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Theorem fourierdlem19 40815
Description: If two elements of 𝐷 have the same periodic image in (𝐴(,]𝐵) then they are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem19.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem19.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem19.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem19.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem19.d 𝐷 = {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}
fourierdlem19.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem19.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem19.w (𝜑𝑊𝐷)
fourierdlem19.z (𝜑𝑍𝐷)
fourierdlem19.ezew (𝜑 → (𝐸𝑍) = (𝐸𝑊))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem19 (𝜑 → ¬ 𝑊 < 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑦,𝐵   𝑥,𝑇   𝑥,𝑊   𝑦,𝑋   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑇(𝑦,𝑘)   𝐸(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑊(𝑦,𝑘)   𝑋(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑦,𝑘)

Proof of Theorem fourierdlem19
StepHypRef Expression
1 fourierdlem19.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem19.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
31, 2readdcld 10232 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ)
43rexrd 10252 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ*)
5 fourierdlem19.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
65, 2readdcld 10232 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ)
76rexrd 10252 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ*)
8 fourierdlem19.d . . . . . 6 𝐷 = {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}
9 ssrab2 3816 . . . . . 6 {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} ⊆ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋))
108, 9eqsstri 3764 . . . . 5 𝐷 ⊆ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋))
11 fourierdlem19.z . . . . 5 (𝜑𝑍𝐷)
1210, 11sseldi 3730 . . . 4 (𝜑𝑍 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)))
13 iocleub 40197 . . . 4 (((𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ*𝑍 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋))) → 𝑍 ≤ (𝐵 + 𝑋))
144, 7, 12, 13syl3anc 1463 . . 3 (𝜑𝑍 ≤ (𝐵 + 𝑋))
1514adantr 472 . 2 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → 𝑍 ≤ (𝐵 + 𝑋))
166adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ)
17 iocssre 12417 . . . . . . . 8 (((𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ⊆ ℝ)
184, 6, 17syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ⊆ ℝ)
19 fourierdlem19.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊𝐷)
2010, 19sseldi 3730 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)))
2118, 20sseldd 3733 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
22 fourierdlem19.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝐵𝐴)
235, 1resubcld 10621 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
2422, 23syl5eqel 2831 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
2521, 24readdcld 10232 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 + 𝑇) ∈ ℝ)
2625adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (𝑊 + 𝑇) ∈ ℝ)
2718, 12sseldd 3733 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
2827adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → 𝑍 ∈ ℝ)
2922eqcomi 2757 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐴) = 𝑇
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) = 𝑇)
315recnd 10231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
321recnd 10231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3324recnd 10231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
3431, 32, 33subaddd 10573 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵𝐴) = 𝑇 ↔ (𝐴 + 𝑇) = 𝐵))
3530, 34mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) = 𝐵)
3635eqcomd 2754 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
3736oveq1d 6816 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) = ((𝐴 + 𝑇) + 𝑋))
382recnd 10231 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
3932, 33, 38add32d 10426 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇) + 𝑋) = ((𝐴 + 𝑋) + 𝑇))
4037, 39eqtrd 2782 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) = ((𝐴 + 𝑋) + 𝑇))
41 iocgtlb 40196 . . . . . . . 8 (((𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ*𝑊 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋))) → (𝐴 + 𝑋) < 𝑊)
424, 7, 20, 41syl3anc 1463 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) < 𝑊)
433, 21, 24, 42ltadd1dd 10801 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑋) + 𝑇) < (𝑊 + 𝑇))
4440, 43eqbrtrd 4814 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) < (𝑊 + 𝑇))
4544adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (𝐵 + 𝑋) < (𝑊 + 𝑇))
46 fourierdlem19.e . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))))
48 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑊𝑥 = 𝑊)
49 oveq2 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑊 → (𝐵𝑥) = (𝐵𝑊))
5049oveq1d 6816 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑊 → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = ((𝐵𝑊) / 𝑇))
5150fveq2d 6344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑊 → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)))
5251oveq1d 6816 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑊 → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇))
5348, 52oveq12d 6819 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑊 → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑊 + ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)))
5453adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 = 𝑊) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑊 + ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)))
555, 21resubcld 10621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵𝑊) ∈ ℝ)
56 fourierdlem19.altb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐴 < 𝐵)
571, 5posdifd 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
5856, 57mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
5958, 22syl6breqr 4834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 < 𝑇)
6059gt0ne0d 10755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑇 ≠ 0)
6155, 24, 60redivcld 11016 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐵𝑊) / 𝑇) ∈ ℝ)
6261flcld 12764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) ∈ ℤ)
6362zred 11645 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) ∈ ℝ)
6463, 24remulcld 10233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
6521, 64readdcld 10232 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑊 + ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
