Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem24 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem24 40768
Description: A sufficient condition for module being nonzero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem24 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝐴 mod (2 · π)) ≠ 0)

Proof of Theorem fourierdlem24
StepHypRef Expression
1 0zd 11502 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℤ)
2 pire 24330 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ
32renegcli 10455 . . . . . . . . 9 -π ∈ ℝ
4 iccssre 12369 . . . . . . . . 9 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
53, 2, 4mp2an 710 . . . . . . . 8 (-π[,]π) ⊆ ℝ
6 eldifi 3840 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
75, 6sseldi 3707 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ∈ ℝ)
87adantr 472 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 2re 11203 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
109, 2remulcli 10167 . . . . . . 7 (2 · π) ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (2 · π) ∈ ℝ)
12 simpr 479 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
13 2pos 11225 . . . . . . . 8 0 < 2
14 pipos 24332 . . . . . . . 8 0 < π
159, 2, 13, 14mulgt0ii 10283 . . . . . . 7 0 < (2 · π)
1615a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (2 · π))
178, 11, 12, 16divgt0d 11072 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 / (2 · π)))
1811, 16elrpd 11983 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (2 · π) ∈ ℝ+)
192a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ)
2010a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · π) ∈ ℝ)
213rexri 10210 . . . . . . . . . . . 12 -π ∈ ℝ*
2221a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -π ∈ ℝ*)
2319rexrd 10202 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ*)
24 iccleub 12343 . . . . . . . . . . 11 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝐴 ∈ (-π[,]π)) → 𝐴 ≤ π)
2522, 23, 6, 24syl3anc 1439 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ≤ π)
26 pirp 24333 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ+
27 2timesgt 39916 . . . . . . . . . . 11 (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
2826, 27mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → π < (2 · π))
297, 19, 20, 25, 28lelttrd 10308 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 < (2 · π))
3029adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < (2 · π))
318, 11, 18, 30ltdiv1dd 12043 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / (2 · π)) < ((2 · π) / (2 · π)))
3210recni 10165 . . . . . . . 8 (2 · π) ∈ ℂ
3310, 15gt0ne0ii 10677 . . . . . . . 8 (2 · π) ≠ 0
3432, 33dividi 10871 . . . . . . 7 ((2 · π) / (2 · π)) = 1
3531, 34syl6breq 4801 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / (2 · π)) < 1)
36 0p1e1 11245 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
3735, 36syl6breqr 4802 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / (2 · π)) < (0 + 1))
38 btwnnz 11566 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / (2 · π)) ∧ (𝐴 / (2 · π)) < (0 + 1)) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
391, 17, 37, 38syl3anc 1439 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
40 simpl 474 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
417adantr 472 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
42 0red 10154 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
43 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → ¬ 0 < 𝐴)
4441, 42, 43nltled 10300 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≤ 0)
45 eldifsni 4429 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ≠ 0)
4645necomd 2951 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 0 ≠ 𝐴)
4746adantr 472 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 0 ≠ 𝐴)
4841, 42, 44, 47leneltd 10304 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 < 0)
49 neg1z 11526 . . . . . . 7 -1 ∈ ℤ
5049a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -1 ∈ ℤ)
5133a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · π) ≠ 0)
527, 20, 51redivcld 10966 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ)
5352adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ)
54 1red 10168 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 1 ∈ ℝ)
557recnd 10181 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ∈ ℂ)
5655adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5732a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℂ)
5833a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ≠ 0)
5956, 57, 58divnegd 10927 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -(𝐴 / (2 · π)) = (-𝐴 / (2 · π)))
607renegcld 10570 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -𝐴 ∈ ℝ)
6160adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
6210a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℝ)
63 2rp 11951 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ+
64 rpmulcl 11969 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
6563, 26, 64mp2an 710 . . . . . . . . . . 11 (2 · π) ∈ ℝ+
6665a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℝ+)
67 iccgelb 12344 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝐴 ∈ (-π[,]π)) → -π ≤ 𝐴)
6822, 23, 6, 67syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -π ≤ 𝐴)
6919, 7, 68lenegcon1d 10722 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -𝐴 ≤ π)
7060, 19, 20, 69, 28lelttrd 10308 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -𝐴 < (2 · π))
7170adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < (2 · π))
7261, 62, 66, 71ltdiv1dd 12043 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 / (2 · π)) < ((2 · π) / (2 · π)))
7372, 34syl6breq 4801 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 / (2 · π)) < 1)
7459, 73eqbrtrd 4782 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -(𝐴 / (2 · π)) < 1)
7553, 54, 74ltnegcon1d 10720 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -1 < (𝐴 / (2 · π)))
767adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
77 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
7876, 66, 77divlt0gt0d 39914 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 / (2 · π)) < 0)
79 neg1cn 11237 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
80 ax-1cn 10107 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
8179, 80addcomi 10340 . . . . . . . 8 (-1 + 1) = (1 + -1)
82 1pneg1e0 11242 . . . . . . . 8 (1 + -1) = 0
8381, 82eqtr2i 2747 . . . . . . 7 0 = (-1 + 1)
8478, 83syl6breq 4801 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 / (2 · π)) < (-1 + 1))
85 btwnnz 11566 . . . . . 6 ((-1 ∈ ℤ ∧ -1 < (𝐴 / (2 · π)) ∧ (𝐴 / (2 · π)) < (-1 + 1)) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
8650, 75, 84, 85syl3anc 1439 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
8740, 48, 86syl2anc 696 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
8839, 87pm2.61dan 867 . . 3 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
8965a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · π) ∈ ℝ+)
90 mod0 12790 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))
917, 89, 90syl2anc 696 . . 3 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ((𝐴 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))
9288, 91mtbird 314 . 2 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ (𝐴 mod (2 · π)) = 0)
9392neqned 2903 1 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝐴 mod (2 · π)) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  cdif 3677  wss 3680  {csn 4285   class class class wbr 4760  (class class class)co 6765  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   · cmul 10054  *cxr 10186   < clt 10187  cle 10188  -cneg 10380   / cdiv 10797  2c2 11183  cz 11490  +crp 11946  [,]cicc 12292   mod cmo 12783  πcpi 14917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ioc 12294  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-mod 12784  df-seq 12917  df-exp 12976  df-fac 13176  df-bc 13205  df-hash 13233  df-shft 13927  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-limsup 14322  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-sum 14537  df-ef 14918  df-sin 14920  df-cos 14921  df-pi 14923  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-mulg 17663  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-lp 21063  df-perf 21064  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-haus 21242  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-cncf 22803  df-limc 23750  df-dv 23751
This theorem is referenced by:  fourierdlem66  40809
  Copyright terms: Public domain W3C validator