Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem107 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem107 40933
Description: The integral of a piecewise continuous periodic function 𝐹 is unchanged if the domain is shifted by any positive value 𝑋. This lemma generalizes fourierdlem92 40918 where the integral was shifted by the exact period. This lemma uses local definitions, so that the proof is more readable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem107.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem107.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem107.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem107.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
fourierdlem107.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem107.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem107.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem107.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem107.fper ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem107.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem107.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem107.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem107.o 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem107.h 𝐻 = ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
fourierdlem107.n 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
fourierdlem107.s 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
fourierdlem107.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem107.z 𝑍 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
fourierdlem107.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝑍‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem107 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑘,𝑦   𝐴,𝑖,𝑥,𝑘,𝑦   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑓,𝑘,𝑦   𝐵,𝑖,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝑓,𝐸,𝑘,𝑦   𝑖,𝐸,𝑥   𝑖,𝐹,𝑥,𝑦   𝑓,𝐻,𝑦   𝑥,𝐻   𝑓,𝐼,𝑘,𝑦   𝑖,𝐼,𝑥   𝑥,𝐿,𝑦   𝑖,𝑀,𝑥,𝑦   𝑚,𝑀,𝑝   𝑓,𝑁,𝑘,𝑦   𝑖,𝑁,𝑥   𝑚,𝑁,𝑝   𝑄,𝑓,𝑘,𝑦   𝑄,𝑖,𝑥   𝑄,𝑚,𝑝   𝑥,𝑅,𝑦   𝑆,𝑓,𝑘,𝑦   𝑆,𝑖,𝑥   𝑆,𝑝   𝑇,𝑓,𝑘,𝑦   𝑇,𝑖,𝑥   𝑇,𝑚,𝑝   𝑓,𝑋,𝑦   𝑖,𝑋,𝑚,𝑝   𝑥,𝑋   𝑖,𝑍,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓,𝑘,𝑦   𝜑,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑅(𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑆(𝑚)   𝐸(𝑚,𝑝)   𝐹(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐻(𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑚,𝑝)   𝐿(𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑓,𝑘)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑋(𝑘)   𝑍(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem107
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem107.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 = (𝐵𝐴)
21oveq2i 6824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴𝑋) + 𝑇) = ((𝐴𝑋) + (𝐵𝐴))
3 fourierdlem107.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
43recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5 fourierdlem107.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
65rpred 12065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
76recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
8 fourierdlem107.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
98recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
104, 7, 9, 4subadd4b 39993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴𝑋) + (𝐵𝐴)) = ((𝐴𝐴) + (𝐵𝑋)))
112, 10syl5eq 2806 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴𝑋) + 𝑇) = ((𝐴𝐴) + (𝐵𝑋)))
124subidd 10572 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴𝐴) = 0)
1312oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴𝐴) + (𝐵𝑋)) = (0 + (𝐵𝑋)))
148, 6resubcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
1514recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℂ)
1615addid2d 10429 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 + (𝐵𝑋)) = (𝐵𝑋))
1711, 13, 163eqtrd 2798 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴𝑋) + 𝑇) = (𝐵𝑋))
181oveq2i 6824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 + 𝑇) = (𝐴 + (𝐵𝐴))
194, 9pncan3d 10587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
2018, 19syl5eq 2806 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) = 𝐵)
2117, 20oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐴𝑋) + 𝑇)[,](𝐴 + 𝑇)) = ((𝐵𝑋)[,]𝐵))
2221eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵𝑋)[,]𝐵) = (((𝐴𝑋) + 𝑇)[,](𝐴 + 𝑇)))
2322itgeq1d 40675 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(((𝐴𝑋) + 𝑇)[,](𝐴 + 𝑇))(𝐹𝑥) d𝑥)
243, 6resubcld 10650 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
25 fourierdlem107.o . . . . . . . . . . . . 13 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
26 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑗 → (𝑝𝑖) = (𝑝𝑗))
27 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
2827fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑗 → (𝑝‘(𝑖 + 1)) = (𝑝‘(𝑗 + 1)))
2926, 28breq12d 4817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1))))
3029cbvralv 3310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1))))
3231anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → ((((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))))
3332rabbidv 3329 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))} = {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
3433mpteq2ia 4892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
3525, 34eqtri 2782 . . . . . . . . . . . 12 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
36 fourierdlem107.p . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
37 fourierdlem107.m . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
38 fourierdlem107.q . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
393, 5ltsubrpd 12097 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴𝑋) < 𝐴)
40 fourierdlem107.h . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐻 = ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
41 fourierdlem107.n . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
42 fourierdlem107.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
431, 36, 37, 38, 24, 3, 39, 25, 40, 41, 42fourierdlem54 40880 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂𝑁)) ∧ 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻)))
4443simpld 477 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂𝑁)))
4544simpld 477 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
468, 3resubcld 10650 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
471, 46syl5eqel 2843 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
4844simprd 482 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ (𝑂𝑁))
4924adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴)) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
503adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
51 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴)) → 𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴))
52 eliccre 40231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5349, 50, 51, 52syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
54 fourierdlem107.fper . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
5553, 54syldan 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
