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Theorem fourierdlem39 40681
Description: Integration by parts of ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))) d𝑥 (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem39.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem39.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem39.aleb (𝜑𝐴𝐵)
fourierdlem39.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
fourierdlem39.g 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem39.gcn (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
fourierdlem39.gbd (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
fourierdlem39.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem39 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))) d𝑥 = ((((𝐹𝐵) · -((cos‘(𝑅 · 𝐵)) / 𝑅)) − ((𝐹𝐴) · -((cos‘(𝑅 · 𝐴)) / 𝑅))) − ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem fourierdlem39
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem39.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem39.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 fourierdlem39.aleb . 2 (𝜑𝐴𝐵)
4 fourierdlem39.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
5 cncff 22743 . . . . . 6 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
76feqmptd 6288 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)))
87eqcomd 2657 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) = 𝐹)
98, 4eqeltrd 2730 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
10 coscn 24244 . . . . . 6 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
1110a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
121, 2iccssred 40045 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
13 ax-resscn 10031 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
1412, 13syl6ss 3648 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
15 fourierdlem39.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
1615rpred 11910 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
1716recnd 10106 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
18 ssid 3657 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
1918a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2014, 17, 19constcncfg 40402 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑅) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
2114, 19idcncfg 40403 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
2220, 21mulcncf 23261 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑅 · 𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
2311, 22cncfmpt1f 22763 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (cos‘(𝑅 · 𝑥))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
2415rpcnne0d 11919 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ≠ 0))
25 eldifsn 4350 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ≠ 0))
2624, 25sylibr 224 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ (ℂ ∖ {0}))
27 difssd 3771 . . . . 5 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
2814, 26, 27constcncfg 40402 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑅) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})))
2923, 28divcncf 23262 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
3029negcncfg 40412 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
31 fourierdlem39.gcn . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
32 cncff 22743 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
3331, 32syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
3433feqmptd 6288 . . . 4 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)))
3534eqcomd 2657 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)) = 𝐺)
3635, 31eqeltrd 2730 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
37 sincn 24243 . . . 4 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
3837a1i 11 . . 3 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
39 ioosscn 40034 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
4039a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
4140, 17, 19constcncfg 40402 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑅) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
4240, 19idcncfg 40403 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
4341, 42mulcncf 23261 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑅 · 𝑥)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
4438, 43cncfmpt1f 22763 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (sin‘(𝑅 · 𝑥))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
45 ioombl 23379 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
4645a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
47 volioo 23383 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
481, 2, 3, 47syl3anc 1366 . . . 4 (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
492, 1resubcld 10496 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
5048, 49eqeltrd 2730 . . 3 (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
51 eqid 2651 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥))
52 ioossicc 12297 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
5352a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
546adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
5553sselda 3636 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
5654, 55ffvelrnd 6400 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
5751, 9, 53, 19, 56cncfmptssg 40401 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
5857, 44mulcncf 23261 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
59 cniccbdd 23276 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦)
601, 2, 4, 59syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦)
61 nfra1 2970 . . . . . . . 8 𝑧𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦
6252sseli 3632 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
63 rspa 2959 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦)
6462, 63sylan2 490 . . . . . . . . 9 ((∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦)
6564ex 449 . . . . . . . 8 (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦 → (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦))
6661, 65ralrimi 2986 . . . . . . 7 (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦)
6766a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦))
