Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem111 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem111 40752
Description: The fourier partial sum for 𝐹 is the sum of two integrals, with the same integrand involving 𝐹 and the Dirichlet Kernel 𝐷, but on two opposite intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem111.a 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑡) · (cos‘(𝑛 · 𝑡))) d𝑡 / π))
fourierdlem111.b 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑡) · (sin‘(𝑛 · 𝑡))) d𝑡 / π))
fourierdlem111.s 𝑆 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
fourierdlem111.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
fourierdlem111.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem111.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem111.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem111.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem111.6 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem111.fper ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem111.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷𝑛)‘𝑥)))
fourierdlem111.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem111.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem111.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem111.t 𝑇 = (2 · π)
fourierdlem111.o 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π − 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem111.14 𝑊 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑖) − 𝑋))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem111 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆𝑛) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝐵,𝑚   𝐷,𝑖,𝑚,𝑦   𝐷,𝑠,𝑡,𝑖,𝑦   𝑥,𝐷,𝑖,𝑠,𝑦   𝑖,𝐹,𝑛,𝑠,𝑡,𝑦   𝑥,𝐹,𝑛   𝑖,𝐺,𝑠,𝑥   𝐿,𝑠,𝑡   𝑥,𝐿   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑀,𝑠,𝑡,𝑦   𝑥,𝑀   𝑄,𝑖,𝑝   𝑄,𝑠,𝑡,𝑦   𝑥,𝑄   𝑅,𝑠,𝑡   𝑥,𝑅   𝑇,𝑠,𝑥   𝑖,𝑊,𝑚,𝑝   𝑊,𝑠,𝑥,𝑦   𝑖,𝑋,𝑚,𝑛,𝑦   𝑋,𝑝   𝑋,𝑠,𝑡   𝑥,𝑋   𝜑,𝑖,𝑚,𝑛,𝑦   𝜑,𝑠,𝑡   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑡,𝑖,𝑠,𝑝)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑡,𝑖,𝑛,𝑠,𝑝)   𝐷(𝑛,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑡,𝑖,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝)   𝑄(𝑚,𝑛)   𝑅(𝑦,𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑡,𝑖,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝)   𝑇(𝑦,𝑡,𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝐺(𝑦,𝑡,𝑚,𝑛,𝑝)   𝐿(𝑦,𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑀(𝑛)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑡,𝑖,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝)   𝑊(𝑡,𝑛)

Proof of Theorem fourierdlem111
Dummy variables 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2718 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ ℕ))
21anbi2d 740 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ↔ (𝜑𝑛 ∈ ℕ)))
3 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (𝑆𝑘) = (𝑆𝑛))
4 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝐷𝑘) = (𝐷𝑛))
54fveq1d 6231 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐷𝑘)‘(𝑡𝑋)) = ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋)))
65oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑘)‘(𝑡𝑋))) = ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))))
76adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑘 = 𝑛𝑡 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑘)‘(𝑡𝑋))) = ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))))
87itgeq2dv 23593 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → ∫(-π(,)π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑘)‘(𝑡𝑋))) d𝑡 = ∫(-π(,)π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))) d𝑡)
93, 8eqeq12d 2666 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑆𝑘) = ∫(-π(,)π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑘)‘(𝑡𝑋))) d𝑡 ↔ (𝑆𝑛) = ∫(-π(,)π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))) d𝑡))
102, 9imbi12d 333 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆𝑘) = ∫(-π(,)π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑘)‘(𝑡𝑋))) d𝑡) ↔ ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆𝑛) = ∫(-π(,)π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))) d𝑡)))
11 fourierdlem111.6 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
1211adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
13 eqid 2651 . . . . 5 (-π(,)π) = (-π(,)π)
14 ioossre 12273 . . . . . . . . 9 (-π(,)π) ⊆ ℝ
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-π(,)π) ⊆ ℝ)
1611, 15feqresmpt 6289 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π(,)π)) = (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝐹𝑥)))
17 ioossicc 12297 . . . . . . . . 9 (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π)
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π))
19 ioombl 23379 . . . . . . . . 9 (-π(,)π) ∈ dom vol
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-π(,)π) ∈ dom vol)
2111adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
22 pire 24255 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ
2322renegcli 10380 . . . . . . . . . . . . . 14 -π ∈ ℝ
2423, 22elicc2i 12277 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (-π[,]π) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝑡𝑡 ≤ π))
2524simp1bi 1096 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ (-π[,]π) → 𝑡 ∈ ℝ)
2625ssriv 3640 . . . . . . . . . . 11 (-π[,]π) ⊆ ℝ
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
2827sselda 3636 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2921, 28ffvelrnd 6400 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3011, 27feqresmpt 6289 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π[,]π)) = (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐹𝑥)))
31 fourierdlem111.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
32 fourierdlem111.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
33 fourierdlem111.q . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
34 ax-resscn 10031 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3611, 35fssd 6095 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
3736, 27fssresd 6109 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π[,]π)):(-π[,]π)⟶ℂ)
38 ioossicc 12297 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
3923rexri 10135 . . . . . . . . . . . . . . 15 -π ∈ ℝ*
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -π ∈ ℝ*)
4122rexri 10135 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ*
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → π ∈ ℝ*)
4331, 32, 33fourierdlem15 40657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
4443adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
45 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
4640, 42, 44, 45fourierdlem8 40650 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
4738, 46syl5ss 3647 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
4847resabs1d 5463 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
49 fourierdlem111.fcn . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
5048, 49eqeltrd 2730 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
51 fourierdlem111.r . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
5248oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
5351, 52eleqtrrd 2733 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ (((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
54 fourierdlem111.l . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
5548oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
5654, 55eleqtrrd 2733 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ (((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
5731, 32, 33, 37, 50, 53, 56fourierdlem69 40710 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π[,]π)) ∈ 𝐿1)
5830, 57eqeltrrd 2731 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
5918, 20, 29, 58iblss 23616 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
6016, 59eqeltrd 2730 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π(,)π)) ∈ 𝐿1)
6160adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹 ↾ (-π(,)π)) ∈ 𝐿1)
62 fourierdlem111.a . . . . 5 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑡) · (cos‘(𝑛 · 𝑡))) d𝑡 / π))
63 fourierdlem111.b . . . . 5 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑡) · (sin‘(𝑛 · 𝑡))) d𝑡 / π))
64 fourierdlem111.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
6564adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℝ)
66 fourierdlem111.s . . . . 5 𝑆 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
67 fourierdlem111.d . . . . 5 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
68 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
6912, 13, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 68fourierdlem83 40724 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆𝑘) = ∫(-π(,)π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑘)‘(𝑡𝑋))) d𝑡)
7010, 69chvarv 2299 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆𝑛) = ∫(-π(,)π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))) d𝑡)
7123a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → -π ∈ ℝ)
7222a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
7336adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
7425adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → 𝑡 ∈ ℝ)
7573, 74ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
7675adantlr 751 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
7767dirkerf 40632 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
7877ad2antlr 763 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ (-π[,]π)) → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
7964adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
8074, 79resubcld 10496 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
8180adantlr 751 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ (-π[,]π)) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
8278, 81ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℝ)
8382recnd 10106 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℂ)
8476, 83mulcld 10098 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))) ∈ ℂ)
8571, 72, 84itgioo 23627 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))) d𝑡 = ∫(-π[,]π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))) d𝑡)
86 fvres 6245 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ (-π[,]π) → ((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘𝑡) = (𝐹𝑡))
8786eqcomd 2657 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (-π[,]π) → (𝐹𝑡) = ((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘𝑡))
8887oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (-π[,]π) → ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))) = (((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))))
8988adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))) = (((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))))
9089itgeq2dv 23593 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π[,]π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))) d𝑡 = ∫(-π[,]π)(((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))) d𝑡)
