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Theorem fourierdlem20 40662
Description: Every interval in the partition 𝑆 is included in an interval of the partition 𝑄. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem20.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem20.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem20.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem20.aleb (𝜑𝐴𝐵)
fourierdlem20.q (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
fourierdlem20.q0 (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐴)
fourierdlem20.qm (𝜑𝐵 ≤ (𝑄𝑀))
fourierdlem20.j (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))
fourierdlem20.t 𝑇 = ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)))
fourierdlem20.s (𝜑𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
fourierdlem20.i 𝐼 = sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem20 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝑖,𝐽   𝑘,𝐽   𝑖,𝑀   𝑘,𝑀   𝑄,𝑖   𝑄,𝑘   𝑆,𝑖   𝑆,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑘)   𝐴(𝑖,𝑘)   𝐵(𝑖,𝑘)   𝑇(𝑖,𝑘)   𝐼(𝑘)   𝑁(𝑖,𝑘)

Proof of Theorem fourierdlem20
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem20.i . . 3 𝐼 = sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}, ℝ, < )
2 ssrab2 3720 . . . 4 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ⊆ (0..^𝑀)
3 fzossfz 12527 . . . . . . . 8 (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
4 fzssz 12381 . . . . . . . 8 (0...𝑀) ⊆ ℤ
53, 4sstri 3645 . . . . . . 7 (0..^𝑀) ⊆ ℤ
62, 5sstri 3645 . . . . . 6 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ⊆ ℤ
76a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ⊆ ℤ)
8 0z 11426 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
9 0le0 11148 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 0
10 eluz2 11731 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ (ℤ‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 0))
118, 8, 9, 10mpbir3an 1263 . . . . . . . . 9 0 ∈ (ℤ‘0)
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ (ℤ‘0))
13 fourierdlem20.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1413nnzd 11519 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1513nngt0d 11102 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝑀)
16 elfzo2 12512 . . . . . . . 8 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
1712, 14, 15, 16syl3anbrc 1265 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
18 fourierdlem20.q . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
193, 17sseldi 3634 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
2018, 19ffvelrnd 6400 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
21 fourierdlem20.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
22 fourierdlem20.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)))
2321rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
24 fourierdlem20.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2524rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
26 fourierdlem20.aleb . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴𝐵)
27 lbicc2 12326 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2823, 25, 26, 27syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
29 ubicc2 12327 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3023, 25, 26, 29syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3128, 30jca 553 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
32 prssg 4382 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
3323, 25, 32syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
3431, 33mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐴[,]𝐵))
35 inss2 3867 . . . . . . . . . . . . . 14 (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴(,)𝐵)
36 ioossicc 12297 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3735, 36sstri 3645 . . . . . . . . . . . . 13 (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
3934, 38unssd 3822 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4022, 39syl5eqss 3682 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4121, 24iccssred 40045 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4240, 41sstrd 3646 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ⊆ ℝ)
43 fourierdlem20.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
44 isof1o 6613 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) → 𝑆:(0...𝑁)–1-1-onto𝑇)
45 f1of 6175 . . . . . . . . . . 11 (𝑆:(0...𝑁)–1-1-onto𝑇𝑆:(0...𝑁)⟶𝑇)
4643, 44, 453syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆:(0...𝑁)⟶𝑇)
47 fourierdlem20.j . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))
48 elfzofz 12524 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ (0...𝑁))
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑁))
5046, 49ffvelrnd 6400 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ 𝑇)
5142, 50sseldd 3637 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ ℝ)
52 fourierdlem20.q0 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐴)
5340, 50sseldd 3637 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ (𝐴[,]𝐵))
54 iccgelb 12268 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑆𝐽) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝑆𝐽))
5523, 25, 53, 54syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ≤ (𝑆𝐽))
5620, 21, 51, 52, 55letrd 10232 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ (𝑆𝐽))
57 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑄𝑘) = (𝑄‘0))
5857breq1d 4695 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽) ↔ (𝑄‘0) ≤ (𝑆𝐽)))
5958elrab 3396 . . . . . . 7 (0 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ↔ (0 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘0) ≤ (𝑆𝐽)))
6017, 56, 59sylanbrc 699 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)})
61 ne0i 3954 . . . . . 6 (0 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ≠ ∅)
6260, 61syl 17 . . . . 5 (𝜑 → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ≠ ∅)
6313nnred 11073 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
642sseli 3632 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} → 𝑗 ∈ (0..^𝑀))
65 elfzo0le 12551 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗𝑀)
6664, 65syl 17 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} → 𝑗𝑀)
6766adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}) → 𝑗𝑀)
