Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem25 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem25 40667
Description: If 𝐶 is not in the range of the partition, then it is in an open interval induced by the partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem25.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem25.qf (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
fourierdlem25.cel (𝜑𝐶 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
fourierdlem25.cnel (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ ran 𝑄)
fourierdlem25.i 𝐼 = sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem25 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)𝐶 ∈ ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝐶,𝑗   𝑗,𝐼   𝑘,𝐼   𝑘,𝑀   𝑗,𝑀   𝑄,𝑘   𝑄,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem fourierdlem25
Dummy variables 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem25.i . . 3 𝐼 = sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}, ℝ, < )
2 ssrab2 3720 . . . 4 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ⊆ (0..^𝑀)
3 ltso 10156 . . . . . 6 < Or ℝ
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → < Or ℝ)
5 fzofi 12813 . . . . . . 7 (0..^𝑀) ∈ Fin
6 ssfi 8221 . . . . . . 7 (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ⊆ (0..^𝑀)) → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ∈ Fin)
75, 2, 6mp2an 708 . . . . . 6 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ∈ Fin
87a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ∈ Fin)
9 0zd 11427 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
10 fourierdlem25.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1110nnzd 11519 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1210nngt0d 11102 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝑀)
13 fzolb 12515 . . . . . . . 8 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
149, 11, 12, 13syl3anbrc 1265 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
15 fourierdlem25.qf . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
16 elfzofz 12524 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ (0..^𝑀) → 0 ∈ (0...𝑀))
1714, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
1815, 17ffvelrnd 6400 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
1910nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
20 nn0uz 11760 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
2119, 20syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
22 eluzfz2 12387 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑀))
2415, 23ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ ℝ)
2518, 24iccssred 40045 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)) ⊆ ℝ)
26 fourierdlem25.cel . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
2725, 26sseldd 3637 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2818rexrd 10127 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ*)
2924rexrd 10127 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ ℝ*)
30 iccgelb 12268 . . . . . . . . 9 (((𝑄‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑀) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → (𝑄‘0) ≤ 𝐶)
3128, 29, 26, 30syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐶)
32 fourierdlem25.cnel . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ ran 𝑄)
33 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶 = (𝑄‘0)) → 𝐶 = (𝑄‘0))
34 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ → 𝑄 Fn (0...𝑀))
3515, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 Fn (0...𝑀))
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐶 = (𝑄‘0)) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
3717adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐶 = (𝑄‘0)) → 0 ∈ (0...𝑀))
38 fnfvelrn 6396 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄 Fn (0...𝑀) ∧ 0 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘0) ∈ ran 𝑄)
3936, 37, 38syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶 = (𝑄‘0)) → (𝑄‘0) ∈ ran 𝑄)
4033, 39eqeltrd 2730 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶 = (𝑄‘0)) → 𝐶 ∈ ran 𝑄)
4132, 40mtand 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝐶 = (𝑄‘0))
4241neqned 2830 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ≠ (𝑄‘0))
4318, 27, 31, 42leneltd 10229 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘0) < 𝐶)
44 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑄𝑘) = (𝑄‘0))
4544breq1d 4695 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑄𝑘) < 𝐶 ↔ (𝑄‘0) < 𝐶))
4645elrab 3396 . . . . . . 7 (0 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ↔ (0 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘0) < 𝐶))
4714, 43, 46sylanbrc 699 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶})
48 ne0i 3954 . . . . . 6 (0 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ≠ ∅)
4947, 48syl 17 . . . . 5 (𝜑 → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ≠ ∅)
50 fzossfz 12527 . . . . . . . 8 (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
51 fzssz 12381 . . . . . . . . 9 (0...𝑀) ⊆ ℤ
52 zssre 11422 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
5351, 52sstri 3645 . . . . . . . 8 (0...𝑀) ⊆ ℝ
5450, 53sstri 3645 . . . . . . 7 (0..^𝑀) ⊆ ℝ
552, 54sstri 3645 . . . . . 6 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ⊆ ℝ
5655a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ⊆ ℝ)
57 fisupcl 8416 . . . . 5 (( < Or ℝ ∧ ({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ≠ ∅ ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ⊆ ℝ)) → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶})
584, 8, 49, 56, 57syl13anc 1368 . . . 4 (𝜑 → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶})
592, 58sseldi 3634 . . 3 (𝜑 → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ) ∈ (0..^𝑀))
601, 59syl5eqel 2734 . 2 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
6150, 60sseldi 3634 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝑀))
6215, 61ffvelrnd 6400 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ)
6362rexrd 10127 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
64 fzofzp1 12605 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
6560, 64syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
6615, 65ffvelrnd 6400 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
6766rexrd 10127 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
681, 58syl5eqel 2734 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶})
69 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐼 → (𝑄𝑘) = (𝑄𝐼))
7069breq1d 4695 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐼 → ((𝑄𝑘) < 𝐶 ↔ (𝑄𝐼) < 𝐶))
7170elrab 3396 . . . . 5 (𝐼 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ↔ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄𝐼) < 𝐶))
7268, 71sylib 208 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄𝐼) < 𝐶))
7372simprd 478 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐼) < 𝐶)
7454, 60sseldi 3634 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
75 ltp1 10899 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 < (𝐼 + 1))
76 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 ∈ ℝ)
77 peano2re 10247 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ ℝ → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
7876, 77ltnled 10222 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ ℝ → (𝐼 < (𝐼 + 1) ↔ ¬ (𝐼 + 1) ≤ 𝐼))
7975, 78mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℝ → ¬ (𝐼 + 1) ≤ 𝐼)
8074, 79syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (𝐼 + 1) ≤ 𝐼)
8150, 51sstri 3645 . . . . . . . . . . . 12 (0..^𝑀) ⊆ ℤ
