8720, 18, 68lemul1d 12128 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ≤ ((𝐵𝑥) / 𝑇) ↔ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇)))
8886, 87mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇))
8921, 84, 1, 88leadd2dd 10854 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ (𝑥 + (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇)))
904recnd 10280 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵𝑥) ∈ ℂ)
9190, 45, 17divcan1d 11014 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇) = (𝐵𝑥))
9291oveq2d 6830 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = (𝑥 + (𝐵𝑥)))
9311adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
9446, 93pncan3d 10607 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (𝐵𝑥)) = 𝐵)
9592, 94eqtrd 2794 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = 𝐵)
9689, 95breqtrd 4830 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ 𝐵)
9723rexrd 10301 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
98 elioc2 12449 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∧ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ 𝐵)))
9997, 3, 98syl2anc 696 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∧ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ 𝐵)))
10022, 83, 96, 99mpbir3and 1428 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
101 fourierdlem4.e . 2 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
102100, 101fmptd 6549 1 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  cmpt 4881  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  *cxr 10285   < clt 10286  cle 10287  cmin 10478   / cdiv 10896  cz 11589  +crp 12045  (,]cioc 12389  cfl 12805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-ioc 12393  df-fl 12807
This theorem is referenced by:  fourierdlem19  40864  fourierdlem37  40882  fourierdlem41  40886  fourierdlem48  40892  fourierdlem49  40893  fourierdlem51  40895  fourierdlem63  40907  fourierdlem65  40909  fourierdlem71  40915  fourierdlem79  40923  fourierdlem89  40933  fourierdlem90  40934  fourierdlem91  40935  fourierdlem102  40946  fourierdlem114  40958
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