6867reximdva 3046 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦))
6960, 68mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦)
70 nfv 1883 . . . . . . . 8 𝑧(𝜑𝑦 ∈ ℝ)
71 nfra1 2970 . . . . . . . 8 𝑧𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦
7270, 71nfan 1868 . . . . . . 7 𝑧((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦)
73 simpll 805 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → (𝜑𝑦 ∈ ℝ))
74 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))))
7516adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ∈ ℝ)
76 elioore 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
7776adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7875, 77remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑅 · 𝑥) ∈ ℝ)
7978resincld 14917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑅 · 𝑥)) ∈ ℝ)
8079recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑅 · 𝑥)) ∈ ℂ)
8156, 80mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))) ∈ ℂ)
8281ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))) ∈ ℂ)
83 dmmptg 5670 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))) ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))) = (𝐴(,)𝐵))
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))) = (𝐴(,)𝐵))
8584adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))) = (𝐴(,)𝐵))
8674, 85eleqtrd 2732 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
8786ad4ant14 1317 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
88 simplr 807 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦)
8986adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
90 rspa 2959 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦)
9188, 89, 90syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦)
9291adantllr 755 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦)
93 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))))
94 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
95 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑧 → (𝑅 · 𝑥) = (𝑅 · 𝑧))
9695fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → (sin‘(𝑅 · 𝑥)) = (sin‘(𝑅 · 𝑧)))
9794, 96oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))) = ((𝐹𝑧) · (sin‘(𝑅 · 𝑧))))
9897adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑧) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))) = ((𝐹𝑧) · (sin‘(𝑅 · 𝑧))))
99 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
1006adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
10152, 99sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
102100, 101ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
10317adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ∈ ℂ)
10439, 99sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℂ)
105103, 104mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑅 · 𝑧) ∈ ℂ)
106105sincld 14904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑅 · 𝑧)) ∈ ℂ)
107102, 106mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹𝑧) · (sin‘(𝑅 · 𝑧))) ∈ ℂ)
10893, 98, 99, 107fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧) = ((𝐹𝑧) · (sin‘(𝑅 · 𝑧))))
109108fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) = (abs‘((𝐹𝑧) · (sin‘(𝑅 · 𝑧)))))
110102, 106absmuld 14237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑧) · (sin‘(𝑅 · 𝑧)))) = ((abs‘(𝐹𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧)))))
111109, 110eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) = ((abs‘(𝐹𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧)))))
112111adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) = ((abs‘(𝐹𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧)))))
113112adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) = ((abs‘(𝐹𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧)))))
114 simplll 813 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → 𝜑)
115 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
116114, 115, 102syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
117116abscld 14219 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → (abs‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
11817ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → 𝑅 ∈ ℂ)
11939, 115sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → 𝑧 ∈ ℂ)
120118, 119mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → (𝑅 · 𝑧) ∈ ℂ)
121120sincld 14904 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → (sin‘(𝑅 · 𝑧)) ∈ ℂ)
122121abscld 14219 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧))) ∈ ℝ)
123117, 122remulcld 10108 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → ((abs‘(𝐹𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧)))) ∈ ℝ)
124 1red 10093 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → 1 ∈ ℝ)
125117, 124remulcld 10108 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → ((abs‘(𝐹𝑧)) · 1) ∈ ℝ)
126 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
127126, 124remulcld 10108 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → (𝑦 · 1) ∈ ℝ)
128106abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧))) ∈ ℝ)
129 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
130102abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
131102absge0d 14227 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑧)))
13216adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ∈ ℝ)
133 elioore 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
134133adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
135132, 134remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑅 · 𝑧) ∈ ℝ)
136 abssinbd 39823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 · 𝑧) ∈ ℝ → (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧))) ≤ 1)
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧))) ≤ 1)
138128, 129, 130, 131, 137lemul2ad 11002 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐹𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧)))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑧)) · 1))
139138adantlr 751 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐹𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧)))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑧)) · 1))
