Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem25 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem25 40872
Description: If 𝐶 is not in the range of the partition, then it is in an open interval induced by the partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem25.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem25.qf (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
fourierdlem25.cel (𝜑𝐶 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
fourierdlem25.cnel (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ ran 𝑄)
fourierdlem25.i 𝐼 = sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem25 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)𝐶 ∈ ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝐶,𝑗   𝑗,𝐼   𝑘,𝐼   𝑘,𝑀   𝑗,𝑀   𝑄,𝑘   𝑄,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem fourierdlem25
Dummy variables 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem25.i . . 3 𝐼 = sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}, ℝ, < )
2 ssrab2 3843 . . . 4 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ⊆ (0..^𝑀)
3 ltso 10341 . . . . . 6 < Or ℝ
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → < Or ℝ)
5 fzofi 13003 . . . . . . 7 (0..^𝑀) ∈ Fin
6 ssfi 8357 . . . . . . 7 (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ⊆ (0..^𝑀)) → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ∈ Fin)
75, 2, 6mp2an 673 . . . . . 6 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ∈ Fin
87a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ∈ Fin)
9 0zd 11613 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
10 fourierdlem25.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1110nnzd 11705 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1210nngt0d 11287 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝑀)
13 fzolb 12706 . . . . . . . 8 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
149, 11, 12, 13syl3anbrc 1434 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
15 fourierdlem25.qf . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
16 elfzofz 12715 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ (0..^𝑀) → 0 ∈ (0...𝑀))
1714, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
1815, 17ffvelrnd 6520 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
1910nnnn0d 11575 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
20 nn0uz 11946 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
2119, 20syl6eleq 2863 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
22 eluzfz2 12578 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑀))
2415, 23ffvelrnd 6520 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ ℝ)
2518, 24iccssred 40255 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)) ⊆ ℝ)
26 fourierdlem25.cel . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
2725, 26sseldd 3759 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2818rexrd 10312 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ*)
2924rexrd 10312 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ ℝ*)
30 iccgelb 12454 . . . . . . . . 9 (((𝑄‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑀) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → (𝑄‘0) ≤ 𝐶)
3128, 29, 26, 30syl3anc 1480 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐶)
32 fourierdlem25.cnel . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ ran 𝑄)
33 simpr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶 = (𝑄‘0)) → 𝐶 = (𝑄‘0))
3415ffnd 6197 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 Fn (0...𝑀))
3534adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐶 = (𝑄‘0)) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
3617adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐶 = (𝑄‘0)) → 0 ∈ (0...𝑀))
37 fnfvelrn 6516 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄 Fn (0...𝑀) ∧ 0 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘0) ∈ ran 𝑄)
3835, 36, 37syl2anc 574 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶 = (𝑄‘0)) → (𝑄‘0) ∈ ran 𝑄)
3933, 38eqeltrd 2853 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶 = (𝑄‘0)) → 𝐶 ∈ ran 𝑄)
4032, 39mtand 839 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝐶 = (𝑄‘0))
4140neqned 2953 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ≠ (𝑄‘0))
4218, 27, 31, 41leneltd 10414 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘0) < 𝐶)
43 fveq2 6348 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑄𝑘) = (𝑄‘0))
4443breq1d 4807 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑄𝑘) < 𝐶 ↔ (𝑄‘0) < 𝐶))
4544elrab 3521 . . . . . . 7 (0 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ↔ (0 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘0) < 𝐶))
4614, 42, 45sylanbrc 573 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶})
4746ne0d 4080 . . . . 5 (𝜑 → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ≠ ∅)
48 fzossfz 12718 . . . . . . . 8 (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
49 fzssz 12572 . . . . . . . . 9 (0...𝑀) ⊆ ℤ
50 zssre 11608 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
5149, 50sstri 3767 . . . . . . . 8 (0...𝑀) ⊆ ℝ
5248, 51sstri 3767 . . . . . . 7 (0..^𝑀) ⊆ ℝ
532, 52sstri 3767 . . . . . 6 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ⊆ ℝ
5453a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ⊆ ℝ)
55 fisupcl 8552 . . . . 5 (( < Or ℝ ∧ ({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ≠ ∅ ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ⊆ ℝ)) → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶})