91 simpl 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 = 𝑚𝑦 ∈ ℝ) → 𝑛 = 𝑚)
9291oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 = 𝑚𝑦 ∈ ℝ) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑚))
9392oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 = 𝑚𝑦 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑚) + 1))
9493oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 𝑚𝑦 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)) = (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)))
9591oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 = 𝑚𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 + (1 / 2)) = (𝑚 + (1 / 2)))
9695oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 = 𝑚𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦) = ((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦))
9796fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 = 𝑚𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)))
9897oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 𝑚𝑦 ∈ ℝ) → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
9994, 98ifeq12d 4139 . . . . . . . . 9 ((𝑛 = 𝑚𝑦 ∈ ℝ) → if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))
10099mpteq2dva 4777 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
101100cbvmptv 4783 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
10267, 101eqtri 2673 . . . . . 6 𝐷 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
103 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑡 → ((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘𝑠) = ((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘𝑡))
104 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑡 → (𝑠𝑋) = (𝑡𝑋))
105104fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑡 → ((𝐷𝑛)‘(𝑠𝑋)) = ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋)))
106103, 105oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑡 → (((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘𝑠) · ((𝐷𝑛)‘(𝑠𝑋))) = (((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))))
107106cbvmptv 4783 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘𝑠) · ((𝐷𝑛)‘(𝑠𝑋)))) = (𝑡 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))))
10833adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
10932adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
110 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
11164adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℝ)
11237adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹 ↾ (-π[,]π)):(-π[,]π)⟶ℂ)
11350adantlr 751 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
11453adantlr 751 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ (((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
11556adantlr 751 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ (((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
116102, 31, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115fourierdlem101 40742 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π[,]π)(((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))) d𝑡 = ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))(((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷𝑛)‘𝑦)) d𝑦)
117 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑦 → (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝑦))
118117fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)))
119 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑦 → ((𝐷𝑛)‘𝑠) = ((𝐷𝑛)‘𝑦))
120118, 119oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑦 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷𝑛)‘𝑦)))
121120cbvitgv 23588 . . . . . . 7 ∫((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 = ∫((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷𝑛)‘𝑦)) d𝑦
122121a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 = ∫((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷𝑛)‘𝑦)) d𝑦)
12323a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
124123, 64resubcld 10496 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-π − 𝑋) ∈ ℝ)
125124adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (-π − 𝑋) ∈ ℝ)
12622a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → π ∈ ℝ)
127126, 64resubcld 10496 . . . . . . . 8 (𝜑 → (π − 𝑋) ∈ ℝ)
128127adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (π − 𝑋) ∈ ℝ)
12936adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
13064adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ)
131 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋)))
132124adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (-π − 𝑋) ∈ ℝ)
133127adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (π − 𝑋) ∈ ℝ)
134 elicc2 12276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-π − 𝑋) ∈ ℝ ∧ (π − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-π − 𝑋) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (π − 𝑋))))
135132, 133, 134syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-π − 𝑋) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (π − 𝑋))))
136131, 135mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-π − 𝑋) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (π − 𝑋)))
137136simp1d 1093 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑦 ∈ ℝ)
138130, 137readdcld 10107 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + 𝑦) ∈ ℝ)
139129, 138ffvelrnd 6400 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℂ)
140139adantlr 751 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℂ)
14177ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
142137adantlr 751 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑦 ∈ ℝ)
143141, 142ffvelrnd 6400 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → ((𝐷𝑛)‘𝑦) ∈ ℝ)
144143recnd 10106 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → ((𝐷𝑛)‘𝑦) ∈ ℂ)
145140, 144mulcld 10098 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷𝑛)‘𝑦)) ∈ ℂ)
146125, 128, 145itgioo 23627 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷𝑛)‘𝑦)) d𝑦 = ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷𝑛)‘𝑦)) d𝑦)
14723a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → -π ∈ ℝ)
14822a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → π ∈ ℝ)
14964recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
150126recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → π ∈ ℂ)
151150negcld 10417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -π ∈ ℂ)
152149, 151pncan3d 10433 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋 + (-π − 𝑋)) = -π)
153152eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -π = (𝑋 + (-π − 𝑋)))
154153adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → -π = (𝑋 + (-π − 𝑋)))
155136simp2d 1094 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (-π − 𝑋) ≤ 𝑦)
156132, 137, 130, 155leadd2dd 10680 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + (-π − 𝑋)) ≤ (𝑋 + 𝑦))
157154, 156eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → -π ≤ (𝑋 + 𝑦))
158136simp3d 1095 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑦 ≤ (π − 𝑋))
159137, 133, 130, 158leadd2dd 10680 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + 𝑦) ≤ (𝑋 + (π − 𝑋)))
160149adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑋 ∈ ℂ)
161150adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → π ∈ ℂ)
162160, 161pncan3d 10433 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + (π − 𝑋)) = π)
163159, 162breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + 𝑦) ≤ π)
164147, 148, 138, 157, 163eliccd 40044 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + 𝑦) ∈ (-π[,]π))
165 fvres 6245 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 + 𝑦) ∈ (-π[,]π) → ((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘(𝑋 + 𝑦)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)))
166164, 165syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → ((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘(𝑋 + 𝑦)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)))
167166eqcomd 2657 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) = ((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘(𝑋 + 𝑦)))
168167adantlr 751 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) = ((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘(𝑋 + 𝑦)))
169168oveq1d 6705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷𝑛)‘𝑦)) = (((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷𝑛)‘𝑦)))
170169itgeq2dv 23593 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷𝑛)‘𝑦)) d𝑦 = ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))(((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷𝑛)‘𝑦)) d𝑦)
171122, 146, 1703eqtrrd 2690 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))(((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷𝑛)‘𝑦)) d𝑦 = ∫((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
172116, 171eqtrd 2685 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π[,]π)(((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))) d𝑡 = ∫((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
17385, 90, 1723eqtrd 2689 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))) d𝑡 = ∫((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
174 elioore 12243 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋)) → 𝑠 ∈ ℝ)
175174adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))) → 𝑠 ∈ ℝ)
17636adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
17764adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ)
178174adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))) → 𝑠 ∈ ℝ)
179177, 178readdcld 10107 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
180176, 179ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
181180adantlr 751 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
18277ad2antlr 763 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))) → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
183182, 175ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
184183recnd 10106 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℂ)
185181, 184mulcld 10098 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ℂ)
186 fourierdlem111.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷𝑛)‘𝑥)))
187 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑠 → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + 𝑠))
188187fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑠 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
189 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑠 → ((𝐷𝑛)‘𝑥) = ((𝐷𝑛)‘𝑠))
190188, 189oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑠 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷𝑛)‘𝑥)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
191190cbvmptv 4783 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷𝑛)‘𝑥))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
192186, 191eqtri 2673 . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
193192fvmpt2 6330 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ℂ) → (𝐺𝑠) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
