Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem101 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem101 40742
Description: Integral by substitution for a piecewise continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem101.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
fourierdlem101.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem101.g 𝐺 = (𝑡 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
fourierdlem101.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem101.6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem101.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
fourierdlem101.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem101.f (𝜑𝐹:(-π[,]π)⟶ℂ)
fourierdlem101.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem101.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem101.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem101 (𝜑 → ∫(-π[,]π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) d𝑡 = ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘𝑠)) d𝑠)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑠,𝑡   𝑡,𝐹   𝑖,𝐺,𝑠,𝑡   𝑡,𝐿   𝑖,𝑀,𝑠,𝑡   𝑚,𝑀,𝑝,𝑖   𝑛,𝑁,𝑠   𝑡,𝑁   𝑄,𝑖,𝑠,𝑡   𝑄,𝑝   𝑡,𝑅   𝑖,𝑋,𝑠,𝑡   𝜑,𝑖,𝑠,𝑡   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐷(𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑃(𝑡,𝑖,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝)   𝑄(𝑚,𝑛)   𝑅(𝑖,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝)   𝐹(𝑖,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝)   𝐺(𝑚,𝑛,𝑝)   𝐿(𝑖,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑋(𝑚,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem101
Dummy variables 𝑟 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → 𝑡 ∈ (-π[,]π))
2 fourierdlem101.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(-π[,]π)⟶ℂ)
32ffvelrnda 6399 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
4 fourierdlem101.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → 𝑁 ∈ ℕ)
6 pire 24255 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℝ
76renegcli 10380 . . . . . . . . . . 11 -π ∈ ℝ
8 eliccre 40046 . . . . . . . . . . 11 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (-π[,]π)) → 𝑡 ∈ ℝ)
97, 6, 8mp3an12 1454 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (-π[,]π) → 𝑡 ∈ ℝ)
109adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → 𝑡 ∈ ℝ)
11 fourierdlem101.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1211adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
1310, 12resubcld 10496 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
14 fourierdlem101.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
1514dirkerre 40630 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑡𝑋) ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℝ)
165, 13, 15syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℝ)
1716recnd 10106 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℂ)
183, 17mulcld 10098 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ℂ)
19 fourierdlem101.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑡 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
2019fvmpt2 6330 . . . . 5 ((𝑡 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ℂ) → (𝐺𝑡) = ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
211, 18, 20syl2anc 694 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → (𝐺𝑡) = ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
2221eqcomd 2657 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = (𝐺𝑡))
2322itgeq2dv 23593 . 2 (𝜑 → ∫(-π[,]π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) d𝑡 = ∫(-π[,]π)(𝐺𝑡) d𝑡)
24 fourierdlem101.p . . 3 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
25 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑗 = 𝑖 → (𝑄𝑗) = (𝑄𝑖))
2625oveq1d 6705 . . . 4 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄𝑗) − 𝑋) = ((𝑄𝑖) − 𝑋))
2726cbvmptv 4783 . . 3 (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑗) − 𝑋)) = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑖) − 𝑋))
28 fourierdlem101.6 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
29 fourierdlem101.q . . 3 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
3018, 19fmptd 6425 . . 3 (𝜑𝐺:(-π[,]π)⟶ℂ)
3119reseq1i 5424 . . . . 5 (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑡 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
32 ioossicc 12297 . . . . . . 7 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
337a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
3433rexrd 10127 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -π ∈ ℝ*)
3534adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -π ∈ ℝ*)
366a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → π ∈ ℝ)
3736rexrd 10127 . . . . . . . . 9 (𝜑 → π ∈ ℝ*)
3837adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → π ∈ ℝ*)
3924, 28, 29fourierdlem15 40657 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
4039adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
41 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
4235, 38, 40, 41fourierdlem8 40650 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
4332, 42syl5ss 3647 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
4443resmptd 5487 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))))
4531, 44syl5eq 2697 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))))
462adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:(-π[,]π)⟶ℂ)
4746, 43feqresmpt 6289 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑡)))
48 fourierdlem101.fcn . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
4947, 48eqeltrrd 2731 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
50 eqidd 2652 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)))
51 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟)) → 𝑠 = ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟))
52 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋)) = (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋)))
53 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = 𝑟 → (𝑡𝑋) = (𝑟𝑋))
5453adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑡 = 𝑟) → (𝑡𝑋) = (𝑟𝑋))
55 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
56 elioore 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑟 ∈ ℝ)
5756adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
5811adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
5957, 58resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟𝑋) ∈ ℝ)
6059adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑟𝑋) ∈ ℝ)
6152, 54, 55, 60fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟) = (𝑟𝑋))
6261adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟)) → ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟) = (𝑟𝑋))
6351, 62eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟)) → 𝑠 = (𝑟𝑋))
6463fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟)) → ((𝐷𝑁)‘𝑠) = ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋)))
65 elioore 12243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑡 ∈ ℝ)
6665adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑡 ∈ ℝ)
6711adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
6866, 67resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