6647, 54, 21, 65fvmptd 6438 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸𝑊) = (𝑊 + ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)))
6766, 65eqeltrd 2827 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸𝑊) ∈ ℝ)
6867recnd 10231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸𝑊) ∈ ℂ)
6968adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (𝐸𝑊) ∈ ℂ)
7064recnd 10231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
7170adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
7233adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → 𝑇 ∈ ℂ)
7369, 71, 72subsubd 10583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → ((𝐸𝑊) − (((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇)) = (((𝐸𝑊) − ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) + 𝑇))
7473eqcomd 2754 . . . . . 6 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (((𝐸𝑊) − ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) + 𝑇) = ((𝐸𝑊) − (((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇)))
755, 27resubcld 10621 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵𝑍) ∈ ℝ)
7675, 24, 60redivcld 11016 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵𝑍) / 𝑇) ∈ ℝ)
7776flcld 12764 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) ∈ ℤ)
7877zred 11645 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) ∈ ℝ)
7978adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) ∈ ℝ)
8024adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → 𝑇 ∈ ℝ)
8179, 80remulcld 10233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
8263adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) ∈ ℝ)
8382, 80remulcld 10233 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
8483, 80resubcld 10621 . . . . . . 7 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇) ∈ ℝ)
8567adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (𝐸𝑊) ∈ ℝ)
8678, 24remulcld 10233 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
8786recnd 10231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
8887, 33pncand 10556 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇) − 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇))
8988eqcomd 2754 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) = ((((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇) − 𝑇))
9089adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) = ((((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇) − 𝑇))
9181, 80readdcld 10232 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇) ∈ ℝ)
9278recnd 10231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) ∈ ℂ)
9392, 33adddirp1d 10229 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) + 1) · 𝑇) = (((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇))
9493eqcomd 2754 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇) = (((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) + 1) · 𝑇))
9594adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇) = (((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) + 1) · 𝑇))
96 1red 10218 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → 1 ∈ ℝ)
9779, 96readdcld 10232 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) + 1) ∈ ℝ)
98 0red 10204 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
9998, 24, 59ltled 10348 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ 𝑇)
10099adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → 0 ≤ 𝑇)
10185, 28resubcld 10621 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → ((𝐸𝑊) − 𝑍) ∈ ℝ)
10221adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → 𝑊 ∈ ℝ)
10385, 102resubcld 10621 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → ((𝐸𝑊) − 𝑊) ∈ ℝ)
10424, 59elrpd 12033 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
105104adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → 𝑇 ∈ ℝ+)
106 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → 𝑊 < 𝑍)
107102, 28, 85, 106ltsub2dd 10803 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → ((𝐸𝑊) − 𝑍) < ((𝐸𝑊) − 𝑊))
108101, 103, 105, 107ltdiv1dd 12093 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (((𝐸𝑊) − 𝑍) / 𝑇) < (((𝐸𝑊) − 𝑊) / 𝑇))
109 fourierdlem19.ezew . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐸𝑍) = (𝐸𝑊))
110 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑍𝑥 = 𝑍)
111 oveq2 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 𝑍 → (𝐵𝑥) = (𝐵𝑍))
112111oveq1d 6816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑍 → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = ((𝐵𝑍) / 𝑇))
113112fveq2d 6344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑍 → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)))
114113oveq1d 6816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑍 → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇))
115110, 114oveq12d 6819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑍 → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑍 + ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
116115adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 = 𝑍) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑍 + ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
11727, 86readdcld 10232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑍 + ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
11847, 116, 27, 117fvmptd 6438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐸𝑍) = (𝑍 + ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
119109, 118eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐸𝑊) = (𝑍 + ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
120119oveq1d 6816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐸𝑊) − 𝑍) = ((𝑍 + ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑍))
12127recnd 10231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑍 ∈ ℂ)
122121, 87pncan2d 10557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑍 + ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑍) = ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇))
123120, 122eqtrd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐸𝑊) − 𝑍) = ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇))
124123oveq1d 6816 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐸𝑊) − 𝑍) / 𝑇) = (((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇))
12592, 33, 60divcan4d 10970 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)))
126124, 125eqtr2d 2783 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) = (((𝐸𝑊) − 𝑍) / 𝑇))
127126adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) = (((𝐸𝑊) − 𝑍) / 𝑇))
12866oveq1d 6816 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐸𝑊) − 𝑊) = ((𝑊 + ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑊))