194175, 185, 193syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))) → (𝐺𝑠) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
195194eqcomd 2657 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) = (𝐺𝑠))
196195itgeq2dv 23593 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 = ∫((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))(𝐺𝑠) d𝑠)
19736adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
19864adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
199 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
200198, 199readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑋 + 𝑥) ∈ ℝ)
201197, 200ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) ∈ ℂ)
202201adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) ∈ ℂ)
20377adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
204203ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
205204recnd 10106 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
206202, 205mulcld 10098 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷𝑛)‘𝑥)) ∈ ℂ)
207206, 186fmptd 6425 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺:ℝ⟶ℂ)
208207adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝐺:ℝ⟶ℂ)
209124adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (-π − 𝑋) ∈ ℝ)
210127adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (π − 𝑋) ∈ ℝ)
211 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋)))
212 eliccre 40046 . . . . . . . . . 10 (((-π − 𝑋) ∈ ℝ ∧ (π − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑠 ∈ ℝ)
213209, 210, 211, 212syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑠 ∈ ℝ)
214213adantlr 751 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑠 ∈ ℝ)
215208, 214ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝐺𝑠) ∈ ℂ)
216125, 128, 215itgioo 23627 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))(𝐺𝑠) d𝑠 = ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))(𝐺𝑠) d𝑠)
217 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑥 → (𝐺𝑠) = (𝐺𝑥))
218217cbvitgv 23588 . . . . . 6 ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))(𝐺𝑠) d𝑠 = ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))(𝐺𝑥) d𝑥
219216, 218syl6eq 2701 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))(𝐺𝑠) d𝑠 = ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))(𝐺𝑥) d𝑥)
220196, 219eqtrd 2685 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 = ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))(𝐺𝑥) d𝑥)
221 eqid 2651 . . . . . . 7 ((π − 𝑋) − (-π − 𝑋)) = ((π − 𝑋) − (-π − 𝑋))
222111renegcld 10495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → -𝑋 ∈ ℝ)
223 fourierdlem111.o . . . . . . 7 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π − 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
22431fourierdlem2 40644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
22532, 224syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
22633, 225mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
227226simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)))
228 elmapi 7921 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
229227, 228syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
230229ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
23164adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
232230, 231resubcld 10496 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ)
233 fourierdlem111.14 . . . . . . . . . . . 12 𝑊 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑖) − 𝑋))
234232, 233fmptd 6425 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊:(0...𝑀)⟶ℝ)
235 reex 10065 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ V
236 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . 13 (0...𝑀) ∈ V
237235, 236pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ∈ V ∧ (0...𝑀) ∈ V)
238 elmapg 7912 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ ∈ V ∧ (0...𝑀) ∈ V) → (𝑊 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ↔ 𝑊:(0...𝑀)⟶ℝ))
239237, 238mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑊 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ↔ 𝑊:(0...𝑀)⟶ℝ))
240234, 239mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)))
241233a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑖) − 𝑋)))
242 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 0 → (𝑄𝑖) = (𝑄‘0))
243226simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
244243simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π))
245244simpld 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑄‘0) = -π)
246242, 245sylan9eqr 2707 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 = 0) → (𝑄𝑖) = -π)
247246oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 = 0) → ((𝑄𝑖) − 𝑋) = (-π − 𝑋))
248 0zd 11427 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
24932nnzd 11519 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
250 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
251 nnre 11065 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
252 nngt0 11087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀)
253250, 251, 252ltled 10223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑀)
25432, 253syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
255 eluz2 11731 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀))
256248, 249, 254, 255syl3anbrc 1265 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
257 eluzfz1 12386 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
258256, 257syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
259241, 247, 258, 124fvmptd 6327 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑊‘0) = (-π − 𝑋))
260 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑀 → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑀))
261244simprd 478 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑄𝑀) = π)
262260, 261sylan9eqr 2707 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 = 𝑀) → (𝑄𝑖) = π)
263262oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 = 𝑀) → ((𝑄𝑖) − 𝑋) = (π − 𝑋))
264 eluzfz2 12387 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
265256, 264syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑀))
266241, 263, 265, 127fvmptd 6327 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑊𝑀) = (π − 𝑋))
267259, 266jca 553 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑊‘0) = (-π − 𝑋) ∧ (𝑊𝑀) = (π − 𝑋)))
268229adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
269 elfzofz 12524 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
270269adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
271268, 270ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
272 fzofzp1 12605 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
273272adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
274268, 273ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
27564adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
276243simprd 478 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
277276r19.21bi 2961 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
278271, 274, 275, 277ltsub1dd 10677 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) − 𝑋) < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
279270, 232syldan 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ)
280233fvmpt2 6330 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑄𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑊𝑖) = ((𝑄𝑖) − 𝑋))
281270, 279, 280syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊𝑖) = ((𝑄𝑖) − 𝑋))
282 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑗 → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑗))
283282oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄𝑖) − 𝑋) = ((𝑄𝑗) − 𝑋))
284283cbvmptv 4783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑖) − 𝑋)) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑗) − 𝑋))
285233, 284eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑊 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑗) − 𝑋))
286285a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑊 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑗) − 𝑋)))
287 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
288287oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝑄𝑗) − 𝑋) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
289288adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) → ((𝑄𝑗) − 𝑋) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
290274, 275resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
291286, 289, 273, 290fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
292278, 281, 2913brtr4d 4717 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊𝑖) < (𝑊‘(𝑖 + 1)))
293292ralrimiva 2995 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊𝑖) < (𝑊‘(𝑖 + 1)))
294240, 267, 293jca32 557 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑊 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑊‘0) = (-π − 𝑋) ∧ (𝑊𝑀) = (π − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊𝑖) < (𝑊‘(𝑖 + 1)))))
295223fourierdlem2 40644 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (𝑂𝑀) ↔ (𝑊 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑊‘0) = (-π − 𝑋) ∧ (𝑊𝑀) = (π − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊𝑖) < (𝑊‘(𝑖 + 1))))))
29632, 295syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑊 ∈ (𝑂𝑀) ↔ (𝑊 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑊‘0) = (-π − 𝑋) ∧ (𝑊𝑀) = (π − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊𝑖) < (𝑊‘(𝑖 + 1))))))
297294, 296mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ (𝑂𝑀))
298297adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ (𝑂𝑀))
299150, 151, 149nnncan2d 10465 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((π − 𝑋) − (-π − 𝑋)) = (π − -π))
300 picn 24256 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℂ
3013002timesi 11185 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · π) = (π + π)
302 fourierdlem111.t . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = (2 · π)
303300, 300subnegi 10398 . . . . . . . . . . . . 13 (π − -π) = (π + π)
304301, 302, 3033eqtr4i 2683 . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = (π − -π)
305299, 304syl6eqr 2703 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((π − 𝑋) − (-π − 𝑋)) = 𝑇)
306305oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 + ((π − 𝑋) − (-π − 𝑋))) = (𝑥 + 𝑇))
307306fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺‘(𝑥 + ((π − 𝑋) − (-π − 𝑋)))) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)))
308307ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘(𝑥 + ((π − 𝑋) − (-π − 𝑋)))) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)))
309 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
310186fvmpt2 6330 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷𝑛)‘𝑥)) ∈ ℂ) → (𝐺𝑥) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷𝑛)‘𝑥)))
311309, 206, 310syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺𝑥) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷𝑛)‘𝑥)))
312149adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℂ)