564, 8, 47, 54, 55syl13anc 1481 . . . 4 (𝜑 → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶})
572, 56sseldi 3756 . . 3 (𝜑 → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ) ∈ (0..^𝑀))
581, 57syl5eqel 2857 . 2 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
5948, 58sseldi 3756 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝑀))
6015, 59ffvelrnd 6520 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ)
6160rexrd 10312 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
62 fzofzp1 12795 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
6358, 62syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
6415, 63ffvelrnd 6520 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
6564rexrd 10312 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
661, 56syl5eqel 2857 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶})
67 fveq2 6348 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐼 → (𝑄𝑘) = (𝑄𝐼))
6867breq1d 4807 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐼 → ((𝑄𝑘) < 𝐶 ↔ (𝑄𝐼) < 𝐶))
6968elrab 3521 . . . . 5 (𝐼 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ↔ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄𝐼) < 𝐶))
7066, 69sylib 209 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄𝐼) < 𝐶))
7170simprd 484 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐼) < 𝐶)
7252, 58sseldi 3756 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
73 ltp1 11084 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 < (𝐼 + 1))
74 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 ∈ ℝ)
75 peano2re 10432 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ ℝ → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
7674, 75ltnled 10407 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ ℝ → (𝐼 < (𝐼 + 1) ↔ ¬ (𝐼 + 1) ≤ 𝐼))
7773, 76mpbid 223 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℝ → ¬ (𝐼 + 1) ≤ 𝐼)
7872, 77syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (𝐼 + 1) ≤ 𝐼)
7948, 49sstri 3767 . . . . . . . . . . . 12 (0..^𝑀) ⊆ ℤ
802, 79sstri 3767 . . . . . . . . . . 11 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ⊆ ℤ
8180a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ⊆ ℤ)
82 elrabi 3516 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} → ∈ (0..^𝑀))
83 elfzo0le 12742 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ (0..^𝑀) → 𝑀)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} → 𝑀)
8584adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}) → 𝑀)
8685ralrimiva 3118 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}𝑀)
87 breq2 4801 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚𝑀))
8887ralbidv 3138 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑀 → (∀ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}𝑚 ↔ ∀ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}𝑀))
8988rspcev 3465 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}𝑀) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}𝑚)
9011, 86, 89syl2anc 574 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}𝑚)
9190adantr 467 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}𝑚)
92 elfzuz 12567 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘0))
9363, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘0))
9493adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘0))
9511adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → 𝑀 ∈ ℤ)
9651, 63sseldi 3756 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
9796adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
9895zred 11706 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → 𝑀 ∈ ℝ)
99 elfzle2 12574 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑀)
10063, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐼 + 1) ≤ 𝑀)
101100adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑀)
102 simpr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶)
10364adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
10427adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
105103, 104ltnled 10407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))))
106102, 105mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → ¬ 𝐶 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
107 iccleub 12453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑄‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑀) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → 𝐶 ≤ (𝑄𝑀))
10828, 29, 26, 107syl3anc 1480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐶 ≤ (𝑄𝑀))
109108adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑀 = (𝐼 + 1)) → 𝐶 ≤ (𝑄𝑀))
110 fveq2 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 = (𝐼 + 1) → (𝑄𝑀) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
111110adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑀 = (𝐼 + 1)) → (𝑄𝑀) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
112109, 111breqtrd 4823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑀 = (𝐼 + 1)) → 𝐶 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
113112adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) ∧ 𝑀 = (𝐼 + 1)) → 𝐶 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
114106, 113mtand 839 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → ¬ 𝑀 = (𝐼 + 1))
115114neqned 2953 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → 𝑀 ≠ (𝐼 + 1))
