Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem115 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem115 40756
Description: Fourier serier convergence, for piecewise smooth functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem115.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem115.t 𝑇 = (2 · π)
fourierdlem115.per ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem115.g 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
fourierdlem115.dmdv (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
fourierdlem115.dvcn (𝜑𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
fourierdlem115.rlim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem115.llim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem115.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem115.l (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
fourierdlem115.r (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
fourierdlem115.a 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem115.b 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem115.s 𝑆 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem115 (𝜑 → (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹,𝑛,𝑥   𝑘,𝐺,𝑥   𝑘,𝐿   𝑅,𝑘   𝑇,𝑘,𝑥   𝑘,𝑋,𝑛,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑥,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑘,𝑛)   𝑇(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐿(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem fourierdlem115
Dummy variables 𝑧 𝑓 𝑔 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem115.f . . . 4 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
2 fourierdlem115.t . . . 4 𝑇 = (2 · π)
3 fourierdlem115.per . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
4 fourierdlem115.g . . . 4 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
5 fourierdlem115.dmdv . . . 4 (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
6 fourierdlem115.dvcn . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
7 fourierdlem115.rlim . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
8 fourierdlem115.llim . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
9 fourierdlem115.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
10 fourierdlem115.l . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
11 fourierdlem115.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
12 fourierdlem115.a . . . . 5 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
13 oveq1 6697 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑘 · 𝑥))
1413fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) = (cos‘(𝑘 · 𝑥)))
1514oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))))
1615adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 𝑘𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))))
1716itgeq2dv 23593 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥)
1817oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 / π))
1918cbvmptv 4783 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 / π))
2012, 19eqtri 2673 . . . 4 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 / π))
21 fourierdlem115.b . . . . 5 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
2213fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) = (sin‘(𝑘 · 𝑥)))
2322oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))))
2423adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 𝑘𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))))
2524itgeq2dv 23593 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥)
2625oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 / π))
2726cbvmptv 4783 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 / π))
2821, 27eqtri 2673 . . . 4 𝐵 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑘 · 𝑥))) d𝑥 / π))
29 fourierdlem115.s . . . 4 𝑆 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
30 eqid 2651 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑘)) ∣ (((𝑤‘0) = -π ∧ (𝑤𝑘) = π) ∧ ∀𝑧 ∈ (0..^𝑘)(𝑤𝑧) < (𝑤‘(𝑧 + 1)))}) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑘)) ∣ (((𝑤‘0) = -π ∧ (𝑤𝑘) = π) ∧ ∀𝑧 ∈ (0..^𝑘)(𝑤𝑧) < (𝑤‘(𝑧 + 1)))})
31 id 22 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥𝑦 = 𝑥)
32 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (π − 𝑦) = (π − 𝑥))
3332oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((π − 𝑦) / 𝑇) = ((π − 𝑥) / 𝑇))
3433fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) = (⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)))
3534oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
3631, 35oveq12d 6708 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
3736cbvmptv 4783 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
38 eqid 2651 . . . 4 ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)) = ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))
39 eqid 2651 . . . 4 ((#‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1) = ((#‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)
40 isoeq1 6607 . . . . 5 (𝑔 = 𝑓 → (𝑔 Isom < , < ((0...((#‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)), ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((#‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)), ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)))))
4140cbviotav 5895 . . . 4 (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((#‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)), ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((#‘({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))) − 1)), ({-π, π, ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))))
421, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 20, 28, 29, 30, 37, 38, 39, 41fourierdlem114 40755 . . 3 (𝜑 → (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))
4342simpld 474 . 2 (𝜑 → seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)))
44 nfcv 2793 . . . . 5 𝑘(((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
45 nfmpt1 4780 . . . . . . . . 9 𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
4612, 45nfcxfr 2791 . . . . . . . 8 𝑛𝐴
47 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑛𝑘
4846, 47nffv 6236 . . . . . . 7 𝑛(𝐴𝑘)
49 nfcv 2793 . . . . . . 7 𝑛 ·
50 nfcv 2793 . . . . . . 7 𝑛(cos‘(𝑘 · 𝑋))
5148, 49, 50nfov 6716 . . . . . 6 𝑛((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋)))
52 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑛 +
53 nfmpt1 4780 . . . . . . . . 9 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
5421, 53nfcxfr 2791 . . . . . . . 8 𝑛𝐵
5554, 47nffv 6236 . . . . . . 7 𝑛(𝐵𝑘)
56 nfcv 2793 . . . . . . 7 𝑛(sin‘(𝑘 · 𝑋))
5755, 49, 56nfov 6716 . . . . . 6 𝑛((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))
5851, 52, 57nfov 6716 . . . . 5 𝑛(((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
59 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
60 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋))
6160fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (cos‘(𝑛 · 𝑋)) = (cos‘(𝑘 · 𝑋)))
6259, 61oveq12d 6708 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))))
63 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝐵𝑛) = (𝐵𝑘))
6460fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) = (sin‘(𝑘 · 𝑋)))
6563, 64oveq12d 6708 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
6662, 65oveq12d 6708 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
6744, 58, 66cbvsumi 14471 . . . 4 Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
6867oveq2i 6701 . . 3 (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
6942simprd 478 . . 3 (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐴𝑘) · (cos‘(𝑘 · 𝑋))) + ((𝐵𝑘) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2))
7068, 69syl5eq 2697 . 2 (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2))
7143, 70jca 553 1 (𝜑 → (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  {crab 2945  cdif 3604  cun 3605  c0 3948  {ctp 4214   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  cres 5145  cio 5887  wf 5922  cfv 5926   Isom wiso 5927  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110   < clt 10112  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  (,)cioo 12213  (,]cioc 12214  [,)cico 12215  [,]cicc 12216  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  cfl 12631  seqcseq 12841  #chash 13157  cli 14259  Σcsu 14460  sincsin 14838  cosccos 14839  πcpi 14841  cnccncf 22726  citg 23432   lim climc 23671   D cdv 23672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-t1 21166  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-ibl 23436  df-itg 23437  df-0p 23482  df-ditg 23656  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by:  fourierd  40757  fourierclimd  40758
  Copyright terms: Public domain W3C validator