6867ralrimiva 2995 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑀)
69 breq2 4689 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑀 → (𝑗𝑥𝑗𝑀))
7069ralbidv 3015 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑀))
7170rspcev 3340 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑀) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑥)
7263, 68, 71syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑥)
73 suprzcl 11495 . . . . 5 (({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ⊆ ℤ ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑥) → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)})
747, 62, 72, 73syl3anc 1366 . . . 4 (𝜑 → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)})
752, 74sseldi 3634 . . 3 (𝜑 → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}, ℝ, < ) ∈ (0..^𝑀))
761, 75syl5eqel 2734 . 2 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
773, 76sseldi 3634 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝑀))
7818, 77ffvelrnd 6400 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ)
7978rexrd 10127 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
80 fzofzp1 12605 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
8176, 80syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
8218, 81ffvelrnd 6400 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
8382rexrd 10127 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
841, 74syl5eqel 2734 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)})
85 nfrab1 3152 . . . . . . . 8 𝑘{𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}
86 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑘
87 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑘 <
8885, 86, 87nfsup 8398 . . . . . . 7 𝑘sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}, ℝ, < )
891, 88nfcxfr 2791 . . . . . 6 𝑘𝐼
90 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑘(0..^𝑀)
91 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑘𝑄
9291, 89nffv 6236 . . . . . . 7 𝑘(𝑄𝐼)
93 nfcv 2793 . . . . . . 7 𝑘
94 nfcv 2793 . . . . . . 7 𝑘(𝑆𝐽)
9592, 93, 94nfbr 4732 . . . . . 6 𝑘(𝑄𝐼) ≤ (𝑆𝐽)
96 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐼 → (𝑄𝑘) = (𝑄𝐼))
9796breq1d 4695 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐼 → ((𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽) ↔ (𝑄𝐼) ≤ (𝑆𝐽)))
9889, 90, 95, 97elrabf 3392 . . . . 5 (𝐼 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ↔ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄𝐼) ≤ (𝑆𝐽)))
9984, 98sylib 208 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄𝐼) ≤ (𝑆𝐽)))
10099simprd 478 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐼) ≤ (𝑆𝐽))
101 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))) → ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
10283adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
103 iccssxr 12294 . . . . . . . . . 10 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*
10440, 103syl6ss 3648 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ⊆ ℝ*)
105 fzofzp1 12605 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
10647, 105syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
10746, 106ffvelrnd 6400 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ 𝑇)
108104, 107sseldd 3637 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*)
109108adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*)
110 xrltnle 10143 . . . . . . 7 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)) ↔ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))))
111102, 109, 110syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)) ↔ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))))
112101, 111mpbird 247 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
113 fzssz 12381 . . . . . 6 (0...𝑁) ⊆ ℤ
114 f1ofo 6182 . . . . . . . . . 10 (𝑆:(0...𝑁)–1-1-onto𝑇𝑆:(0...𝑁)–onto𝑇)
11543, 44, 1143syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆:(0...𝑁)–onto𝑇)
116115adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → 𝑆:(0...𝑁)–onto𝑇)
117 ffun 6086 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ → Fun 𝑄)
11818, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Fun 𝑄)
119 fdm 6089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ → dom 𝑄 = (0...𝑀))
12018, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom 𝑄 = (0...𝑀))
121120eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0...𝑀) = dom 𝑄)
12281, 121eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ dom 𝑄)
123 fvelrn 6392 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝑄 ∧ (𝐼 + 1) ∈ dom 𝑄) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
124118, 122, 123syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
125124adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
12623adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
12725adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12882adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
12941, 53sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ ℝ)
1304sseli 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ (0...𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
131 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
13277, 130, 1313syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
133132adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝐼 ∈ ℝ)
134133ltp1d 10992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝐼 < (𝐼 + 1))
135134adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝐼 < (𝐼 + 1))
136 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
137129ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑆𝐽) ∈ ℝ)
138 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1))) → ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
139136, 137, 138nltled 10225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽))
140132adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → 𝐼 ∈ ℝ)
141 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → 1 ∈ ℝ)
142140, 141readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
143 elfzoelz 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
144143zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
145144ssriv 3640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0..^𝑀) ⊆ ℝ
1462, 145sstri 3645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ⊆ ℝ
147146a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ⊆ ℝ)
