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Theorem fourierdlem30 40849
Description: Sum of three small pieces is less than ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem30.ibl (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
fourierlemreimleblemlte22.f ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
fourierdlem30.g ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺 ∈ ℂ)
fourierdlem30.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
fourierdlem30.x 𝑋 = (abs‘𝐴)
fourierdlem30.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
fourierdlem30.y 𝑌 = (abs‘𝐶)
fourierdlem30.z 𝑍 = (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)
fourierdlem30.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
fourierdlem30.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
fourierdlem30.ler (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ≤ 𝑅)
fourierdlem30.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
fourierdlem30.12 (𝜑 → (abs‘𝐵) ≤ 1)
fourierdlem30.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
fourierdlem30.14 (𝜑 → (abs‘𝐷) ≤ 1)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem30 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥)) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem30
StepHypRef Expression
1 fourierdlem30.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2 fourierdlem30.r . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
32recnd 10252 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
4 0red 10225 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5 1red 10239 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6 0lt1 10734 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 1)
8 fourierdlem30.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑋 = (abs‘𝐴)
9 fourierdlem30.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
109abscld 14366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
118, 10syl5eqel 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
12 fourierdlem30.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑌 = (abs‘𝐶)
13 fourierdlem30.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1413abscld 14366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
1512, 14syl5eqel 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
1611, 15readdcld 10253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℝ)
17 fourierdlem30.z . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑍 = (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)
18 fourierlemreimleblemlte22.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
19 fourierdlem30.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺 ∈ ℂ)
2019negcld 10563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝐼) → -𝐺 ∈ ℂ)
2118, 20mulcld 10244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹 · -𝐺) ∈ ℂ)
22 fourierdlem30.ibl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
2321, 22itgcl 23741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 ∈ ℂ)
2423abscld 14366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ∈ ℝ)
2517, 24syl5eqel 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
2616, 25readdcld 10253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
27 fourierdlem30.e . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
2827rpred 12057 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
2927rpne0d 12062 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 ≠ 0)
3026, 28, 29redivcld 11037 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ)
3130, 5readdcld 10253 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
329absge0d 14374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3332, 8syl6breqr 4838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
3413absge0d 14374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
3534, 12syl6breqr 4838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
3611, 15, 33, 35addge0d 10787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 + 𝑌))
3723absge0d 14374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥))
3837, 17syl6breqr 4838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)
3916, 25, 36, 38addge0d 10787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
4026, 27, 39divge0d 12097 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))
415, 30addge02d 10800 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ↔ 1 ≤ ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
4240, 41mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≤ ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
43 fourierdlem30.ler . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ≤ 𝑅)
445, 31, 2, 42, 43letrd 10378 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ≤ 𝑅)
454, 5, 2, 7, 44ltletrd 10381 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑅)
4645gt0ne0d 10776 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ≠ 0)
471, 3, 46divnegd 10998 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(𝐵 / 𝑅) = (-𝐵 / 𝑅))
4847oveq2d 6821 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) = (𝐴 · (-𝐵 / 𝑅)))
491negcld 10563 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
509, 49, 3, 46divassd 11020 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 · -𝐵) / 𝑅) = (𝐴 · (-𝐵 / 𝑅)))
5148, 50eqtr4d 2789 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) = ((𝐴 · -𝐵) / 𝑅))
52 fourierdlem30.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
5352, 3, 46divnegd 10998 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(𝐷 / 𝑅) = (-𝐷 / 𝑅))
5453oveq2d 6821 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅)) = (𝐶 · (-𝐷 / 𝑅)))
5552negcld 10563 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -𝐷 ∈ ℂ)
5613, 55, 3, 46divassd 11020 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 · -𝐷) / 𝑅) = (𝐶 · (-𝐷 / 𝑅)))
5754, 56eqtr4d 2789 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅)) = ((𝐶 · -𝐷) / 𝑅))
5851, 57oveq12d 6823 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) = (((𝐴 · -𝐵) / 𝑅) − ((𝐶 · -𝐷) / 𝑅)))
599, 49mulcld 10244 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · -𝐵) ∈ ℂ)
6013, 55mulcld 10244 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 · -𝐷) ∈ ℂ)
6159, 60, 3, 46divsubdird 11024 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) / 𝑅) = (((𝐴 · -𝐵) / 𝑅) − ((𝐶 · -𝐷) / 𝑅)))
6258, 61eqtr4d 2789 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) = (((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) / 𝑅))