6968adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
70 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋)) = (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))
7169, 70fmptd 6425 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋)):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
7271ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟) ∈ ℝ)
734ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
7414dirkerre 40630 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑟𝑋) ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋)) ∈ ℝ)
7573, 60, 74syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋)) ∈ ℝ)
7650, 64, 72, 75fvmptd 6327 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠))‘((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋)))
7776eqcomd 2657 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋)) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠))‘((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟)))
7877mpteq2dva 4777 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋))) = (𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠))‘((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟))))
7953fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑟 → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋)))
8079cbvmptv 4783 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = (𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋)))
8180a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = (𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑟𝑋))))
8214dirkerre 40630 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘𝑠) ∈ ℝ)
834, 82sylan 487 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘𝑠) ∈ ℝ)
84 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠))
8583, 84fmptd 6425 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)):ℝ⟶ℝ)
8685adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)):ℝ⟶ℝ)
87 fcompt 6440 . . . . . . . 8 (((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)):ℝ⟶ℝ ∧ (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋)):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ) → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∘ (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))) = (𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠))‘((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟))))
8886, 71, 87syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∘ (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))) = (𝑟 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠))‘((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))‘𝑟))))
8978, 81, 883eqtr4d 2695 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∘ (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))))
90 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑋)) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑋))
91 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → 𝑡 ∈ ℂ)
9211recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
9491, 93negsubd 10436 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡 + -𝑋) = (𝑡𝑋))
9594eqcomd 2657 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡𝑋) = (𝑡 + -𝑋))
9695mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑋)) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡 + -𝑋)))
9792negcld 10417 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -𝑋 ∈ ℂ)
98 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡 + -𝑋)) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡 + -𝑋))
9998addccncf 22766 . . . . . . . . . . 11 (-𝑋 ∈ ℂ → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡 + -𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
10097, 99syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡 + -𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
10196, 100eqeltrd 2730 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
102101adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
103 ioossre 12273 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ
104 ax-resscn 10031 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
105103, 104sstri 3645 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
106105a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
107104a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ℝ ⊆ ℂ)
10890, 102, 106, 107, 69cncfmptssg 40401 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
10983recnd 10106 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘𝑠) ∈ ℂ)
110109, 84fmptd 6425 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)):ℝ⟶ℂ)
111 ssid 3657 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
11214dirkerf 40632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
1134, 112syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
114113feqmptd 6288 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷𝑁) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)))
11514dirkercncf 40642 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
1164, 115syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷𝑁) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
117114, 116eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
118 cncffvrn 22748 . . . . . . . . . 10 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℝ)) → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℂ) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)):ℝ⟶ℂ))
119111, 117, 118sylancr 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℂ) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)):ℝ⟶ℂ))
120110, 119mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
121120adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
122108, 121cncfco 22757 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∘ (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑡𝑋))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
12389, 122eqeltrd 2730 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
12449, 123mulcncf 23261 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
12545, 124eqeltrd 2730 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
126 cncff 22743 . . . . . . . 8 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
12748, 126syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
128113adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
129 elioore 12243 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑠 ∈ ℝ)
130129adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
13111adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
132130, 131resubcld 10496 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑠𝑋) ∈ ℝ)
133128, 132ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)) ∈ ℝ)
134133recnd 10106 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)) ∈ ℂ)
135 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))
136134, 135fmptd 6425 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
137136adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
138 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) = (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)))
139 fourierdlem101.r . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
140 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = (𝑄𝑖) → (𝑡𝑋) = ((𝑄𝑖) − 𝑋))