14862adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ≠ ∅)
14972adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑥)
15082adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
151129adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝑆𝐽) ∈ ℝ)
15224adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → 𝐵 ∈ ℝ)
153 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽))
15442, 107sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
155154adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
156 elfzoelz 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
157 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
15847, 156, 1573syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
159158ltp1d 10992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝐽 < (𝐽 + 1))
160 isorel 6616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) ∧ (𝐽 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))) → (𝐽 < (𝐽 + 1) ↔ (𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
16143, 49, 106, 160syl12anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝐽 < (𝐽 + 1) ↔ (𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
162159, 161mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
163162adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
16440, 107sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
165 iccleub 12267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ 𝐵)
16623, 25, 164, 165syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ 𝐵)
167166adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ 𝐵)
168151, 155, 152, 163, 167ltletrd 10235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝑆𝐽) < 𝐵)
169150, 151, 152, 153, 168lelttrd 10233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐵)
170169adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐵)
17124adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ)
17282adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
173 fourierdlem20.qm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝐵 ≤ (𝑄𝑀))
174173adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ≤ (𝑄𝑀))
17514adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
17681adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
177 fzval3 12576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑀 ∈ ℤ → (0...𝑀) = (0..^(𝑀 + 1)))
17814, 177syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜑 → (0...𝑀) = (0..^(𝑀 + 1)))
179178adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (0...𝑀) = (0..^(𝑀 + 1)))
180176, 179eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^(𝑀 + 1)))
181 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀))
182180, 181jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐼 + 1) ∈ (0..^(𝑀 + 1)) ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
183 elfzonelfzo 12610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑀 ∈ ℤ → (((𝐼 + 1) ∈ (0..^(𝑀 + 1)) ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 + 1) ∈ (𝑀..^(𝑀 + 1))))
184175, 182, 183sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 + 1) ∈ (𝑀..^(𝑀 + 1)))
185 fzval3 12576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = (𝑀..^(𝑀 + 1)))
18614, 185syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → (𝑀...𝑀) = (𝑀..^(𝑀 + 1)))
187186eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝑀..^(𝑀 + 1)) = (𝑀...𝑀))
188187adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑀..^(𝑀 + 1)) = (𝑀...𝑀))
189184, 188eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑀))
190 elfz1eq 12390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑀) → (𝐼 + 1) = 𝑀)
191189, 190syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 + 1) = 𝑀)
192191eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 = (𝐼 + 1))
193192fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑀) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
194174, 193breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
195171, 172, 194lensymd 10226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐵)
196195adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐵)
197170, 196condan 852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀))
198 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑘 +
199 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑘1
20089, 198, 199nfov 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘(𝐼 + 1)
20191, 200nffv 6236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑘(𝑄‘(𝐼 + 1))
202201, 93, 94nfbr 4732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘(𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)
203 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = (𝐼 + 1) → (𝑄𝑘) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
204203breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = (𝐼 + 1) → ((𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽) ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)))
205200, 90, 202, 204elrabf 3392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)))
206197, 153, 205sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)})
207 suprub 11022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ⊆ ℝ ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑥) ∧ (𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}) → (𝐼 + 1) ≤ sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}, ℝ, < ))
208147, 148, 149, 206, 207syl31anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝐼 + 1) ≤ sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}, ℝ, < ))
209208, 1syl6breqr 4727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐼)
210142, 140, 209lensymd 10226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → ¬ 𝐼 < (𝐼 + 1))
211210adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → ¬ 𝐼 < (𝐼 + 1))
212139, 211syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝐼 < (𝐼 + 1))
213135, 212condan 852 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) → (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
21482, 213mpdan 703 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
21521, 129, 82, 55, 214lelttrd 10233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
216215adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → 𝐴 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
217154adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