129128oveq1d 6816 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐸𝑊) − 𝑊) / 𝑇) = (((𝑊 + ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑊) / 𝑇))
13021recnd 10231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑊 ∈ ℂ)
131130, 70pncan2d 10557 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑊 + ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑊) = ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇))
132131oveq1d 6816 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑊 + ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑊) / 𝑇) = (((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇))
13363recnd 10231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) ∈ ℂ)
134133, 33, 60divcan4d 10970 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)))
135129, 132, 1343eqtrrd 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) = (((𝐸𝑊) − 𝑊) / 𝑇))
136135adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) = (((𝐸𝑊) − 𝑊) / 𝑇))
137108, 127, 1363brtr4d 4824 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) < (⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)))
13877adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) ∈ ℤ)
13962adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) ∈ ℤ)
140 zltp1le 11590 . . . . . . . . . . . . 13 (((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) ∈ ℤ ∧ (⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) < (⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) ↔ ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) + 1) ≤ (⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇))))
141138, 139, 140syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) < (⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) ↔ ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) + 1) ≤ (⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇))))
142137, 141mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) + 1) ≤ (⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)))
14397, 82, 80, 100, 142lemul1ad 11126 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) + 1) · 𝑇) ≤ ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇))
14495, 143eqbrtrd 4814 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇) ≤ ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇))
14591, 83, 80, 144lesub1dd 10806 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → ((((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇) − 𝑇) ≤ (((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇))
14690, 145eqbrtrd 4814 . . . . . . 7 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ (((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇))
14781, 84, 85, 146lesub2dd 10807 . . . . . 6 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → ((𝐸𝑊) − (((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇)) ≤ ((𝐸𝑊) − ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
14874, 147eqbrtrd 4814 . . . . 5 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (((𝐸𝑊) − ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) + 𝑇) ≤ ((𝐸𝑊) − ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
14966eqcomd 2754 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑊 + ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝐸𝑊))
15068, 70, 130subadd2d 10574 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸𝑊) − ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) = 𝑊 ↔ (𝑊 + ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝐸𝑊)))
151149, 150mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸𝑊) − ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) = 𝑊)
152151eqcomd 2754 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 = ((𝐸𝑊) − ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)))
153152oveq1d 6816 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 + 𝑇) = (((𝐸𝑊) − ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) + 𝑇))
154153adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (𝑊 + 𝑇) = (((𝐸𝑊) − ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) + 𝑇))
155118eqcomd 2754 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑍 + ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝐸𝑍))
1561rexrd 10252 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
157 iocssre 12417 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
158156, 5, 157syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
1591, 5, 56, 22, 46fourierdlem4 40800 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
160159, 27ffvelrnd 6511 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸𝑍) ∈ (𝐴(,]𝐵))
161158, 160sseldd 3733 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸𝑍) ∈ ℝ)
162161recnd 10231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸𝑍) ∈ ℂ)
163162, 87, 121subadd2d 10574 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸𝑍) − ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)) = 𝑍 ↔ (𝑍 + ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝐸𝑍)))
164155, 163mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸𝑍) − ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)) = 𝑍)
165109oveq1d 6816 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸𝑍) − ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝐸𝑊) − ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
166164, 165eqtr3d 2784 . . . . . 6 (𝜑𝑍 = ((𝐸𝑊) − ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
167166adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → 𝑍 = ((𝐸𝑊) − ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
168148, 154, 1673brtr4d 4824 . . . 4 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (𝑊 + 𝑇) ≤ 𝑍)
16916, 26, 28, 45, 168ltletrd 10360 . . 3 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (𝐵 + 𝑋) < 𝑍)
17016, 28ltnled 10347 . . 3 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → ((𝐵 + 𝑋) < 𝑍 ↔ ¬ 𝑍 ≤ (𝐵 + 𝑋)))
171169, 170mpbid 222 . 2 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → ¬ 𝑍 ≤ (𝐵 + 𝑋))
17215, 171pm2.65da 601 1 (𝜑 → ¬ 𝑊 < 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wrex 3039  {crab 3042  wss 3703   class class class wbr 4792  cmpt 4869  cfv 6037  (class class class)co 6801  cc 10097  cr 10098  0cc0 10099  1c1 10100   + caddc 10102   · cmul 10104  *cxr 10236   < clt 10237  cle 10238  cmin 10429   / cdiv 10847  cz 11540  +crp 11996  (,]cioc 12340  cfl 12756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8501  df-inf 8502  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-ioc 12344  df-fl 12758
This theorem is referenced by:  fourierdlem51  40846
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