140139adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → ((abs‘(𝐹𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧)))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑧)) · 1))
141 0le1 10589 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 1
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → 0 ≤ 1)
143 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦)
144117, 126, 124, 142, 143lemul1ad 11001 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → ((abs‘(𝐹𝑧)) · 1) ≤ (𝑦 · 1))
145123, 125, 127, 140, 144letrd 10232 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → ((abs‘(𝐹𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧)))) ≤ (𝑦 · 1))
146113, 145eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ (𝑦 · 1))
147126recnd 10106 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
148147mulid1d 10095 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → (𝑦 · 1) = 𝑦)
149146, 148breqtrd 4711 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
15073, 87, 92, 149syl21anc 1365 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
151150ex 449 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → (𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦))
15272, 151ralrimi 2986 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
153152ex 449 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦))
154153reximdva 3046 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦))
15569, 154mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
15646, 50, 58, 155cnbdibl 40496 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
15711, 43cncfmpt1f 22763 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑅 · 𝑥))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
15840, 26, 27constcncfg 40402 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑅) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})))
159157, 158divcncf 23262 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
160159negcncfg 40412 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
16136, 160mulcncf 23261 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
162 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
16316adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
16415rpne0d 11915 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ≠ 0)
165164adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ 0)
166162, 163, 165redivcld 10891 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 / 𝑅) ∈ ℝ)
167166adantr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) → (𝑦 / 𝑅) ∈ ℝ)
168 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))) → 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))))
16933ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
17017adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ∈ ℂ)
17176recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
172171adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
173170, 172mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑅 · 𝑥) ∈ ℂ)
174173coscld 14905 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑅 · 𝑥)) ∈ ℂ)
175164adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ≠ 0)
176174, 170, 175divcld 10839 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) ∈ ℂ)
177176negcld 10417 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) ∈ ℂ)
178169, 177mulcld 10098 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) ∈ ℂ)
179178ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) ∈ ℂ)
180179adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))) → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) ∈ ℂ)
181 dmmptg 5670 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) = (𝐴(,)𝐵))
182180, 181syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))) → dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) = (𝐴(,)𝐵))
183168, 182eleqtrd 2732 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
184183ad4ant14 1317 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
185 eqidd 2652 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))))
186 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑧))
18795fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → (cos‘(𝑅 · 𝑥)) = (cos‘(𝑅 · 𝑧)))
188187oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → ((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) = ((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))
189188negeqd 10313 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) = -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))
190186, 189oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) = ((𝐺𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)))
191190adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑧) → ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) = ((𝐺𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)))
19233ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
193105coscld 14905 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑅 · 𝑧)) ∈ ℂ)
194164adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ≠ 0)
195193, 103, 194divcld 10839 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅) ∈ ℂ)
196195negcld 10417 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅) ∈ ℂ)
197192, 196mulcld 10098 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)) ∈ ℂ)
198185, 191, 99, 197fvmptd 6327 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧) = ((𝐺𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)))
199198fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) = (abs‘((𝐺𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))))
200199ad4ant14 1317 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) = (abs‘((𝐺𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))))
20133ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
202201ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
203202abscld 14219 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐺𝑧)) ∈ ℝ)
204 simpllr 815 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
20517ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ∈ ℂ)
206104ad4ant14 1317 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℂ)
207205, 206mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑅 · 𝑧) ∈ ℂ)
208207coscld 14905 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑅 · 𝑧)) ∈ ℂ)
209164ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ≠ 0)