141140fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = (𝑄𝑖) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)))
142141eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = (𝑄𝑖) → ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
143142adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
144 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))))
145 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑡 → (𝑠𝑋) = (𝑡𝑋))
146145fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑡 → ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
147146adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄𝑖)) ∧ 𝑠 = 𝑡) → ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
148 velsn 4226 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ {(𝑄𝑖)} ↔ 𝑡 = (𝑄𝑖))
149148notbii 309 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡 ∈ {(𝑄𝑖)} ↔ ¬ 𝑡 = (𝑄𝑖))
150 elunnel2 39512 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ∧ ¬ 𝑡 ∈ {(𝑄𝑖)}) → 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
151149, 150sylan2br 492 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
152151adantll 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
153113ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
154 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → 𝑡 = (𝑄𝑖))
1559ssriv 3640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-π[,]π) ⊆ ℝ
156 fzossfz 12527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
157156, 41sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
15840, 157ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ (-π[,]π))
159155, 158sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
160159adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
161154, 160eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → 𝑡 ∈ ℝ)
162161adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → 𝑡 ∈ ℝ)
163152, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → 𝑡 ∈ ℝ)
164162, 163pm2.61dan 849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → 𝑡 ∈ ℝ)
16511ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → 𝑋 ∈ ℝ)
166164, 165resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
167153, 166ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℝ)
168167adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℝ)
169144, 147, 152, 168fvmptd 6327 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄𝑖)) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
170143, 169ifeqda 4154 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → if(𝑡 = (𝑄𝑖), ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
171170mpteq2dva 4777 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ if(𝑡 = (𝑄𝑖), ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) = (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
172113adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
173 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → 𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}))
174 elun 3786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↔ (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ 𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)}))
175173, 174sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ 𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)}))
176175adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ 𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)}))
177 elsni 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)} → 𝑠 = (𝑄𝑖))
178177adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)}) → 𝑠 = (𝑄𝑖))
179159adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)}) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
180178, 179eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)}) → 𝑠 ∈ ℝ)
181180ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)} → 𝑠 ∈ ℝ))
182181adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → (𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)} → 𝑠 ∈ ℝ))
183 pm3.44 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)} → 𝑠 ∈ ℝ)) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ 𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)}) → 𝑠 ∈ ℝ))
184129, 182, 183sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ 𝑠 ∈ {(𝑄𝑖)}) → 𝑠 ∈ ℝ))
185176, 184mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → 𝑠 ∈ ℝ)
18611ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → 𝑋 ∈ ℝ)
187185, 186resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → (𝑠𝑋) ∈ ℝ)
188 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋)) = (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))
189187, 188fmptd 6425 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋)):(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})⟶ℝ)
190 fcompt 6440 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ ∧ (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋)):(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})⟶ℝ) → ((𝐷𝑁) ∘ (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))) = (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘((𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))‘𝑡))))
191172, 189, 190syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑁) ∘ (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))) = (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘((𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))‘𝑡))))
192 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋)) = (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋)))
193145adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ 𝑠 = 𝑡) → (𝑠𝑋) = (𝑡𝑋))
194 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}))
195192, 193, 194, 166fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → ((𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))‘𝑡) = (𝑡𝑋))
196195fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → ((𝐷𝑁)‘((𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))‘𝑡)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
197196mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘((𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))‘𝑡))) = (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
198191, 197eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = ((𝐷𝑁) ∘ (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))))
199 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠𝑋)) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠𝑋))
200 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑠 ∈ ℂ) → 𝑠 ∈ ℂ)
20192adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑠 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
202200, 201negsubd 10436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑠 ∈ ℂ) → (𝑠 + -𝑋) = (𝑠𝑋))
203202eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑠 ∈ ℂ) → (𝑠𝑋) = (𝑠 + -𝑋))
204203mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠𝑋)) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 + -𝑋)))
205 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 + -𝑋)) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 + -𝑋))
206205addccncf 22766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-𝑋 ∈ ℂ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 + -𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