313199recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
314 2re 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
315314, 22remulcli 10092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · π) ∈ ℝ
316302, 315eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑇 ∈ ℝ
317316a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
318317recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
319318adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℂ)
320312, 313, 319addassd 10100 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑋 + 𝑥) + 𝑇) = (𝑋 + (𝑥 + 𝑇)))
321320eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑋 + (𝑥 + 𝑇)) = ((𝑋 + 𝑥) + 𝑇))
322321fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑥 + 𝑇))) = (𝐹‘((𝑋 + 𝑥) + 𝑇)))
323 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝜑)
324323, 200jca 553 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑥) ∈ ℝ))
325 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = (𝑋 + 𝑥) → (𝑠 ∈ ℝ ↔ (𝑋 + 𝑥) ∈ ℝ))
326325anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = (𝑋 + 𝑥) → ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑥) ∈ ℝ)))
327 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 = (𝑋 + 𝑥) → (𝑠 + 𝑇) = ((𝑋 + 𝑥) + 𝑇))
328327fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = (𝑋 + 𝑥) → (𝐹‘(𝑠 + 𝑇)) = (𝐹‘((𝑋 + 𝑥) + 𝑇)))
329 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = (𝑋 + 𝑥) → (𝐹𝑠) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))
330328, 329eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = (𝑋 + 𝑥) → ((𝐹‘(𝑠 + 𝑇)) = (𝐹𝑠) ↔ (𝐹‘((𝑋 + 𝑥) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))))
331326, 330imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = (𝑋 + 𝑥) → (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑠 + 𝑇)) = (𝐹𝑠)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑥) ∈ ℝ) → (𝐹‘((𝑋 + 𝑥) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))))
332 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑠 → (𝑥 ∈ ℝ ↔ 𝑠 ∈ ℝ))
333332anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑠 → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ↔ (𝜑𝑠 ∈ ℝ)))
334 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑠 → (𝑥 + 𝑇) = (𝑠 + 𝑇))
335334fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑠 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑠 + 𝑇)))
336 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑠 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑠))
337335, 336eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑠 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑠 + 𝑇)) = (𝐹𝑠)))
338333, 337imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑠 → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑠 + 𝑇)) = (𝐹𝑠))))
339 fourierdlem111.fper . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
340338, 339chvarv 2299 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑠 + 𝑇)) = (𝐹𝑠))
341331, 340vtoclg 3297 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 + 𝑥) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑥) ∈ ℝ) → (𝐹‘((𝑋 + 𝑥) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))))
342200, 324, 341sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘((𝑋 + 𝑥) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))
343322, 342eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑥 + 𝑇))))
344343adantlr 751 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑥 + 𝑇))))
34567, 302dirkerper 40631 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑛)‘(𝑥 + 𝑇)) = ((𝐷𝑛)‘𝑥))
346345eqcomd 2657 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑛)‘𝑥) = ((𝐷𝑛)‘(𝑥 + 𝑇)))
347346adantll 750 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑛)‘𝑥) = ((𝐷𝑛)‘(𝑥 + 𝑇)))
348344, 347oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷𝑛)‘𝑥)) = ((𝐹‘(𝑋 + (𝑥 + 𝑇))) · ((𝐷𝑛)‘(𝑥 + 𝑇))))
349192a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐺 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
350 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = (𝑥 + 𝑇) → (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + (𝑥 + 𝑇)))
351350fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = (𝑥 + 𝑇) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑥 + 𝑇))))
352 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = (𝑥 + 𝑇) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) = ((𝐷𝑛)‘(𝑥 + 𝑇)))
353351, 352oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = (𝑥 + 𝑇) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + (𝑥 + 𝑇))) · ((𝐷𝑛)‘(𝑥 + 𝑇))))
354353adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑠 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + (𝑥 + 𝑇))) · ((𝐷𝑛)‘(𝑥 + 𝑇))))
355316a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
356309, 355readdcld 10107 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
357316a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
358199, 357readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
359198, 358readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑋 + (𝑥 + 𝑇)) ∈ ℝ)
360197, 359ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑥 + 𝑇))) ∈ ℂ)
361360adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑥 + 𝑇))) ∈ ℂ)
36277ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
363362, 356ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑛)‘(𝑥 + 𝑇)) ∈ ℝ)
364363recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑛)‘(𝑥 + 𝑇)) ∈ ℂ)
365361, 364mulcld 10098 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑥 + 𝑇))) · ((𝐷𝑛)‘(𝑥 + 𝑇))) ∈ ℂ)
366349, 354, 356, 365fvmptd 6327 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) = ((𝐹‘(𝑋 + (𝑥 + 𝑇))) · ((𝐷𝑛)‘(𝑥 + 𝑇))))
367366eqcomd 2657 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑥 + 𝑇))) · ((𝐷𝑛)‘(𝑥 + 𝑇))) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)))
368311, 348, 3673eqtrrd 2690 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐺𝑥))
369308, 368eqtrd 2685 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘(𝑥 + ((π − 𝑋) − (-π − 𝑋)))) = (𝐺𝑥))
370192reseq1i 5424 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))
371370a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))))
372 ioossre 12273 . . . . . . . . . 10 ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ
373 resmpt 5484 . . . . . . . . . 10 (((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
374372, 373ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
375371, 374syl6eq 2701 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
376271rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
377376adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
378274rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
379378adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
38064adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
381 elioore 12243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) → 𝑠 ∈ ℝ)
382381adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
383380, 382readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
384383adantlr 751 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
385 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑠 → (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↔ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))))
386385anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑠 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) ↔ ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))))
387187breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑠 → ((𝑄𝑖) < (𝑋 + 𝑥) ↔ (𝑄𝑖) < (𝑋 + 𝑠)))
388386, 387imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑠 → ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < (𝑋 + 𝑥)) ↔ (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < (𝑋 + 𝑠))))
389149adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℂ)
390281, 279eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊𝑖) ∈ ℝ)
391390recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊𝑖) ∈ ℂ)
392389, 391addcomd 10276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑊𝑖)) = ((𝑊𝑖) + 𝑋))
393281oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑊𝑖) + 𝑋) = (((𝑄𝑖) − 𝑋) + 𝑋))
394271recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
395394, 389npcand 10434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑄𝑖))
396392, 393, 3953eqtrrd 2690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) = (𝑋 + (𝑊𝑖)))
397396adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) = (𝑋 + (𝑊𝑖)))
398390adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑊𝑖) ∈ ℝ)
399 elioore 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
400399adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
40164ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
402390rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊𝑖) ∈ ℝ*)
403402adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑊𝑖) ∈ ℝ*)
404291, 290eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
405404rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
406405adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
407 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))
408 ioogtlb 40035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑊𝑖) < 𝑥)
409403, 406, 407, 408syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑊𝑖) < 𝑥)
410398, 400, 401, 409ltadd2dd 10234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + (𝑊𝑖)) < (𝑋 + 𝑥))
411397, 410eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < (𝑋 + 𝑥))
412388, 411chvarv 2299 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < (𝑋 + 𝑠))
413187breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑠 → ((𝑋 + 𝑥) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑋 + 𝑠) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
414386, 413imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑠 → ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑥) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
415404adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
416 iooltub 40053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 < (𝑊‘(𝑖 + 1)))
417403, 406, 407, 416syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 < (𝑊‘(𝑖 + 1)))
418400, 415, 401, 417ltadd2dd 10234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑥) < (𝑋 + (𝑊‘(𝑖 + 1))))
419404recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
420389, 419addcomd 10276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑊‘(𝑖 + 1))) = ((𝑊‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))
421291oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑊‘(𝑖 + 1)) + 𝑋) = (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) + 𝑋))
422274recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
423422, 389npcand 10434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
424420, 421, 4233eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑊‘(𝑖 + 1))) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
425424adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + (𝑊‘(𝑖 + 1))) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