210208, 205, 209divcld 10839 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅) ∈ ℂ)
211210negcld 10417 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅) ∈ ℂ)
212211abscld 14219 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)) ∈ ℝ)
21315rprecred 11921 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 𝑅) ∈ ℝ)
214213ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 𝑅) ∈ ℝ)
215202absge0d 14227 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑧)))
216211absge0d 14227 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)))
217186fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → (abs‘(𝐺𝑥)) = (abs‘(𝐺𝑧)))
218217breq1d 4695 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → ((abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦))
219218rspccva 3339 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦)
220219adantll 750 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦)
221195absnegd 14232 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)) = (abs‘((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)))
222193, 103, 194absdivd 14238 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)) = ((abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) / (abs‘𝑅)))
22315rpge0d 11914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
22416, 223absidd 14205 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘𝑅) = 𝑅)
225224oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) / (abs‘𝑅)) = ((abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) / 𝑅))
226225adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) / (abs‘𝑅)) = ((abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) / 𝑅))
227221, 222, 2263eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)) = ((abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) / 𝑅))
228193abscld 14219 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) ∈ ℝ)
22915adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
230 abscosbd 39804 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 · 𝑧) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) ≤ 1)
231135, 230syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) ≤ 1)
232228, 129, 229, 231lediv1dd 11968 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) / 𝑅) ≤ (1 / 𝑅))
233227, 232eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)) ≤ (1 / 𝑅))
234233ad4ant14 1317 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)) ≤ (1 / 𝑅))
235203, 204, 212, 214, 215, 216, 220, 234lemul12ad 11004 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐺𝑧)) · (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))) ≤ (𝑦 · (1 / 𝑅)))
236192, 196absmuld 14237 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐺𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))) = ((abs‘(𝐺𝑧)) · (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))))
237236ad4ant14 1317 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐺𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))) = ((abs‘(𝐺𝑧)) · (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))))
238204recnd 10106 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℂ)
239238, 205, 209divrecd 10842 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦 / 𝑅) = (𝑦 · (1 / 𝑅)))
240235, 237, 2393brtr4d 4717 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐺𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))) ≤ (𝑦 / 𝑅))
241200, 240eqbrtrd 4707 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ (𝑦 / 𝑅))
242184, 241syldan 486 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ (𝑦 / 𝑅))
243242ralrimiva 2995 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ (𝑦 / 𝑅))
244 breq2 4689 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑦 / 𝑅) → ((abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ 𝑤 ↔ (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ (𝑦 / 𝑅)))
245244ralbidv 3015 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑦 / 𝑅) → (∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ (𝑦 / 𝑅)))
246245rspcev 3340 . . . . 5 (((𝑦 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ (𝑦 / 𝑅)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ 𝑤)
247167, 243, 246syl2anc 694 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ 𝑤)
248 fourierdlem39.gbd . . . 4 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
249247, 248r19.29a 3107 . . 3 (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ 𝑤)
25046, 50, 161, 249cnbdibl 40496 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) ∈ 𝐿1)
2518oveq2d 6706 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥))) = (ℝ D 𝐹))
252 fourierdlem39.g . . . . 5 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
253252eqcomi 2660 . . . 4 (ℝ D 𝐹) = 𝐺
254253a1i 11 . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
255251, 254, 343eqtrd 2689 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)))
256 reelprrecn 10066 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
257256a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
25817adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ)
259 recn 10064 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
260259adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
261258, 260mulcld 10098 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑅 · 𝑥) ∈ ℂ)
262261coscld 14905 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (cos‘(𝑅 · 𝑥)) ∈ ℂ)
263164adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ 0)
264262, 258, 263divcld 10839 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) ∈ ℂ)
265264negcld 10417 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) ∈ ℂ)
26616adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
267 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
268266, 267remulcld 10108 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑅 · 𝑥) ∈ ℝ)
269268resincld 14917 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘(𝑅 · 𝑥)) ∈ ℝ)
270269renegcld 10495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → -(sin‘(𝑅 · 𝑥)) ∈ ℝ)
271270, 266remulcld 10108 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) ∈ ℝ)
272271, 266, 263redivcld 10891 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) ∈ ℝ)
273272renegcld 10495 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → -((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) ∈ ℝ)