633, 46reccld 10978 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 𝑅) ∈ ℂ)
6463, 21, 22itgmulc2 23791 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 𝑅) · ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) = ∫𝐼((1 / 𝑅) · (𝐹 · -𝐺)) d𝑥)
6523, 3, 46divrec2d 10989 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 / 𝑅) = ((1 / 𝑅) · ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥))
663adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ ℂ)
6746adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ≠ 0)
6819, 66, 67divnegd 10998 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐼) → -(𝐺 / 𝑅) = (-𝐺 / 𝑅))
6968oveq2d 6821 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) = (𝐹 · (-𝐺 / 𝑅)))
7018, 20, 66, 67divassd 11020 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹 · -𝐺) / 𝑅) = (𝐹 · (-𝐺 / 𝑅)))
7121, 66, 67divrec2d 10989 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹 · -𝐺) / 𝑅) = ((1 / 𝑅) · (𝐹 · -𝐺)))
7269, 70, 713eqtr2d 2792 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) = ((1 / 𝑅) · (𝐹 · -𝐺)))
7372itgeq2dv 23739 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥 = ∫𝐼((1 / 𝑅) · (𝐹 · -𝐺)) d𝑥)
7464, 65, 733eqtr4rd 2797 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥 = (∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 / 𝑅))
7562, 74oveq12d 6823 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥) = ((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) / 𝑅) − (∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 / 𝑅)))
7659, 60subcld 10576 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) ∈ ℂ)
7776, 23, 3, 46divsubdird 11024 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) / 𝑅) = ((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) / 𝑅) − (∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 / 𝑅)))
7875, 77eqtr4d 2789 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥) = ((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) / 𝑅))
7978fveq2d 6348 . . 3 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥)) = (abs‘((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) / 𝑅)))
8076, 23subcld 10576 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ∈ ℂ)
8180, 3, 46absdivd 14385 . . 3 (𝜑 → (abs‘((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) / 𝑅)) = ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / (abs‘𝑅)))
824, 2, 45ltled 10369 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
832, 82absidd 14352 . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝑅) = 𝑅)
8483oveq2d 6821 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / (abs‘𝑅)) = ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅))
8579, 81, 843eqtrd 2790 . 2 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥)) = ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅))
8680abscld 14366 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
8786, 2, 46redivcld 11037 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ)
8810, 14readdcld 10253 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
8988, 24readdcld 10253 . . . 4 (𝜑 → (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
9089, 2, 46redivcld 11037 . . 3 (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ)
912, 45elrpd 12054 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
9276abscld 14366 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) ∈ ℝ)
9392, 24readdcld 10253 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
9476, 23abs2dif2d 14388 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ≤ ((abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)))
9559abscld 14366 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐴 · -𝐵)) ∈ ℝ)
9660abscld 14366 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐶 · -𝐷)) ∈ ℝ)
9795, 96readdcld 10253 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 · -𝐵)) + (abs‘(𝐶 · -𝐷))) ∈ ℝ)
9859, 60abs2dif2d 14388 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) ≤ ((abs‘(𝐴 · -𝐵)) + (abs‘(𝐶 · -𝐷))))
999, 49absmuld 14384 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐴 · -𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘-𝐵)))
10049abscld 14366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘-𝐵) ∈ ℝ)
1011absnegd 14379 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘-𝐵) = (abs‘𝐵))
102 fourierdlem30.12 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘𝐵) ≤ 1)
103101, 102eqbrtrd 4818 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘-𝐵) ≤ 1)
104100, 5, 10, 32, 103lemul2ad 11148 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (abs‘-𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) · 1))
10510recnd 10252 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
106105mulid1d 10241 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · 1) = (abs‘𝐴))
107104, 106breqtrd 4822 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (abs‘-𝐵)) ≤ (abs‘𝐴))
10899, 107eqbrtrd 4818 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐴 · -𝐵)) ≤ (abs‘𝐴))
10913, 55absmuld 14384 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐶 · -𝐷)) = ((abs‘𝐶) · (abs‘-𝐷)))
11055abscld 14366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘-𝐷) ∈ ℝ)
11152absnegd 14379 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘-𝐷) = (abs‘𝐷))
112 fourierdlem30.14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘𝐷) ≤ 1)
113111, 112eqbrtrd 4818 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘-𝐷) ≤ 1)
114110, 5, 14, 34, 113lemul2ad 11148 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · (abs‘-𝐷)) ≤ ((abs‘𝐶) · 1))
11514recnd 10252 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
116115mulid1d 10241 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · 1) = (abs‘𝐶))
117114, 116breqtrd 4822 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · (abs‘-𝐷)) ≤ (abs‘𝐶))
118109, 117eqbrtrd 4818 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐶 · -𝐷)) ≤ (abs‘𝐶))
11995, 96, 10, 14, 108, 118le2addd 10830 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 · -𝐵)) + (abs‘(𝐶 · -𝐷))) ≤ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)))
12092, 97, 88, 98, 119letrd 10378 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) ≤ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)))
12192, 88, 24, 120leadd1dd 10825 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ≤ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)))