20797, 206syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 + -𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
208204, 207eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
209208adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠𝑋)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
210159recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
211210snssd 4372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {(𝑄𝑖)} ⊆ ℂ)
212106, 211unssd 3822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ⊆ ℂ)
213199, 209, 212, 107, 187cncfmptssg 40401 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋)) ∈ ((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})–cn→ℝ))
214114, 120eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐷𝑁) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
215214adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷𝑁) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
216213, 215cncfco 22757 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑁) ∘ (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))) ∈ ((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})–cn→ℂ))
217 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
218 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}))
219217cnfldtop 22634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
220 unicntop 22636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
221220restid 16141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
222219, 221ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
223222eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
224217, 218, 223cncfcn 22759 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
225212, 111, 224sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
226216, 225eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑁) ∘ (𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ (𝑠𝑋))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
227198, 226eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
228217cnfldtopon 22633 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
229 resttopon 21013 . . . . . . . . . . . . . 14 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∈ (TopOn‘(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})))
230228, 212, 229sylancr 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∈ (TopOn‘(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})))
231 cncnp 21132 . . . . . . . . . . . . 13 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∈ (TopOn‘(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))):(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))))
232230, 228, 231sylancl 695 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))):(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))))
233227, 232mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))):(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)))
234233simprd 478 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
235 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑖))
236 elsng 4224 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄𝑖) ∈ ℝ → ((𝑄𝑖) ∈ {(𝑄𝑖)} ↔ (𝑄𝑖) = (𝑄𝑖)))
237159, 236syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) ∈ {(𝑄𝑖)} ↔ (𝑄𝑖) = (𝑄𝑖)))
238235, 237mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ {(𝑄𝑖)})
239238olcd 407 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ (𝑄𝑖) ∈ {(𝑄𝑖)}))
240 elun 3786 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄𝑖) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↔ ((𝑄𝑖) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ (𝑄𝑖) ∈ {(𝑄𝑖)}))
241239, 240sylibr 224 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}))
242 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = (𝑄𝑖) → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄𝑖)))
243242eleq2d 2716 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = (𝑄𝑖) → ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ↔ (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄𝑖))))
244243rspccva 3339 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ∧ (𝑄𝑖) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄𝑖)))
245234, 241, 244syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄𝑖)))
246171, 245eqeltrd 2730 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ if(𝑡 = (𝑄𝑖), ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄𝑖)))
247 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ if(𝑡 = (𝑄𝑖), ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) = (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ if(𝑡 = (𝑄𝑖), ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)))
248218, 217, 247, 137, 106, 210ellimc 23682 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))) lim (𝑄𝑖)) ↔ (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)}) ↦ if(𝑡 = (𝑄𝑖), ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄𝑖)})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄𝑖))))
249246, 248mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))) lim (𝑄𝑖)))
250127, 137, 138, 139, 249mullimcf 40173 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋))) ∈ ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) lim (𝑄𝑖)))
251 fvres 6245 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) = (𝐹𝑡))
252251adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) = (𝐹𝑡))
253252oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝐹𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)))
254253mpteq2dva 4777 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) = (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))))
255254oveq1d 6705 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) lim (𝑄𝑖)))
256250, 255eleqtrd 2732 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋))) ∈ ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) lim (𝑄𝑖)))
257 eqidd 2652 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))))
258 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = 𝑡) → 𝑠 = 𝑡)
259258oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = 𝑡) → (𝑠𝑋) = (𝑡𝑋))
260259fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = 𝑡) → ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
261 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
262113ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
263262, 69ffvelrnd 6400 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℝ)
264257, 260, 261, 263fvmptd 6327 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
265264oveq2d 6706 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
266265mpteq2dva 4777 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) = (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))))
267266oveq1d 6705 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))) lim (𝑄𝑖)))
268256, 267eleqtrd 2732 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋))) ∈ ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))) lim (𝑄𝑖)))
26945eqcomd 2657 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
270269oveq1d 6705 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
271268, 270eleqtrd 2732 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · ((𝐷𝑁)‘((𝑄𝑖) − 𝑋))) ∈ ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