56 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 → (𝑆𝑖) = (𝑆𝑗))
5756oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑆𝑖) + 𝑇) = ((𝑆𝑗) + 𝑇))
5857cbvmptv 4902 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆𝑖) + 𝑇)) = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆𝑗) + 𝑇))
59 eqid 2760 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = ((𝐴𝑋) + 𝑇) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐴 + 𝑇)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = ((𝐴𝑋) + 𝑇) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐴 + 𝑇)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
60 fourierdlem107.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
6137adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
6238adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
6360adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
6454adantlr 753 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
65 fourierdlem107.fcn . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
6665adantlr 753 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
6724adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
6867rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ*)
69 pnfxr 10284 . . . . . . . . . . . . . . 15 +∞ ∈ ℝ*
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → +∞ ∈ ℝ*)
713adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7239adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴𝑋) < 𝐴)
733ltpnfd 12148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 < +∞)
7473adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 < +∞)
7568, 70, 71, 72, 74eliood 40223 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ((𝐴𝑋)(,)+∞))
76 fourierdlem107.e . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
77 fourierdlem107.z . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
78 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (0..^𝑁))
79 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))
80 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))) = (𝐹 ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))
81 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))‘(𝑦 − ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))))) = (𝑦 ∈ (((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))‘(𝑦 − ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))))
82 fourierdlem107.i . . . . . . . . . . . . 13 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝑍‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
8336, 1, 61, 62, 63, 64, 66, 67, 75, 25, 40, 41, 42, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82fourierdlem90 40916 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
84 fourierdlem107.r . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
8584adantlr 753 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
86 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)
8736, 1, 61, 62, 63, 64, 66, 85, 67, 75, 25, 40, 41, 42, 76, 77, 78, 79, 82, 86fourierdlem89 40915 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗))), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)‘(𝐼‘(𝑆𝑗))), (𝐹‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) lim (𝑆𝑗)))
88 fourierdlem107.l . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
8988adantlr 753 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
90 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)
9136, 1, 61, 62, 63, 64, 66, 89, 67, 75, 25, 40, 41, 42, 76, 77, 78, 79, 82, 90fourierdlem91 40917 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1)), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)‘(𝐼‘(𝑆𝑗))), (𝐹‘(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) lim (𝑆‘(𝑗 + 1))))
9224, 3, 35, 45, 47, 48, 55, 58, 59, 60, 83, 87, 91fourierdlem92 40918 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫(((𝐴𝑋) + 𝑇)[,](𝐴 + 𝑇))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)
9323, 92eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)
9460adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
9514adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵)) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
968adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
97 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵))
98 eliccre 40231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
9995, 96, 97, 98syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10094, 99ffvelrnd 6523 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
10114rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℝ*)
10269a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
1038, 5ltsubrpd 12097 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵𝑋) < 𝐵)
1048ltpnfd 12148 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 < +∞)
105101, 102, 8, 103, 104eliood 40223 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ((𝐵𝑋)(,)+∞))
10636, 1, 37, 38, 60, 54, 65, 84, 88, 14, 105fourierdlem105 40931 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
107100, 106itgcl 23749 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
10893, 107eqeltrrd 2840 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
109108subidd 10572 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) = 0)
110109eqcomd 2766 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 = (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
111110adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 0 = (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
11224adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
1133adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
11414adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
11536, 37, 38fourierdlem11 40838 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
116115simp3d 1139 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 < 𝐵)
1173, 8, 116ltled 10377 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐵)
118117adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝐴𝐵)
1193, 8, 6lesub1d 10826 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑋) ≤ (𝐵𝑋)))
120119adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑋) ≤ (𝐵𝑋)))
121118, 120mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝐴𝑋) ≤ (𝐵𝑋))
1228adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
1236adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
124 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝑇 < 𝑋)
1251, 124syl5eqbrr 4840 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝐵𝐴) < 𝑋)
126122, 113, 123, 125ltsub23d 10824 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝐵𝑋) < 𝐴)
127114, 113, 126ltled 10377 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝐵𝑋) ≤ 𝐴)
128112, 113, 114, 121, 127eliccd 40229 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝐵𝑋) ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴))
12960adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
130129, 53ffvelrnd 6523 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
131130adantlr 753 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑇 < 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
13224rexrd 10281 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ ℝ*)
1333, 8, 6, 116ltsub1dd 10831 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴𝑋) < (𝐵𝑋))