11697, 98, 101, 115leneltd 10414 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) < 𝑀)
117 elfzo2 12703 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐼 + 1) < 𝑀))
11894, 95, 116, 117syl3anbrc 1434 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀))
119 fveq2 6348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝐼 + 1) → (𝑄𝑘) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
120119breq1d 4807 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝐼 + 1) → ((𝑄𝑘) < 𝐶 ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶))
121120elrab 3521 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶))
122118, 102, 121sylanbrc 573 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶})
123 suprzub 12004 . . . . . . . . . 10 (({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ⊆ ℤ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}𝑚 ∧ (𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}) → (𝐼 + 1) ≤ sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ))
12481, 91, 122, 123syl3anc 1480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ≤ sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ))
125124, 1syl6breqr 4839 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐼)
12678, 125mtand 839 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶)
127 eqcom 2781 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶𝐶 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
128127biimpi 207 . . . . . . . . . 10 ((𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶𝐶 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
129128adantl 468 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → 𝐶 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
13034adantr 467 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
13163adantr 467 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
132 fnfvelrn 6516 . . . . . . . . . 10 ((𝑄 Fn (0...𝑀) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
133130, 131, 132syl2anc 574 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
134129, 133eqeltrd 2853 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → 𝐶 ∈ ran 𝑄)
13532, 134mtand 839 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶)
136126, 135jca 502 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶))
137 pm4.56 1000 . . . . . 6 ((¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) ↔ ¬ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∨ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶))
138136, 137sylib 209 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∨ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶))
13964, 27leloed 10403 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐶 ↔ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∨ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶)))
140138, 139mtbird 315 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐶)
14127, 64ltnled 10407 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 < (𝑄‘(𝐼 + 1)) ↔ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐶))
142140, 141mpbird 248 . . 3 (𝜑𝐶 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
14361, 65, 27, 71, 142eliood 40248 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
144 fveq2 6348 . . . . 5 (𝑗 = 𝐼 → (𝑄𝑗) = (𝑄𝐼))
145 oveq1 6819 . . . . . 6 (𝑗 = 𝐼 → (𝑗 + 1) = (𝐼 + 1))
146145fveq2d 6352 . . . . 5 (𝑗 = 𝐼 → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
147144, 146oveq12d 6830 . . . 4 (𝑗 = 𝐼 → ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))) = ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
148147eleq2d 2839 . . 3 (𝑗 = 𝐼 → (𝐶 ∈ ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))) ↔ 𝐶 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
149148rspcev 3465 . 2 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐶 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)𝐶 ∈ ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
15058, 143, 149syl2anc 574 1 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)𝐶 ∈ ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  wo 863   = wceq 1634  wcel 2148  wne 2946  wral 3064  wrex 3065  {crab 3068  wss 3729  c0 4073   class class class wbr 4797   Or wor 5183  ran crn 5264   Fn wfn 6037  wf 6038  cfv 6042  (class class class)co 6812  Fincfn 8130  supcsup 8523  cr 10158  0cc0 10159  1c1 10160   + caddc 10162  *cxr 10296   < clt 10297  cle 10298  cn 11243  0cn0 11516  cz 11601  cuz 11910  (,)cioo 12399  [,]cicc 12402  ...cfz 12555  ..^cfzo 12695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-cnex 10215  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235  ax-pre-mulgt0 10236
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-iun 4667  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-pred 5834  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-om 7234  df-1st 7336  df-2nd 7337  df-wrecs 7580  df-recs 7642  df-rdg 7680  df-1o 7734  df-er 7917  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-fin 8134  df-sup 8525  df-inf 8526  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-xr 10301  df-ltxr 10302  df-le 10303  df-sub 10491  df-neg 10492  df-nn 11244  df-n0 11517  df-z 11602  df-uz 11911  df-ioo 12403  df-icc 12406  df-fz 12556  df-fzo 12696
This theorem is referenced by:  fourierdlem41  40888  fourierdlem48  40894  fourierdlem49  40895  fourierdlem70  40916  fourierdlem71  40917  fourierdlem103  40949  fourierdlem104  40950
  Copyright terms: Public domain W3C validator