Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem109 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem109 40852
Description: The integral of a piecewise continuous periodic function 𝐹 is unchanged if the domain is shifted by any value 𝑋. This lemma generalizes fourierdlem92 40835 where the integral was shifted by the exact period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem109.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem109.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem109.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem109.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem109.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem109.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem109.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem109.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem109.fper ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem109.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem109.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem109.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem109.o 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem109.h 𝐻 = ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
fourierdlem109.n 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
fourierdlem109.16 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
fourierdlem109.17 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem109.18 𝐽 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
fourierdlem109.19 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ (𝐽‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem109 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑗,𝑘,𝑦   𝐴,𝑖,𝑥,𝑗,𝑘,𝑦   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖,𝑗   𝐵,𝑓,𝑗,𝑘,𝑦   𝐵,𝑖,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝑓,𝐸,𝑗,𝑘,𝑦   𝑖,𝐸,𝑥   𝑖,𝐹,𝑗,𝑥,𝑦   𝑓,𝐻,𝑦   𝑥,𝐻   𝑓,𝐼,𝑘,𝑦   𝑖,𝐼,𝑥   𝑖,𝐽,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑖,𝑀,𝑥,𝑦,𝑗   𝑚,𝑀,𝑝   𝑓,𝑁,𝑗,𝑘,𝑦   𝑖,𝑁,𝑥   𝑚,𝑁,𝑝   𝑄,𝑓,𝑗,𝑘,𝑦   𝑄,𝑖,𝑥   𝑄,𝑚,𝑝   𝑥,𝑅,𝑦   𝑆,𝑓,𝑗,𝑘,𝑦   𝑆,𝑖,𝑥   𝑆,𝑚,𝑝   𝑇,𝑓,𝑗,𝑘,𝑦   𝑇,𝑖,𝑥   𝑇,𝑚,𝑝   𝑓,𝑋,𝑗,𝑦   𝑖,𝑋,𝑚,𝑝   𝑥,𝑋   𝜑,𝑓,𝑗,𝑘,𝑦   𝜑,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑅(𝑓,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐸(𝑚,𝑝)   𝐹(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐻(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑗,𝑚,𝑝)   𝐽(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐿(𝑓,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑓,𝑘)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem fourierdlem109
StepHypRef Expression
1 fourierdlem109.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 fourierdlem109.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 fourierdlem109.t . . 3 𝑇 = (𝐵𝐴)
6 fourierdlem109.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
76adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
8 simpr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 0 < 𝑋)
97, 8elrpd 11983 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ+)
10 fourierdlem109.p . . 3 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
11 fourierdlem109.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1211adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝑀 ∈ ℕ)
13 fourierdlem109.q . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
1413adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
15 fourierdlem109.f . . . 4 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
1615adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
17 fourierdlem109.fper . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
1817adantlr 753 . . 3 (((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
19 fourierdlem109.fcn . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
2019adantlr 753 . . 3 (((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
21 fourierdlem109.r . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
2221adantlr 753 . . 3 (((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
23 fourierdlem109.l . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
2423adantlr 753 . . 3 (((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
252, 4, 5, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24fourierdlem108 40851 . 2 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑋) → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
26 oveq2 6773 . . . . . . 7 (𝑋 = 0 → (𝐴𝑋) = (𝐴 − 0))
271recnd 10181 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2827subid1d 10494 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)
2926, 28sylan9eqr 2780 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = 0) → (𝐴𝑋) = 𝐴)
30 oveq2 6773 . . . . . . 7 (𝑋 = 0 → (𝐵𝑋) = (𝐵 − 0))
313recnd 10181 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3231subid1d 10494 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 − 0) = 𝐵)
3330, 32sylan9eqr 2780 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = 0) → (𝐵𝑋) = 𝐵)
3429, 33oveq12d 6783 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 0) → ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) = (𝐴[,]𝐵))
3534itgeq1d 40592 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 0) → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
3635adantlr 753 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ 𝑋 = 0) → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
37 simpll 807 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 𝜑)
3837, 6syl 17 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 𝑋 ∈ ℝ)
39 0red 10154 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 0 ∈ ℝ)
40 simpr 479 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → ¬ 𝑋 = 0)
4140neqned 2903 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 𝑋 ≠ 0)
42 simplr 809 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → ¬ 0 < 𝑋)
4338, 39, 41, 42lttri5d 39929 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 𝑋 < 0)
446recnd 10181 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
4527, 44subcld 10505 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ ℂ)
4645, 44subnegd 10512 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴𝑋) − -𝑋) = ((𝐴𝑋) + 𝑋))
4727, 44npcand 10509 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴𝑋) + 𝑋) = 𝐴)
4846, 47eqtrd 2758 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴𝑋) − -𝑋) = 𝐴)