426418, 425breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑥) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
427414, 426chvarv 2299 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
428377, 379, 384, 412, 427eliood 40038 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
429187cbvmptv 4783 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) = (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑠))
430429a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) = (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑠)))
431 ioossre 12273 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ
432431a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
43311, 432feqresmpt 6289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)))
434433adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)))
435 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑋 + 𝑠) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
436428, 430, 434, 435fmptco 6436 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∘ (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))) = (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))))
437 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑋 + 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑋 + 𝑥))
438 ssid 3657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℂ ⊆ ℂ
439438a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
440439, 149, 439constcncfg 40402 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑋) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
441 cncfmptid 22762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
442438, 438, 441mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
443442a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
444440, 443addcncf 40404 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑋 + 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
445444adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑋 + 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
446 ioosscn 40034 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
447446a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
448 ioosscn 40034 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
449448a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
450376adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
451378adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
45264adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
453399adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
454452, 453readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑥) ∈ ℝ)
455454adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑥) ∈ ℝ)
456450, 451, 455, 411, 426eliood 40038 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑥) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
457437, 445, 447, 449, 456cncfmptssg 40401 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) ∈ (((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))–cn→((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
458457, 49cncfco 22757 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∘ (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))) ∈ (((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
459436, 458eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ (((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
460459adantlr 751 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ (((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
461 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠))
46277feqmptd 6288 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
463 cncfss 22749 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ))
46434, 438, 463mp2an 708 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ)
46567dirkercncf 40642 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
466464, 465sseldi 3634 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
467462, 466eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
468372a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
469438a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ℂ ⊆ ℂ)
470 cncff 22743 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℂ) → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℂ)
471466, 470syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℂ)
472471adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℂ)
473381adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
474472, 473ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℂ)
475461, 467, 468, 469, 474cncfmptssg 40401 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ (((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
476475ad2antlr 763 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ (((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
477460, 476mulcncf 23261 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) ∈ (((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
478375, 477eqeltrd 2730 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
479453, 201syldan 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) ∈ ℂ)
480479adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) ∈ ℂ)
481 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))) = (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))
482480, 481fmptd 6425 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))):((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
483482adantlr 751 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))):((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
48477ad2antlr 763 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
485372a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
486484, 485fssresd 6109 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))):((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
48734a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ℝ ⊆ ℂ)
488486, 487fssd 6095 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))):((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
489 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))‘𝑠) · (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))‘𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))‘𝑠) · (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))‘𝑠)))
490 fdm 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐹:ℝ⟶ℂ → dom 𝐹 = ℝ)
49136, 490syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → dom 𝐹 = ℝ)
492431, 491syl5sseqr 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
493 ssdmres 5455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
494492, 493sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
495494eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
496495ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
497456, 496eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑥) ∈ dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
498271adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
499498, 411gtned 10210 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑥) ≠ (𝑄𝑖))
500 eldifsn 4350 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 + 𝑥) ∈ (dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∖ {(𝑄𝑖)}) ↔ ((𝑋 + 𝑥) ∈ dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝑋 + 𝑥) ≠ (𝑄𝑖)))
501497, 499, 500sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑥) ∈ (dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∖ {(𝑄𝑖)}))
502501ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))(𝑋 + 𝑥) ∈ (dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∖ {(𝑄𝑖)}))
503 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))
504503rnmptss 6432 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))(𝑋 + 𝑥) ∈ (dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∖ {(𝑄𝑖)}) → ran (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) ⊆ (dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∖ {(𝑄𝑖)}))
505502, 504syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ran (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) ⊆ (dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∖ {(𝑄𝑖)}))
506 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)))
507 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑊𝑖) → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + (𝑊𝑖)))
508507adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑊𝑖)) → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + (𝑊𝑖)))
509390leidd 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊𝑖) ≤ (𝑊𝑖))
510390, 404, 292ltled 10223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊𝑖) ≤ (𝑊‘(𝑖 + 1)))
511390, 404, 390, 509, 510eliccd 40044 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊𝑖) ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))))
512396, 271eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑊𝑖)) ∈ ℝ)
513506, 508, 511, 512fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))‘(𝑊𝑖)) = (𝑋 + (𝑊𝑖)))
514396eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑊𝑖)) = (𝑄𝑖))
515513, 514eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) = ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))‘(𝑊𝑖)))
516390, 404iccssred 40045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
517516, 34syl6ss 3648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
518517resmptd 5487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑋 + 𝑥)) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) = (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)))
519 rescncf 22747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑋 + 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑋 + 𝑥)) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)))
520517, 445, 519sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑋 + 𝑥)) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
521518, 520eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) ∈ (((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
522521, 511cnlimci 23698 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))‘(𝑊𝑖)) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) lim (𝑊𝑖)))
523515, 522eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) lim (𝑊𝑖)))
524 ioossicc 12297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))
525 resmpt 5484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) → ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) = (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)))
526524, 525ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) = (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))
527526eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) = ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))
528527a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) = ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))))
529528oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) lim (𝑊𝑖)) = (((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊𝑖)))
530149ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℂ)
531390adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑊𝑖) ∈ ℝ)