272 fourierdlem101.l . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
273 iftrue 4125 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)))
274 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → (𝑡𝑋) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
275274eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) = (𝑡𝑋))
276275fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
277273, 276eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
278277adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
279 iffalse 4128 . . . . . . . . . . 11 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))
280279adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))
281 eqidd 2652 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))))
282146adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑠 = 𝑡) → ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
283 elun 3786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↔ (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ 𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
284283biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ 𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
285284orcomd 402 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) → (𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ∨ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
286285ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ∨ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
287 velsn 4226 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ↔ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
288287notbii 309 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ↔ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
289288biimpri 218 . . . . . . . . . . . . 13 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → ¬ 𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})
290289adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ¬ 𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})
291 pm2.53 387 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ∨ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (¬ 𝑡 ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))} → 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
292286, 290, 291sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
293172ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
294292, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑡 ∈ ℝ)
29511ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑋 ∈ ℝ)
296294, 295resubcld 10496 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
297293, 296ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℝ)
298281, 282, 292, 297fvmptd 6327 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
299280, 298eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ ¬ 𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1))) → if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
300278, 299pm2.61dan 849 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) → if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)) = ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
301300mpteq2dva 4777 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) = (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
302 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))
303104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
304 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
30511adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
306304, 305resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
30790, 101, 303, 303, 306cncfmptssg 40401 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡𝑋)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
308307, 214cncfcompt 40414 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
309308adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
310103a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
311 fzofzp1 12605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
312311adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
31340, 312ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (-π[,]π))
314155, 313sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
315314snssd 4372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ⊆ ℝ)
316310, 315unssd 3822 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ⊆ ℝ)
317111a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ℂ ⊆ ℂ)
318172adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
319316sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) → 𝑡 ∈ ℝ)
32011ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) → 𝑋 ∈ ℝ)
321319, 320resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
322318, 321ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℝ)
323322recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℂ)
324302, 309, 316, 317, 323cncfmptssg 40401 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})–cn→ℂ))
325155, 104sstri 3645 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-π[,]π) ⊆ ℂ
326325, 313sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
327326snssd 4372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ⊆ ℂ)
328106, 327unssd 3822 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ⊆ ℂ)
329 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
330217, 329, 223cncfcn 22759 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
331328, 111, 330sylancl 695 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
332324, 331eleqtrd 2732 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
333 resttopon 21013 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∈ (TopOn‘(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})))
334228, 328, 333sylancr 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∈ (TopOn‘(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})))
335 cncnp 21132 . . . . . . . . . . 11 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∈ (TopOn‘(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))):(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))))
336334, 228, 335sylancl 695 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))):(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))))
337332, 336mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))):(((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)))
338337simprd 478 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
339 eqidd 2652 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
340 elsng 4224 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ↔ (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1))))
341314, 340syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))} ↔ (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1))))
342339, 341mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})
343342olcd 407 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
344 elun 3786 . . . . . . . . 9 ((𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↔ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∨ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
345343, 344sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
346 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄‘(𝑖 + 1))))