4931, 44subcld 10505 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℂ)
5049, 44subnegd 10512 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵𝑋) − -𝑋) = ((𝐵𝑋) + 𝑋))
5131, 44npcand 10509 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵𝑋) + 𝑋) = 𝐵)
5250, 51eqtrd 2758 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝑋) − -𝑋) = 𝐵)
5348, 52oveq12d 6783 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴𝑋) − -𝑋)[,]((𝐵𝑋) − -𝑋)) = (𝐴[,]𝐵))
5453eqcomd 2730 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = (((𝐴𝑋) − -𝑋)[,]((𝐵𝑋) − -𝑋)))
5554itgeq1d 40592 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(((𝐴𝑋) − -𝑋)[,]((𝐵𝑋) − -𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥)
5655adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 0) → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(((𝐴𝑋) − -𝑋)[,]((𝐵𝑋) − -𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥)
571, 6resubcld 10571 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
5857adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 0) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
593, 6resubcld 10571 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
6059adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 0) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
61 eqid 2724 . . . . . 6 ((𝐵𝑋) − (𝐴𝑋)) = ((𝐵𝑋) − (𝐴𝑋))
626renegcld 10570 . . . . . . . 8 (𝜑 → -𝑋 ∈ ℝ)
6362adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 0) → -𝑋 ∈ ℝ)
646lt0neg1d 10710 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 < 0 ↔ 0 < -𝑋))
6564biimpa 502 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 0) → 0 < -𝑋)
6663, 65elrpd 11983 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 0) → -𝑋 ∈ ℝ+)
67 fourierdlem109.o . . . . . . 7 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
68 fveq2 6304 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 → (𝑝𝑖) = (𝑝𝑗))
69 oveq1 6772 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
7069fveq2d 6308 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 → (𝑝‘(𝑖 + 1)) = (𝑝‘(𝑗 + 1)))
7168, 70breq12d 4773 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1))))
7271cbvralv 3274 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))
7372anbi2i 732 . . . . . . . . . 10 ((((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵𝑋)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1))))
7473a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) → ((((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵𝑋)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))))
7574rabbiia 3288 . . . . . . . 8 {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))} = {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵𝑋)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))}
7675mpteq2i 4849 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵𝑋)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
7767, 76eqtri 2746 . . . . . 6 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵𝑋)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
7810, 11, 13fourierdlem11 40755 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
7978simp3d 1136 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 < 𝐵)
801, 3, 6, 79ltsub1dd 10752 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝑋) < (𝐵𝑋))
81 fourierdlem109.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
82 fourierdlem109.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
83 fourierdlem109.16 . . . . . . . . . 10 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
845, 10, 11, 13, 57, 59, 80, 67, 81, 82, 83fourierdlem54 40797 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂𝑁)) ∧ 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻)))
8584simpld 477 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂𝑁)))
8685simpld 477 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
8786adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
8885simprd 482 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ (𝑂𝑁))
8988adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 0) → 𝑆 ∈ (𝑂𝑁))
9015adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 0) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
9131, 27, 44nnncan2d 10540 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵𝑋) − (𝐴𝑋)) = (𝐵𝐴))
9291, 5syl6eqr 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵𝑋) − (𝐴𝑋)) = 𝑇)
9392oveq2d 6781 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 + ((𝐵𝑋) − (𝐴𝑋))) = (𝑥 + 𝑇))
9493adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((𝐵𝑋) − (𝐴𝑋))) = (𝑥 + 𝑇))
9594fveq2d 6308 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + ((𝐵𝑋) − (𝐴𝑋)))) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))
9695, 17eqtrd 2758 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + ((𝐵𝑋) − (𝐴𝑋)))) = (𝐹𝑥))
9796adantlr 753 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 < 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + ((𝐵𝑋) − (𝐴𝑋)))) = (𝐹𝑥))
9811adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
9913adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
10015adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
10117adantlr 753 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
10219adantlr 753 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
10357adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
10457rexrd 10202 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ ℝ*)
105 pnfxr 10205 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
106105a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
10759ltpnfd 12069 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝑋) < +∞)
108104, 106, 59, 80, 107eliood 40140 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ((𝐴𝑋)(,)+∞))
109108adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵𝑋) ∈ ((𝐴𝑋)(,)+∞))
110 oveq1 6772 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)))
111110eleq1d 2788 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
112111rexbidv 3154 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
113112cbvrabv 3303 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
114113uneq2i 3872 . . . . . . . . 9 ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
11581, 114eqtri 2746 . . . . . . . 8 𝐻 = ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
116 fourierdlem109.17 . . . . . . . 8 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