532404adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
533 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))))
534 eliccre 40046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
535531, 532, 533, 534syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
536535recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
537530, 536addcld 10097 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑥) ∈ ℂ)
538 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))
539537, 538fmptd 6425 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)):((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
540390, 404, 292, 539limciccioolb 40171 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊𝑖)) = ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) lim (𝑊𝑖)))
541529, 540eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) lim (𝑊𝑖)) = ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) lim (𝑊𝑖)))
542523, 541eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) lim (𝑊𝑖)))
543505, 542, 51limccog 40170 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∘ (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))) lim (𝑊𝑖)))
54436, 432fssresd 6109 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
545544adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
546456, 503fmptd 6425 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)):((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))⟶((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
547 fcompt 6440 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ ∧ (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)):((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))⟶((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∘ (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))) = (𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))‘𝑦))))
548545, 546, 547syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∘ (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))) = (𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))‘𝑦))))
549 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)))
550 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + 𝑦))
551550adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + 𝑦))
552 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))
55364adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
554372, 552sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
555553, 554readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑦) ∈ ℝ)
556549, 551, 552, 555fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))‘𝑦) = (𝑋 + 𝑦))
557556fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))‘𝑦)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑦)))
558557adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))‘𝑦)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑦)))
559376adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
560378adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
561555adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑦) ∈ ℝ)
562396adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) = (𝑋 + (𝑊𝑖)))
563390adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑊𝑖) ∈ ℝ)
564554adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
56564ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
566402adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑊𝑖) ∈ ℝ*)
567405adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
568 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))
569 ioogtlb 40035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑊𝑖) < 𝑦)
570566, 567, 568, 569syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑊𝑖) < 𝑦)
571563, 564, 565, 570ltadd2dd 10234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + (𝑊𝑖)) < (𝑋 + 𝑦))
572562, 571eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < (𝑋 + 𝑦))
573404adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
574 iooltub 40053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑦 < (𝑊‘(𝑖 + 1)))
575566, 567, 568, 574syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑦 < (𝑊‘(𝑖 + 1)))
576564, 573, 565, 575ltadd2dd 10234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑦) < (𝑋 + (𝑊‘(𝑖 + 1))))
577424adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + (𝑊‘(𝑖 + 1))) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
578576, 577breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑦) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
579559, 560, 561, 572, 578eliood 40038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑦) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
580 fvres 6245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 + 𝑦) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑦)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)))
581579, 580syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑦)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)))
582558, 581eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))‘𝑦)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)))
583582mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑦))))
584550fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)))
585584cbvmptv 4783 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))) = (𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)))
586583, 585syl6eqr 2703 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))‘𝑦))) = (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))))
587548, 586eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∘ (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))) = (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))))
588587oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∘ (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))) lim (𝑊𝑖)) = ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))) lim (𝑊𝑖)))
589543, 588eleqtrd 2732 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))) lim (𝑊𝑖)))
590589adantlr 751 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))) lim (𝑊𝑖)))
591 fvres 6245 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊𝑖) ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) → (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))))‘(𝑊𝑖)) = ((𝐷𝑛)‘(𝑊𝑖)))
592511, 591syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))))‘(𝑊𝑖)) = ((𝐷𝑛)‘(𝑊𝑖)))
593592eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑛)‘(𝑊𝑖)) = (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))))‘(𝑊𝑖)))
594593adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑛)‘(𝑊𝑖)) = (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))))‘(𝑊𝑖)))
595516adantlr 751 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
596465ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
597 rescncf 22747 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ → ((𝐷𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℝ) → ((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ)))
598595, 596, 597sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
599511adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊𝑖) ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))))
600598, 599cnlimci 23698 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))))‘(𝑊𝑖)) ∈ (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊𝑖)))
601594, 600eqeltrd 2730 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑛)‘(𝑊𝑖)) ∈ (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊𝑖)))
602524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))))
603602resabs1d 5463 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))))
604603eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) = (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))))
605604oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊𝑖)) = ((((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊𝑖)))
606605adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊𝑖)) = ((((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊𝑖)))
607390adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊𝑖) ∈ ℝ)
608404adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
609292adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊𝑖) < (𝑊‘(𝑖 + 1)))
610471ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℂ)
611610, 595fssresd 6109 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))):((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
612607, 608, 609, 611limciccioolb 40171 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊𝑖)) = (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊𝑖)))
613606, 612eqtr2d 2686 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊𝑖)) = (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊𝑖)))
614601, 613eleqtrd 2732 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑛)‘(𝑊𝑖)) ∈ (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊𝑖)))
615483, 488, 489, 590, 614mullimcf 40173 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · ((𝐷𝑛)‘(𝑊𝑖))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))‘𝑠) · (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))‘𝑠))) lim (𝑊𝑖)))
616 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))) = (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))))
617188adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑠) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
618 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))
61936adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
620619, 383ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
621620adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
622616, 617, 618, 621fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))‘𝑠) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
623622adantllr 755 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))‘𝑠) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
624 fvres 6245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) → (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))‘𝑠) = ((𝐷𝑛)‘𝑠))
625624adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))‘𝑠) = ((𝐷𝑛)‘𝑠))
626623, 625oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))‘𝑠) · (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
627626eqcomd 2657 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) = (((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))‘𝑠) · (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))‘𝑠)))
628627mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))‘𝑠) · (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))‘𝑠))))
629375, 628eqtr2d 2686 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))‘𝑠) · (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))‘𝑠))) = (𝐺 ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))))
630629oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))‘𝑠) · (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))‘𝑠))) lim (𝑊𝑖)) = ((𝐺 ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊𝑖)))