347346eleq2d 2716 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝑄‘(𝑖 + 1)) → ((𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ↔ (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
348347rspccva 3339 . . . . . . . 8 ((∀𝑠 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})(𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄‘(𝑖 + 1))))
349338, 345, 348syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄‘(𝑖 + 1))))
350301, 349eqeltrd 2730 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄‘(𝑖 + 1))))
351 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) = (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡)))
352329, 217, 351, 137, 106, 326ellimc 23682 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↦ if(𝑡 = (𝑄‘(𝑖 + 1)), ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)), ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
353350, 352mpbird 247 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
354127, 137, 138, 272, 353mullimcf 40173 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐿 · ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))) ∈ ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
355266, 254, 453eqtr4d 2695 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
356355oveq1d 6705 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) · ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑁)‘(𝑠𝑋)))‘𝑡))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
357354, 356eleqtrd 2732 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐿 · ((𝐷𝑁)‘((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))) ∈ ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
35824, 27, 28, 29, 11, 30, 125, 271, 357fourierdlem93 40734 . 2 (𝜑 → ∫(-π[,]π)(𝐺𝑡) d𝑡 = ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))(𝐺‘(𝑋 + 𝑠)) d𝑠)
35919a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝐺 = (𝑡 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)))))
360 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → (𝐹𝑡) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
361360oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
362361adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) ∧ 𝑡 = (𝑋 + 𝑠)) → ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))))
363 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → (𝑡𝑋) = ((𝑋 + 𝑠) − 𝑋))
36492adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑋 ∈ ℂ)
36533, 11resubcld 10496 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (-π − 𝑋) ∈ ℝ)
366365adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (-π − 𝑋) ∈ ℝ)
36736, 11resubcld 10496 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (π − 𝑋) ∈ ℝ)
368367adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (π − 𝑋) ∈ ℝ)
369 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋)))
370 eliccre 40046 . . . . . . . . . . 11 (((-π − 𝑋) ∈ ℝ ∧ (π − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑠 ∈ ℝ)
371366, 368, 369, 370syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑠 ∈ ℝ)
372371recnd 10106 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑠 ∈ ℂ)
373364, 372pncan2d 10432 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → ((𝑋 + 𝑠) − 𝑋) = 𝑠)
374363, 373sylan9eqr 2707 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) ∧ 𝑡 = (𝑋 + 𝑠)) → (𝑡𝑋) = 𝑠)
375374fveq2d 6233 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) ∧ 𝑡 = (𝑋 + 𝑠)) → ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋)) = ((𝐷𝑁)‘𝑠))
376375oveq2d 6706 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) ∧ 𝑡 = (𝑋 + 𝑠)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘𝑠)))
377362, 376eqtrd 2685 . . . 4 (((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) ∧ 𝑡 = (𝑋 + 𝑠)) → ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘𝑠)))
3787a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → -π ∈ ℝ)
3796a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → π ∈ ℝ)
38011adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ)
381380, 371readdcld 10107 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
38233recnd 10106 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -π ∈ ℂ)
38392, 382pncan3d 10433 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 + (-π − 𝑋)) = -π)
384383eqcomd 2657 . . . . . . 7 (𝜑 → -π = (𝑋 + (-π − 𝑋)))
385384adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → -π = (𝑋 + (-π − 𝑋)))
386 elicc2 12276 . . . . . . . . . 10 (((-π − 𝑋) ∈ ℝ ∧ (π − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋)) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ (-π − 𝑋) ≤ 𝑠𝑠 ≤ (π − 𝑋))))
387366, 368, 386syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋)) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ (-π − 𝑋) ≤ 𝑠𝑠 ≤ (π − 𝑋))))
388369, 387mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑠 ∈ ℝ ∧ (-π − 𝑋) ≤ 𝑠𝑠 ≤ (π − 𝑋)))
389388simp2d 1094 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (-π − 𝑋) ≤ 𝑠)
390366, 371, 380, 389leadd2dd 10680 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + (-π − 𝑋)) ≤ (𝑋 + 𝑠))
391385, 390eqbrtrd 4707 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → -π ≤ (𝑋 + 𝑠))
392388simp3d 1095 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑠 ≤ (π − 𝑋))
393371, 368, 380, 392leadd2dd 10680 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + 𝑠) ≤ (𝑋 + (π − 𝑋)))
394 picn 24256 . . . . . . . 8 π ∈ ℂ
395394a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → π ∈ ℂ)
396364, 395pncan3d 10433 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + (π − 𝑋)) = π)
397393, 396breqtrd 4711 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + 𝑠) ≤ π)
398378, 379, 381, 391, 397eliccd 40044 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ (-π[,]π))
3992adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝐹:(-π[,]π)⟶ℂ)
400399, 398ffvelrnd 6400 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
401371, 109syldan 486 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → ((𝐷𝑁)‘𝑠) ∈ ℂ)
402400, 401mulcld 10098 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘𝑠)) ∈ ℂ)
403359, 377, 398, 402fvmptd 6327 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝐺‘(𝑋 + 𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘𝑠)))
404403itgeq2dv 23593 . 2 (𝜑 → ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))(𝐺‘(𝑋 + 𝑠)) d𝑠 = ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘𝑠)) d𝑠)
40523, 358, 4043eqtrd 2689 1 (𝜑 → ∫(-π[,]π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑁)‘(𝑡𝑋))) d𝑡 = ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑁)‘𝑠)) d𝑠)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  {crab 2945  cun 3605  wss 3607  ifcif 4119  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cres 5145  ccom 5147  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504   mod cmo 12708  sincsin 14838  πcpi 14841  t crest 16128  TopOpenctopn 16129  fldccnfld 19794  Topctop 20746  TopOnctopon 20763   Cn ccn 21076   CnP ccnp 21077  cnccncf 22726  citg 23432   lim climc 23671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-t1 21166  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-ibl 23436  df-itg 23437  df-0p 23482  df-ditg 23656  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by:  fourierdlem111  40752
  Copyright terms: Public domain W3C validator