21824adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
219 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
220166adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ 𝐵)
221128, 217, 218, 219, 220ltletrd 10235 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐵)
222126, 127, 128, 216, 221eliood 40038 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴(,)𝐵))
223125, 222elind 3831 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)))
224 elun2 3814 . . . . . . . . . 10 ((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵))))
225223, 224syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵))))
226225, 22syl6eleqr 2741 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ 𝑇)
227 foelrn 6418 . . . . . . . 8 ((𝑆:(0...𝑁)–onto𝑇 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ 𝑇) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗))
228116, 226, 227syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗))
229214adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
230 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗))
231229, 230breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑆𝐽) < (𝑆𝑗))
232231adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑆𝐽) < (𝑆𝑗))
23343ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
23449anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐽 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)))
235234adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝐽 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)))
236 isorel 6616 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) ∧ (𝐽 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁))) → (𝐽 < 𝑗 ↔ (𝑆𝐽) < (𝑆𝑗)))
237233, 235, 236syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝐽 < 𝑗 ↔ (𝑆𝐽) < (𝑆𝑗)))
238232, 237mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → 𝐽 < 𝑗)
239238adantllr 755 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → 𝐽 < 𝑗)
240 eqcom 2658 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗) ↔ (𝑆𝑗) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
241240biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗) → (𝑆𝑗) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
242241adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑆𝑗) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
243 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
244242, 243eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
245244adantll 750 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
246245adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
24743ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
248 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑗 ∈ (0...𝑁))
249106ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
250 isorel 6616 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))) → (𝑗 < (𝐽 + 1) ↔ (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
251247, 248, 249, 250syl12anc 1364 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑗 < (𝐽 + 1) ↔ (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
252251adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑗 < (𝐽 + 1) ↔ (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
253246, 252mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → 𝑗 < (𝐽 + 1))
254239, 253jca 553 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
255254ex 449 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗) → (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))))
256255reximdva 3046 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))))
257228, 256mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
258 ssrexv 3700 . . . . . 6 ((0...𝑁) ⊆ ℤ → (∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))))
259113, 257, 258mpsyl 68 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
260112, 259syldan 486 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
261 simplr 807 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))) → 𝑗 ∈ ℤ)
26247, 156syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
263262ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))) → 𝐽 ∈ ℤ)
264 simprl 809 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))) → 𝐽 < 𝑗)
265 simprr 811 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))) → 𝑗 < (𝐽 + 1))
266 btwnnz 11491 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)) → ¬ 𝑗 ∈ ℤ)
267263, 264, 265, 266syl3anc 1366 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))) → ¬ 𝑗 ∈ ℤ)
268261, 267pm2.65da 599 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → ¬ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
269268nrexdv 3030 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
270269adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))) → ¬ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
271260, 270condan 852 . . 3 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
272 ioossioo 12303 . . 3 ((((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑄𝐼) ≤ (𝑆𝐽) ∧ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))) → ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
27379, 83, 100, 271, 272syl22anc 1367 . 2 (𝜑 → ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
274 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑖 = 𝐼 → (𝑄𝑖) = (𝑄𝐼))
275 oveq1 6697 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 + 1) = (𝐼 + 1))
276275fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑖 = 𝐼 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
277274, 276oveq12d 6708 . . . 4 (𝑖 = 𝐼 → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
278277sseq2d 3666 . . 3 (𝑖 = 𝐼 → (((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
279278rspcev 3340 . 2 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
28076, 273, 279syl2anc 694 1 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  {cpr 4212   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  ran crn 5144  Fun wfun 5920  wf 5922  ontowfo 5924  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926   Isom wiso 5927  (class class class)co 6690  supcsup 8387  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cn 11058  cz 11415  cuz 11725  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-ioo 12217  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505
This theorem is referenced by:  fourierdlem50  40691
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