13414ltpnfd 12148 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝑋) < +∞)
135132, 102, 14, 133, 134eliood 40223 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ((𝐴𝑋)(,)+∞))
13636, 1, 37, 38, 60, 54, 65, 84, 88, 24, 135fourierdlem105 40931 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
137136adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
13837adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝑀 ∈ ℕ)
13938adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
14060adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
14154adantlr 753 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑇 < 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
14265adantlr 753 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑇 < 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
14384adantlr 753 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑇 < 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
14488adantlr 753 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑇 < 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
145101adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ*)
14669a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
147113ltpnfd 12148 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝐴 < +∞)
148145, 146, 113, 126, 147eliood 40223 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝐴 ∈ ((𝐵𝑋)(,)+∞))
14936, 1, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 114, 148fourierdlem105 40931 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐴) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
150112, 113, 128, 131, 137, 149itgspliticc 23802 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 = (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
151150oveq1d 6828 . . . . . 6 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) = ((∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
15260adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
15324adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
15414adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
155 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)))
156 eliccre 40231 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
157153, 154, 155, 156syl3anc 1477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
158152, 157ffvelrnd 6523 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
159158, 136itgcl 23749 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
160159adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
16160adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐴)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
16214adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐴)) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
1633adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
164 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐴)) → 𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐴))
165 eliccre 40231 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
166162, 163, 164, 165syl3anc 1477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
167161, 166ffvelrnd 6523 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
168167adantlr 753 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑇 < 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
169168, 149itgcl 23749 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
170108adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
171160, 169, 170addsubassd 10604 . . . . . 6 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ((∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)))
172111, 151, 1713eqtrd 2798 . . . . 5 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 0 = (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)))
173172oveq2d 6829 . . . 4 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 − 0) = (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))))
174160subid1d 10573 . . . 4 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 − 0) = ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥)
175159subidd 10572 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥) = 0)
176175oveq1d 6828 . . . . . 6 (𝜑 → ((∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥) − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)) = (0 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)))
177176adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ((∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥) − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)) = (0 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)))
178169, 170subcld 10584 . . . . . 6 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) ∈ ℂ)
179160, 160, 178subsub4d 10615 . . . . 5 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ((∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥) − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)) = (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))))
180 df-neg 10461 . . . . . 6 -(∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) = (0 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
181169, 170negsubdi2d 10600 . . . . . 6 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → -(∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
182180, 181syl5eqr 2808 . . . . 5 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (0 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)) = (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
183177, 179, 1823eqtr3d 2802 . . . 4 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))) = (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
184173, 174, 1833eqtr3d 2802 . . 3 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
185107subidd 10572 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = 0)
186185eqcomd 2766 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
187186oveq2d 6829 . . . . . 6 (𝜑 → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + 0) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
188187adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + 0) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
189169addid1d 10428 . . . . 5 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + 0) = ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)
190114, 122, 113, 127, 118eliccd 40229 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → 𝐴 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵))
191100adantlr 753 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑇 < 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
1923, 8iccssred 40230 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
19360, 192feqresmpt 6412 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)))
19460, 192fssresd 6232 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)):(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
195 ioossicc 12452 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
1963rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
197196adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
1988rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
199198adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20036, 37, 38fourierdlem15 40842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