117 fourierdlem109.18 . . . . . . . 8 𝐽 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
118 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (0..^𝑁))
119 eqid 2724 . . . . . . . 8 ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))
120 eqid 2724 . . . . . . . 8 (𝐹 ↾ ((𝐽‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))) = (𝐹 ↾ ((𝐽‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))
121 eqid 2724 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (((𝐽‘(𝐸‘(𝑆𝑗))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝐽‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))‘(𝑦 − ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))))) = (𝑦 ∈ (((𝐽‘(𝐸‘(𝑆𝑗))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝐽‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))‘(𝑦 − ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))))
122 fourierdlem109.19 . . . . . . . . 9 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ (𝐽‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
123 fveq2 6304 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 → (𝑄𝑗) = (𝑄𝑖))
124123breq1d 4770 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄𝑗) ≤ (𝐽‘(𝐸𝑥)) ↔ (𝑄𝑖) ≤ (𝐽‘(𝐸𝑥))))
125124cbvrabv 3303 . . . . . . . . . . 11 {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ (𝐽‘(𝐸𝑥))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐽‘(𝐸𝑥))}
126125supeq1i 8469 . . . . . . . . . 10 sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ (𝐽‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ) = sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐽‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < )
127126mpteq2i 4849 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ (𝐽‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐽‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
128122, 127eqtri 2746 . . . . . . . 8 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐽‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
12910, 5, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 109, 67, 115, 82, 83, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 128fourierdlem90 40833 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
130129adantlr 753 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 < 0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
13121adantlr 753 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
132 eqid 2724 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)
13310, 5, 98, 99, 100, 101, 102, 131, 103, 109, 67, 115, 82, 83, 116, 117, 118, 119, 128, 132fourierdlem89 40832 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐽‘(𝐸‘(𝑆𝑗))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗))), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)‘(𝐼‘(𝑆𝑗))), (𝐹‘(𝐽‘(𝐸‘(𝑆𝑗))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) lim (𝑆𝑗)))
134133adantlr 753 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 < 0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐽‘(𝐸‘(𝑆𝑗))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗))), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)‘(𝐼‘(𝑆𝑗))), (𝐹‘(𝐽‘(𝐸‘(𝑆𝑗))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) lim (𝑆𝑗)))
13523adantlr 753 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
136 eqid 2724 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)
13710, 5, 98, 99, 100, 101, 102, 135, 103, 109, 67, 115, 82, 83, 116, 117, 118, 119, 128, 136fourierdlem91 40834 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1)), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)‘(𝐼‘(𝑆𝑗))), (𝐹‘(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) lim (𝑆‘(𝑗 + 1))))
138137adantlr 753 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 < 0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1)), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)‘(𝐼‘(𝑆𝑗))), (𝐹‘(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) lim (𝑆‘(𝑗 + 1))))
13958, 60, 61, 66, 77, 87, 89, 90, 97, 130, 134, 138fourierdlem108 40851 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 0) → ∫(((𝐴𝑋) − -𝑋)[,]((𝐵𝑋) − -𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥)
14056, 139eqtr2d 2759 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 0) → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
14137, 43, 140syl2anc 696 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
14236, 141pm2.61dan 867 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < 𝑋) → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
14325, 142pm2.61dan 867 1 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014  wrex 3015  {crab 3018  cun 3678  ifcif 4194  {cpr 4287   class class class wbr 4760  cmpt 4837  ran crn 5219  cres 5220  cio 5962  wf 5997  cfv 6001   Isom wiso 6002  (class class class)co 6765  𝑚 cmap 7974  supcsup 8462  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   · cmul 10054  +∞cpnf 10184  *cxr 10186   < clt 10187  cle 10188  cmin 10379  -cneg 10380   / cdiv 10797  cn 11133  cz 11490  (,)cioo 12289  (,]cioc 12290  [,]cicc 12292  ...cfz 12440  ..^cfzo 12580  cfl 12706  chash 13232  cnccncf 22801  citg 23507   lim climc 23746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cc 9370  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-disj 4729  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-ofr 7015  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-omul 7685  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-acn 8881  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-xnn0 11477  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ioc 12294  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-mod 12784  df-seq 12917  df-exp 12976  df-hash 13233  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-limsup 14322  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-sum 14537  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-mulg 17663  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-lp 21063  df-perf 21064  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-haus 21242  df-cmp 21313  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-cncf 22803  df-ovol 23354  df-vol 23355  df-mbf 23508  df-itg1 23509  df-itg2 23510  df-ibl 23511  df-itg 23512  df-0p 23557  df-ditg 23731  df-limc 23750  df-dv 23751
This theorem is referenced by:  fourierdlem110  40853
  Copyright terms: Public domain W3C validator