822, 81sstri 3645 . . . . . . . . . . 11 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ⊆ ℤ
8382a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ⊆ ℤ)
84 elrabi 3391 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} → ∈ (0..^𝑀))
85 elfzo0le 12551 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ (0..^𝑀) → 𝑀)
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} → 𝑀)
8786adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}) → 𝑀)
8887ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}𝑀)
89 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚𝑀))
9089ralbidv 3015 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑀 → (∀ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}𝑚 ↔ ∀ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}𝑀))
9190rspcev 3340 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}𝑀) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}𝑚)
9211, 88, 91syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}𝑚)
9392adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}𝑚)
94 elfzuz 12376 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘0))
9565, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘0))
9695adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘0))
9711adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → 𝑀 ∈ ℤ)
9853, 65sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
9998adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
10097zred 11520 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → 𝑀 ∈ ℝ)
101 elfzle2 12383 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑀)
10265, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐼 + 1) ≤ 𝑀)
103102adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑀)
104 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶)
10566adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
10627adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
107105, 106ltnled 10222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))))
108104, 107mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → ¬ 𝐶 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
109 iccleub 12267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑄‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑀) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → 𝐶 ≤ (𝑄𝑀))
11028, 29, 26, 109syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐶 ≤ (𝑄𝑀))
111110adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑀 = (𝐼 + 1)) → 𝐶 ≤ (𝑄𝑀))
112 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 = (𝐼 + 1) → (𝑄𝑀) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
113112adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑀 = (𝐼 + 1)) → (𝑄𝑀) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
114111, 113breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑀 = (𝐼 + 1)) → 𝐶 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
115114adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) ∧ 𝑀 = (𝐼 + 1)) → 𝐶 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
116108, 115mtand 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → ¬ 𝑀 = (𝐼 + 1))
117116neqned 2830 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → 𝑀 ≠ (𝐼 + 1))
11899, 100, 103, 117leneltd 10229 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) < 𝑀)
119 elfzo2 12512 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐼 + 1) < 𝑀))
12096, 97, 118, 119syl3anbrc 1265 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀))
121 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝐼 + 1) → (𝑄𝑘) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
122121breq1d 4695 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝐼 + 1) → ((𝑄𝑘) < 𝐶 ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶))
123122elrab 3396 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶))
124120, 104, 123sylanbrc 699 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶})
125 suprzub 11817 . . . . . . . . . 10 (({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ⊆ ℤ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}𝑚 ∧ (𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}) → (𝐼 + 1) ≤ sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ))
12683, 93, 124, 125syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ≤ sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ))
127126, 1syl6breqr 4727 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐼)
12880, 127mtand 692 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶)
129 eqcom 2658 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶𝐶 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
130129biimpi 206 . . . . . . . . . 10 ((𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶𝐶 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
131130adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → 𝐶 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
13235adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
13365adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
134 fnfvelrn 6396 . . . . . . . . . 10 ((𝑄 Fn (0...𝑀) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
135132, 133, 134syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
136131, 135eqeltrd 2730 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → 𝐶 ∈ ran 𝑄)
13732, 136mtand 692 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶)
138128, 137jca 553 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶))
139 pm4.56 515 . . . . . 6 ((¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) ↔ ¬ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∨ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶))
140138, 139sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∨ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶))
14166, 27leloed 10218 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐶 ↔ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∨ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶)))
142140, 141mtbird 314 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐶)
14327, 66ltnled 10222 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 < (𝑄‘(𝐼 + 1)) ↔ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐶))
144142, 143mpbird 247 . . 3 (𝜑𝐶 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
14563, 67, 27, 73, 144eliood 40038 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
146 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑗 = 𝐼 → (𝑄𝑗) = (𝑄𝐼))
147 oveq1 6697 . . . . . 6 (𝑗 = 𝐼 → (𝑗 + 1) = (𝐼 + 1))
148147fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑗 = 𝐼 → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
149146, 148oveq12d 6708 . . . 4 (𝑗 = 𝐼 → ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))) = ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
150149eleq2d 2716 . . 3 (𝑗 = 𝐼 → (𝐶 ∈ ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))) ↔ 𝐶 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
151150rspcev 3340 . 2 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐶 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)𝐶 ∈ ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
15260, 145, 151syl2anc 694 1 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)𝐶 ∈ ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685   Or wor 5063  ran crn 5144   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  supcsup 8387  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-ioo 12217  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505
This theorem is referenced by:  fourierdlem41  40683  fourierdlem48  40689  fourierdlem49  40690  fourierdlem70  40711  fourierdlem71  40712  fourierdlem103  40744  fourierdlem104  40745
  Copyright terms: Public domain W3C validator