201200adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
202 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
203197, 199, 201, 202fourierdlem8 40835 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
204195, 203syl5ss 3755 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
205204resabs1d 5586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
206205, 65eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
207205eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
208207oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
20984, 208eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
210207oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
21188, 210eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
21236, 37, 38, 194, 206, 209, 211fourierdlem69 40895 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ 𝐿1)
213193, 212eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
214213adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
215114, 122, 190, 191, 149, 214itgspliticc 23802 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
216215oveq2d 6829 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
217216oveq2d 6829 . . . . . 6 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))))
218107adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
219215, 218eqeltrrd 2840 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) ∈ ℂ)
220169, 218, 219addsub12d 10607 . . . . . 6 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))))
22160adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
2223adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2238adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
224 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
225 eliccre 40231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
226222, 223, 224, 225syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
227221, 226ffvelrnd 6523 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
228227, 213itgcl 23749 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
229228adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
230169, 169, 229subsub4d 10615 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ((∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
231230eqcomd 2766 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = ((∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
232231oveq2d 6829 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + ((∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
233169subidd 10572 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) = 0)
234233oveq1d 6828 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ((∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = (0 − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
235 df-neg 10461 . . . . . . . . 9 -∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = (0 − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
236234, 235syl6eqr 2812 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ((∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = -∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
237236oveq2d 6829 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + ((∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + -∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
238218, 229negsubd 10590 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + -∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
239232, 237, 2383eqtrd 2798 . . . . . 6 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
240217, 220, 2393eqtrd 2798 . . . . 5 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
241188, 189, 2403eqtr3d 2802 . . . 4 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 = (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
242241oveq2d 6829 . . 3 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
243108, 107, 228subsubd 10612 . . . . 5 (𝜑 → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = ((∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
24493oveq2d 6829 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
245244, 109eqtrd 2794 . . . . . 6 (𝜑 → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = 0)
246245oveq1d 6828 . . . . 5 (𝜑 → ((∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = (0 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
247228addid2d 10429 . . . . 5 (𝜑 → (0 + ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
248243, 246, 2473eqtrd 2798 . . . 4 (𝜑 → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
249248adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
250184, 242, 2493eqtrd 2798 . 2 ((𝜑𝑇 < 𝑋) → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
25124adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑇) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
25214adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑇) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
2533adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑇) → 𝐴 ∈ ℝ)
25424, 3, 39ltled 10377 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝑋) ≤ 𝐴)
255254adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑇) → (𝐴𝑋) ≤ 𝐴)
2566adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑇) → 𝑋 ∈ ℝ)
2578adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑇) → 𝐵 ∈ ℝ)
258 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑇𝑋𝑇)
259258, 1syl6breq 4845 . . . . . . . 8 (𝑋𝑇𝑋 ≤ (𝐵𝐴))
260259adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑇) → 𝑋 ≤ (𝐵𝐴))
261256, 257, 253, 260lesubd 10823 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑇) → 𝐴 ≤ (𝐵𝑋))
262251, 252, 253, 255, 261eliccd 40229 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑇) → 𝐴 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)))
263158adantlr 753 . . . . 5 (((𝜑𝑋𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
264132, 102, 3, 39, 73eliood 40223 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ((𝐴𝑋)(,)+∞))
26536, 1, 37, 38, 60, 54, 65, 84, 88, 24, 264fourierdlem105 40931 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
266265adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑇) → (𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
2673leidd 10786 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐴)
2685rpge0d 12069 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
2698, 6subge02d 10811 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ≤ 𝑋 ↔ (𝐵𝑋) ≤ 𝐵))
270268, 269mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝑋) ≤ 𝐵)
271 iccss 12434 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐴 ∧ (𝐵𝑋) ≤ 𝐵)) → (𝐴[,](𝐵𝑋)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
2723, 8, 267, 270, 271syl22anc 1478 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,](𝐵𝑋)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
273 iccmbl 23534 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑋) ∈ ℝ) → (𝐴[,](𝐵𝑋)) ∈ dom vol)
2743, 14, 273syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,](𝐵𝑋)) ∈ dom vol)
275272, 274, 227, 213iblss 23770 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,](𝐵𝑋)) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
276275adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑇) → (𝑥 ∈ (𝐴[,](𝐵𝑋)) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