631615, 630eleqtrd 2732 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · ((𝐷𝑛)‘(𝑊𝑖))) ∈ ((𝐺 ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊𝑖)))
632455, 426ltned 10211 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑥) ≠ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
633 eldifsn 4350 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 + 𝑥) ∈ (dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∖ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↔ ((𝑋 + 𝑥) ∈ dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝑋 + 𝑥) ≠ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
634497, 632, 633sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑥) ∈ (dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∖ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
635634ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))(𝑋 + 𝑥) ∈ (dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∖ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
636503rnmptss 6432 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))(𝑋 + 𝑥) ∈ (dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∖ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) → ran (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) ⊆ (dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∖ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
637635, 636syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ran (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) ⊆ (dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∖ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
638404leidd 10632 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑊‘(𝑖 + 1)))
639390, 404, 404, 510, 638eliccd 40044 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))))
640521, 639cnlimci 23698 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))‘(𝑊‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
641 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑊‘(𝑖 + 1)) → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + (𝑊‘(𝑖 + 1))))
642641adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑊‘(𝑖 + 1))) → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + (𝑊‘(𝑖 + 1))))
643275, 404readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑊‘(𝑖 + 1))) ∈ ℝ)
644506, 642, 639, 643fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))‘(𝑊‘(𝑖 + 1))) = (𝑋 + (𝑊‘(𝑖 + 1))))
645644, 424eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))‘(𝑊‘(𝑖 + 1))) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
646528oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))) = (((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
647390, 404, 292, 539limcicciooub 40187 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))) = ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
648646, 647eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))) = ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
649640, 645, 6483eltr3d 2744 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
650637, 649, 54limccog 40170 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∘ (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
651587oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∘ (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))) = ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
652650, 651eleqtrd 2732 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
653652adantlr 751 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
654639adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))))
655598, 654cnlimci 23698 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))))‘(𝑊‘(𝑖 + 1))) ∈ (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
656 fvres 6245 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) → (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))))‘(𝑊‘(𝑖 + 1))) = ((𝐷𝑛)‘(𝑊‘(𝑖 + 1))))
657654, 656syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))))‘(𝑊‘(𝑖 + 1))) = ((𝐷𝑛)‘(𝑊‘(𝑖 + 1))))
658607, 608, 609, 611limcicciooub 40187 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))) = (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
659658eqcomd 2657 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))) = ((((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
660 resabs1 5462 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) → (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))))
661524, 660mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))))
662661oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))) = (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
663659, 662eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))) = (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
664655, 657, 6633eltr3d 2744 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑛)‘(𝑊‘(𝑖 + 1))) ∈ (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
665483, 488, 489, 653, 664mullimcf 40173 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐿 · ((𝐷𝑛)‘(𝑊‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))‘𝑠) · (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))‘𝑠))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
666629oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))‘𝑠) · (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))‘𝑠))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))) = ((𝐺 ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
667665, 666eleqtrd 2732 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐿 · ((𝐷𝑛)‘(𝑊‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐺 ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
668125, 128, 221, 222, 223, 109, 298, 207, 369, 478, 631, 667fourierdlem110 40751 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(((-π − 𝑋) − -𝑋)[,]((π − 𝑋) − -𝑋))(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))(𝐺𝑥) d𝑥)
669668eqcomd 2657 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(((-π − 𝑋) − -𝑋)[,]((π − 𝑋) − -𝑋))(𝐺𝑥) d𝑥)
670124recnd 10106 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-π − 𝑋) ∈ ℂ)
671670, 149subnegd 10437 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-π − 𝑋) − -𝑋) = ((-π − 𝑋) + 𝑋))
672151, 149npcand 10434 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-π − 𝑋) + 𝑋) = -π)
673671, 672eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((-π − 𝑋) − -𝑋) = -π)
674127recnd 10106 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (π − 𝑋) ∈ ℂ)
675674, 149subnegd 10437 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((π − 𝑋) − -𝑋) = ((π − 𝑋) + 𝑋))
676150, 149npcand 10434 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((π − 𝑋) + 𝑋) = π)
677675, 676eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((π − 𝑋) − -𝑋) = π)
678673, 677oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝜑 → (((-π − 𝑋) − -𝑋)[,]((π − 𝑋) − -𝑋)) = (-π[,]π))
679678itgeq1d 40490 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(((-π − 𝑋) − -𝑋)[,]((π − 𝑋) − -𝑋))(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(-π[,]π)(𝐺𝑥) d𝑥)
680679adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(((-π − 𝑋) − -𝑋)[,]((π − 𝑋) − -𝑋))(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(-π[,]π)(𝐺𝑥) d𝑥)
681669, 680eqtrd 2685 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(-π[,]π)(𝐺𝑥) d𝑥)
682 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑠 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑠))
683682cbvitgv 23588 . . . . 5 ∫(-π(,)π)(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(-π(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠
684207adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → 𝐺:ℝ⟶ℂ)
68528adantlr 751 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
686684, 685ffvelrnd 6400 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
68771, 72, 686itgioo 23627 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)π)(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(-π[,]π)(𝐺𝑥) d𝑥)
688 elioore 12243 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (-π(,)π) → 𝑠 ∈ ℝ)
689688adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
69036adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (-π(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
69164adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (-π(,)π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
692688adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (-π(,)π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
693691, 692readdcld 10107 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (-π(,)π)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
694690, 693ffvelrnd 6400 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (-π(,)π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
695694adantlr 751 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
69677ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)π)) → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
697696, 689ffvelrnd 6400 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
698697recnd 10106 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℂ)
699695, 698mulcld 10098 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ℂ)
700689, 699, 193syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)π)) → (𝐺𝑠) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
701700itgeq2dv 23593 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 = ∫(-π(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
702683, 687, 7013eqtr3a 2709 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π[,]π)(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(-π(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
703220, 681, 7023eqtrd 2689 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(-π(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
70470, 173, 7033eqtrd 2689 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆𝑛) = ∫(-π(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
70572renegcld 10495 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → -π ∈ ℝ)
706 0red 10079 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
707 0re 10078 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
708 negpilt0 39806 . . . . . 6 -π < 0
70923, 707, 708ltleii 10198 . . . . 5 -π ≤ 0
710709a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → -π ≤ 0)
711 pipos 24257 . . . . . 6 0 < π
712707, 22, 711ltleii 10198 . . . . 5 0 ≤ π
713712a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ π)
71471, 72, 706, 710, 713eliccd 40044 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ (-π[,]π))
715 ioossicc 12297 . . . . 5 (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0)
716715a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0))
717 ioombl 23379 . . . . 5 (-π(,)0) ∈ dom vol
718717a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (-π(,)0) ∈ dom vol)
71936adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]0)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
72064adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]0)) → 𝑋 ∈ ℝ)
72123a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-π[,]0) → -π ∈ ℝ)
722 0red 10079 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-π[,]0) → 0 ∈ ℝ)