274 recoscl 14915 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (cos‘𝑦) ∈ ℝ)
275274adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (cos‘𝑦) ∈ ℝ)
276275recnd 10106 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (cos‘𝑦) ∈ ℂ)
277 resincl 14914 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
278277renegcld 10495 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → -(sin‘𝑦) ∈ ℝ)
279278adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → -(sin‘𝑦) ∈ ℝ)
280 1red 10093 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
281257dvmptid 23765 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1))
282257, 260, 280, 281, 17dvmptcmul 23772 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑅 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑅 · 1)))
283258mulid1d 10095 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑅 · 1) = 𝑅)
284283mpteq2dva 4777 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑅 · 1)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑅))
285282, 284eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑅 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑅))
286 dvcosre 40444 . . . . . . . 8 (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑦))
287286a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑦)))
288 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑅 · 𝑥) → (cos‘𝑦) = (cos‘(𝑅 · 𝑥)))
289 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑅 · 𝑥) → (sin‘𝑦) = (sin‘(𝑅 · 𝑥)))
290289negeqd 10313 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑅 · 𝑥) → -(sin‘𝑦) = -(sin‘(𝑅 · 𝑥)))
291257, 257, 268, 266, 276, 279, 285, 287, 288, 290dvmptco 23780 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑅 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅)))
292257, 262, 271, 291, 17, 164dvmptdivc 23773 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅)))
293257, 264, 272, 292dvmptneg 23774 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅)))
294 eqid 2651 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
295294tgioo2 22653 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
296 iccntr 22671 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
2971, 2, 296syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
298257, 265, 273, 293, 12, 295, 294, 297dvmptres2 23770 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅)))
29980, 170mulneg1d 10521 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) = -((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅))
300299oveq1d 6705 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) = (-((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅))
30180, 170mulcld 10098 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) ∈ ℂ)
302301, 170, 175divnegd 10852 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -(((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) = (-((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅))
303300, 302eqtr4d 2688 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) = -(((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅))
304303negeqd 10313 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) = --(((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅))
305301, 170, 175divcld 10839 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) ∈ ℂ)
306305negnegd 10421 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → --(((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) = (((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅))
30780, 170, 175divcan4d 10845 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) = (sin‘(𝑅 · 𝑥)))
308304, 306, 3073eqtrd 2689 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) = (sin‘(𝑅 · 𝑥)))
309308mpteq2dva 4777 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (sin‘(𝑅 · 𝑥))))
310298, 309eqtrd 2685 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (sin‘(𝑅 · 𝑥))))
311 fveq2 6229 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
312 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑅 · 𝑥) = (𝑅 · 𝐴))
313312fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (cos‘(𝑅 · 𝑥)) = (cos‘(𝑅 · 𝐴)))
314313oveq1d 6705 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) = ((cos‘(𝑅 · 𝐴)) / 𝑅))
315314negeqd 10313 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) = -((cos‘(𝑅 · 𝐴)) / 𝑅))
316311, 315oveq12d 6708 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) = ((𝐹𝐴) · -((cos‘(𝑅 · 𝐴)) / 𝑅)))
317316adantl 481 . 2 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → ((𝐹𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) = ((𝐹𝐴) · -((cos‘(𝑅 · 𝐴)) / 𝑅)))
318 fveq2 6229 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
319 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑅 · 𝑥) = (𝑅 · 𝐵))
320319fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (cos‘(𝑅 · 𝑥)) = (cos‘(𝑅 · 𝐵)))
321320oveq1d 6705 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → ((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) = ((cos‘(𝑅 · 𝐵)) / 𝑅))
322321negeqd 10313 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) = -((cos‘(𝑅 · 𝐵)) / 𝑅))
323318, 322oveq12d 6708 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) = ((𝐹𝐵) · -((cos‘(𝑅 · 𝐵)) / 𝑅)))
324323adantl 481 . 2 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → ((𝐹𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) = ((𝐹𝐵) · -((cos‘(𝑅 · 𝐵)) / 𝑅)))
3251, 2, 3, 9, 30, 36, 44, 156, 250, 255, 310, 317, 324itgparts 23855 1 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))) d𝑥 = ((((𝐹𝐵) · -((cos‘(𝑅 · 𝐵)) / 𝑅)) − ((𝐹𝐴) · -((cos‘(𝑅 · 𝐴)) / 𝑅))) − ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  cdif 3604  wss 3607  {csn 4210  {cpr 4212   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  +crp 11870  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  abscabs 14018  sincsin 14838  cosccos 14839  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  fldccnfld 19794  intcnt 20869  cnccncf 22726  volcvol 23278  citg 23432   D cdv 23672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-ibl 23436  df-itg 23437  df-0p 23482  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by:  fourierdlem73  40714
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