277251, 252, 262, 263, 266, 276itgspliticc 23802 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑇) → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥))
278268adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝑇) → 0 ≤ 𝑋)
279269adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝑇) → (0 ≤ 𝑋 ↔ (𝐵𝑋) ≤ 𝐵))
280278, 279mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝑇) → (𝐵𝑋) ≤ 𝐵)
281253, 257, 252, 261, 280eliccd 40229 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝑇) → (𝐵𝑋) ∈ (𝐴[,]𝐵))
282227adantlr 753 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
2838leidd 10786 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵𝐵)
284283adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝑇) → 𝐵𝐵)
285 iccss 12434 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ (𝐵𝑋) ∧ 𝐵𝐵)) → ((𝐵𝑋)[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
286253, 257, 261, 284, 285syl22anc 1478 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝑇) → ((𝐵𝑋)[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
287 iccmbl 23534 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵𝑋)[,]𝐵) ∈ dom vol)
28814, 8, 287syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵𝑋)[,]𝐵) ∈ dom vol)
289288adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝑇) → ((𝐵𝑋)[,]𝐵) ∈ dom vol)
290213adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝑇) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
291286, 289, 282, 290iblss 23770 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝑇) → (𝑥 ∈ ((𝐵𝑋)[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
292253, 257, 281, 282, 276, 291itgspliticc 23802 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑇) → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = (∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
293292oveq1d 6828 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑇) → (∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = ((∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
29460adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,](𝐵𝑋))) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
2953adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,](𝐵𝑋))) → 𝐴 ∈ ℝ)
29614adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,](𝐵𝑋))) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
297 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,](𝐵𝑋))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,](𝐵𝑋)))
298 eliccre 40231 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,](𝐵𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
299295, 296, 297, 298syl3anc 1477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,](𝐵𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
300294, 299ffvelrnd 6523 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,](𝐵𝑋))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
301300, 275itgcl 23749 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
302301, 107, 107addsubassd 10604 . . . . . . 7 (𝜑 → ((∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
303302adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑇) → ((∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
304185oveq2d 6829 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = (∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + 0))
305301addid1d 10428 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + 0) = ∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥)
306304, 305eqtrd 2794 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = ∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥)
307306adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑇) → (∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = ∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥)
308293, 303, 3073eqtrrd 2799 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑇) → ∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = (∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
309308oveq2d 6829 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑇) → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫(𝐴[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
31093adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑇) → ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥)
311107adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑇) → ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
312310, 311eqeltrrd 2840 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑇) → ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
313282, 290itgcl 23749 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑇) → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
314312, 313, 311addsub12d 10607 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑇) → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = (∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
315313, 312, 311addsubassd 10604 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑇) → ((∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = (∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)))
316314, 315eqtr4d 2797 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑇) → (∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥 + (∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)) = ((∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
317277, 309, 3163eqtrd 2798 . . 3 ((𝜑𝑋𝑇) → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ((∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥))
318310oveq2d 6829 . . 3 ((𝜑𝑋𝑇) → ((∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐵𝑋)[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥) = ((∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥))
319313, 312pncand 10585 . . 3 ((𝜑𝑋𝑇) → ((∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 + ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) − ∫((𝐴𝑋)[,]𝐴)(𝐹𝑥) d𝑥) = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
320317, 318, 3193eqtrd 2798 . 2 ((𝜑𝑋𝑇) → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
321250, 320, 47, 6ltlecasei 10337 1 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  {crab 3054  cun 3713  wss 3715  ifcif 4230  {cpr 4323   class class class wbr 4804  cmpt 4881  dom cdm 5266  ran crn 5267  cres 5268  cio 6010  wf 6045  cfv 6049   Isom wiso 6050  (class class class)co 6813  𝑚 cmap 8023  supcsup 8511  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  +∞cpnf 10263  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458  -cneg 10459   / cdiv 10876  cn 11212  cz 11569  +crp 12025  (,)cioo 12368  (,]cioc 12369  [,]cicc 12371  ...cfz 12519  ..^cfzo 12659  cfl 12785  chash 13311  cnccncf 22880  volcvol 23432  𝐿1cibl 23585  citg 23586   lim climc 23825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cc 9449  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-ofr 7063  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-cmp 21392  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-ovol 23433  df-vol 23434  df-mbf 23587  df-itg1 23588  df-itg2 23589  df-ibl 23590  df-itg 23591  df-0p 23636  df-ditg 23810  df-limc 23829  df-dv 23830
This theorem is referenced by:  fourierdlem108  40934
  Copyright terms: Public domain W3C validator