723 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-π[,]0) → 𝑠 ∈ (-π[,]0))
724 eliccre 40046 . . . . . . . . . 10 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
725721, 722, 723, 724syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-π[,]0) → 𝑠 ∈ ℝ)
726725adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
727720, 726readdcld 10107 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]0)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
728719, 727ffvelrnd 6400 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]0)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
729728adantlr 751 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]0)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
73077ad2antlr 763 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]0)) → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
731725adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
732730, 731ffvelrnd 6400 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]0)) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
733732recnd 10106 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]0)) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℂ)
734729, 733mulcld 10098 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]0)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ℂ)
735731, 734, 193syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]0)) → (𝐺𝑠) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
736735eqcomd 2657 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]0)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) = (𝐺𝑠))
737736mpteq2dva 4777 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) = (𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ (𝐺𝑠)))
738305oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 + ((π − 𝑋) − (-π − 𝑋))) = (𝑠 + 𝑇))
739738ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝑠 + ((π − 𝑋) − (-π − 𝑋))) = (𝑠 + 𝑇))
740739fveq2d 6233 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝐺‘(𝑠 + ((π − 𝑋) − (-π − 𝑋)))) = (𝐺‘(𝑠 + 𝑇)))
741186a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷𝑛)‘𝑥))))
742 oveq2 6698 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑠 + 𝑇) → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + (𝑠 + 𝑇)))
743742fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑠 + 𝑇) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))))
744 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑠 + 𝑇) → ((𝐷𝑛)‘𝑥) = ((𝐷𝑛)‘(𝑠 + 𝑇)))
745743, 744oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑠 + 𝑇) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷𝑛)‘𝑥)) = ((𝐹‘(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) · ((𝐷𝑛)‘(𝑠 + 𝑇))))
746745adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 = (𝑠 + 𝑇)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷𝑛)‘𝑥)) = ((𝐹‘(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) · ((𝐷𝑛)‘(𝑠 + 𝑇))))
747 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℝ)
748316a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
749747, 748readdcld 10107 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (𝑠 + 𝑇) ∈ ℝ)
750749adantlr 751 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝑠 + 𝑇) ∈ ℝ)
75136adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
75264adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
753752, 749readdcld 10107 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (𝑋 + (𝑠 + 𝑇)) ∈ ℝ)
754751, 753ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) ∈ ℂ)
755754adantlr 751 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) ∈ ℂ)
75677ad2antlr 763 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
757756, 750ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑛)‘(𝑠 + 𝑇)) ∈ ℝ)
758757recnd 10106 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑛)‘(𝑠 + 𝑇)) ∈ ℂ)
759755, 758mulcld 10098 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) · ((𝐷𝑛)‘(𝑠 + 𝑇))) ∈ ℂ)
760741, 746, 750, 759fvmptd 6327 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝐺‘(𝑠 + 𝑇)) = ((𝐹‘(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) · ((𝐷𝑛)‘(𝑠 + 𝑇))))
761149adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℂ)
762747recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℂ)
763318adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℂ)
764761, 762, 763addassd 10100 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → ((𝑋 + 𝑠) + 𝑇) = (𝑋 + (𝑠 + 𝑇)))
765764eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (𝑋 + (𝑠 + 𝑇)) = ((𝑋 + 𝑠) + 𝑇))
766765fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) = (𝐹‘((𝑋 + 𝑠) + 𝑇)))
767752, 747readdcld 10107 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
768 simpl 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝜑)
769768, 767jca 553 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ))
770 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑋 + 𝑠) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ))
771770anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑋 + 𝑠) → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)))
772 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑋 + 𝑠) → (𝑥 + 𝑇) = ((𝑋 + 𝑠) + 𝑇))
773772fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑋 + 𝑠) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘((𝑋 + 𝑠) + 𝑇)))
774773, 435eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑋 + 𝑠) → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘((𝑋 + 𝑠) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))))
775771, 774imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑋 + 𝑠) → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ) → (𝐹‘((𝑋 + 𝑠) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))))
776775, 339vtoclg 3297 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ) → (𝐹‘((𝑋 + 𝑠) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))))
777767, 769, 776sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (𝐹‘((𝑋 + 𝑠) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
778766, 777eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
779778adantlr 751 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
78067, 302dirkerper 40631 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑛)‘(𝑠 + 𝑇)) = ((𝐷𝑛)‘𝑠))
781780adantll 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑛)‘(𝑠 + 𝑇)) = ((𝐷𝑛)‘𝑠))
782779, 781oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) · ((𝐷𝑛)‘(𝑠 + 𝑇))) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
783 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℝ)
784782, 759eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ℂ)
785783, 784, 193syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝐺𝑠) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
786785eqcomd 2657 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) = (𝐺𝑠))
787782, 786eqtrd 2685 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) · ((𝐷𝑛)‘(𝑠 + 𝑇))) = (𝐺𝑠))
788740, 760, 7873eqtrd 2689 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝐺‘(𝑠 + ((π − 𝑋) − (-π − 𝑋)))) = (𝐺𝑠))
789 0ltpnf 11994 . . . . . . . 8 0 < +∞
790 pnfxr 10130 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
791 elioo2 12254 . . . . . . . . 9 ((-π ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (0 ∈ (-π(,)+∞) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π < 0 ∧ 0 < +∞)))
79239, 790, 791mp2an 708 . . . . . . . 8 (0 ∈ (-π(,)+∞) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π < 0 ∧ 0 < +∞))
793707, 708, 789, 792mpbir3an 1263 . . . . . . 7 0 ∈ (-π(,)+∞)
794793a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ (-π(,)+∞))
795223, 221, 109, 298, 207, 788, 478, 631, 667, 71, 794fourierdlem105 40746 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ (𝐺𝑠)) ∈ 𝐿1)
796737, 795eqeltrd 2730 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
797716, 718, 734, 796iblss 23616 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
798 elioore 12243 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0(,)π) → 𝑠 ∈ ℝ)
799798adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
800799, 784syldan 486 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ℂ)
801799, 800, 193syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐺𝑠) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
802801eqcomd 2657 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) = (𝐺𝑠))
803802mpteq2dva 4777 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) = (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ (𝐺𝑠)))
804 ioossicc 12297 . . . . . 6 (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
805804a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (0(,)π) ⊆ (0[,]π))
806 ioombl 23379 . . . . . 6 (0(,)π) ∈ dom vol
807806a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (0(,)π) ∈ dom vol)
808207adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]π)) → 𝐺:ℝ⟶ℂ)
809 0red 10079 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]π)) → 0 ∈ ℝ)
81022a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]π)) → π ∈ ℝ)
811 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]π)) → 𝑠 ∈ (0[,]π))
812 eliccre 40046 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
813809, 810, 811, 812syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
814813adantlr 751 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
815808, 814ffvelrnd 6400 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]π)) → (𝐺𝑠) ∈ ℂ)
816 0xr 10124 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
817816a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ*)
818790a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → +∞ ∈ ℝ*)
819711a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 < π)
820 ltpnf 11992 . . . . . . . 8 (π ∈ ℝ → π < +∞)
82122, 820mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π < +∞)
822817, 818, 72, 819, 821eliood 40038 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ (0(,)+∞))
823223, 221, 109, 298, 207, 788, 478, 631, 667, 706, 822fourierdlem105 40746 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (𝐺𝑠)) ∈ 𝐿1)
824805, 807, 815, 823iblss 23616 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ (𝐺𝑠)) ∈ 𝐿1)
825803, 824eqeltrd 2730 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
826705, 72, 714, 699, 797, 825itgsplitioo 23649 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠))
827704, 826eqtrd 2685 1 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆𝑛) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  ifcif 4119  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144  cres 5145  ccom 5147  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504   mod cmo 12708  Σcsu 14460  sincsin 14838  cosccos 14839  πcpi 14841  cnccncf 22726  volcvol 23278  𝐿1cibl 23431  citg 23432   lim climc 23671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-t1 21166  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-ibl 23436  df-itg 23437  df-0p 23482  df-ditg 23656  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by:  fourierdlem112  40753
  Copyright terms: Public domain W3C validator