12286, 93, 89, 94, 121letrd 10378 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ≤ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)))
12386, 89, 91, 122lediv1dd 12115 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) ≤ ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅))
12430ltp1d 11138 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
1254, 30, 31, 40, 124lelttrd 10379 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
126125gt0ne0d 10776 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ≠ 0)
12789, 31, 126redivcld 11037 . . . 4 (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
12830, 40ge0p1rpd 12087 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ+)
1298eqcomi 2761 . . . . . . . 8 (abs‘𝐴) = 𝑋
13012eqcomi 2761 . . . . . . . 8 (abs‘𝐶) = 𝑌
131129, 130oveq12i 6817 . . . . . . 7 ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) = (𝑋 + 𝑌)
13217eqcomi 2761 . . . . . . 7 (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) = 𝑍
133131, 132oveq12i 6817 . . . . . 6 (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)
13439, 133syl6breqr 4838 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)))
135128, 91, 89, 134, 43lediv2ad 12079 . . . 4 (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) ≤ ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
136133oveq1i 6815 . . . . 5 ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
137 oveq1 6812 . . . . . . . . 9 (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = (0 / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
138137adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = (0 / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
13930recnd 10252 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℂ)
1405recnd 10252 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
141139, 140addcld 10243 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℂ)
142141adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℂ)
143 oveq1 6812 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) = (0 / 𝐸))
144143adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) = (0 / 𝐸))
14527rpcnd 12059 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
146145adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 𝐸 ∈ ℂ)
14729adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 𝐸 ≠ 0)
148146, 147div0d 10984 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (0 / 𝐸) = 0)
149144, 148eqtrd 2786 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) = 0)
150149oveq1d 6820 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) = (0 + 1))
151 0p1e1 11316 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
152150, 151syl6eq 2802 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) = 1)
153 ax-1ne0 10189 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 0
154153a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 1 ≠ 0)
155152, 154eqnetrd 2991 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ≠ 0)
156142, 155div0d 10984 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (0 / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = 0)
157138, 156eqtrd 2786 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = 0)
15827rpgt0d 12060 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝐸)
159158adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 0 < 𝐸)
160157, 159eqbrtrd 4818 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) < 𝐸)
16126adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
16227adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 𝐸 ∈ ℝ+)
16339adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
164 neqne 2932 . . . . . . . . . . . 12 (¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ≠ 0)
165164adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ≠ 0)
166161, 163, 165ne0gt0d 10358 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 0 < ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
167161, 166elrpd 12054 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ+)
168167, 162rpdivcld 12074 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ+)
169 1rp 12021 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
170169a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 1 ∈ ℝ+)
171168, 170rpaddcld 12072 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ+)
172124adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
173161, 162, 171, 172ltdiv23d 12122 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) < 𝐸)
174160, 173pm2.61dan 867 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) < 𝐸)
175136, 174syl5eqbr 4831 . . . 4 (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) < 𝐸)
17690, 127, 28, 135, 175lelttrd 10379 . . 3 (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) < 𝐸)
17787, 90, 28, 123, 176lelttrd 10379 . 2 (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) < 𝐸)
17885, 177eqbrtrd 4818 1 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥)) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924   class class class wbr 4796  cmpt 4873  cfv 6041  (class class class)co 6805  cc 10118  cr 10119  0cc0 10120  1c1 10121   + caddc 10123   · cmul 10125   < clt 10258  cle 10259  cmin 10450  -cneg 10451   / cdiv 10868  +crp 12017  abscabs 14165  𝐿1cibl 23577  citg 23578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cc 9441  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-disj 4765  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-ofr 7055  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-omul 7726  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-acn 8950  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-ioc 12365  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-mod 12855  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-clim 14410  df-rlim 14411  df-sum 14608  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-rest 16277  df-topn 16278  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-topgen 16298  df-pt 16299  df-prds 16302  df-xrs 16356  df-qtop 16361  df-imas 16362  df-xps 16364  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-mulg 17734  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-cnfld 19941  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cn 21225  df-cnp 21226  df-cmp 21384  df-tx 21559  df-hmeo 21752  df-xms 22318  df-ms 22319  df-tms 22320  df-cncf 22874  df-ovol 23425  df-vol 23426  df-mbf 23579  df-itg1 23580  df-itg2 23581  df-ibl 23582  df-itg 23583  df-0p 23628
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