MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  footeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem footeq 25837
Description: Uniqueness of the foot point. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isperp.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d = (dist‘𝐺)
isperp.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
footeq.x (𝜑𝑋𝐴)
footeq.y (𝜑𝑌𝐴)
footeq.z (𝜑𝑍𝑃)
footeq.1 (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍)(⟂G‘𝐺)𝐴)
footeq.2 (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍)(⟂G‘𝐺)𝐴)
Assertion
Ref Expression
footeq (𝜑𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem footeq
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6804 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → (𝑍𝐿𝑥) = (𝑍𝐿𝑋))
21breq1d 4797 . 2 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑍𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴 ↔ (𝑍𝐿𝑋)(⟂G‘𝐺)𝐴))
3 oveq2 6804 . . 3 (𝑥 = 𝑌 → (𝑍𝐿𝑥) = (𝑍𝐿𝑌))
43breq1d 4797 . 2 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑍𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴 ↔ (𝑍𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴))
5 isperp.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
6 isperp.d . . 3 = (dist‘𝐺)
7 isperp.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
8 isperp.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
9 isperp.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
10 isperp.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
11 footeq.z . . 3 (𝜑𝑍𝑃)
12 footeq.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐴)
13 footeq.1 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍)(⟂G‘𝐺)𝐴)
145, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 11, 13footne 25836 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑍𝐴)
155, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14foot 25835 . 2 (𝜑 → ∃!𝑥𝐴 (𝑍𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐴)
16 footeq.y . 2 (𝜑𝑌𝐴)
175, 8, 7, 9, 10, 12tglnpt 25665 . . . 4 (𝜑𝑋𝑃)
188, 9, 13perpln1 25826 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
195, 7, 8, 9, 17, 11, 18tglnne 25744 . . . 4 (𝜑𝑋𝑍)
205, 7, 8, 9, 17, 11, 19tglinecom 25751 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍) = (𝑍𝐿𝑋))
2120, 13eqbrtrrd 4811 . 2 (𝜑 → (𝑍𝐿𝑋)(⟂G‘𝐺)𝐴)
225, 8, 7, 9, 10, 16tglnpt 25665 . . . 4 (𝜑𝑌𝑃)
23 footeq.2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍)(⟂G‘𝐺)𝐴)
248, 9, 23perpln1 25826 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
255, 7, 8, 9, 22, 11, 24tglnne 25744 . . . 4 (𝜑𝑌𝑍)
265, 7, 8, 9, 22, 11, 25tglinecom 25751 . . 3 (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍) = (𝑍𝐿𝑌))
2726, 23eqbrtrrd 4811 . 2 (𝜑 → (𝑍𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
282, 4, 15, 12, 16, 21, 27reu2eqd 3555 1 (𝜑𝑋 = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4787  ran crn 5251  cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  distcds 16158  TarskiGcstrkg 25550  Itvcitv 25556  LineGclng 25557  ⟂Gcperpg 25811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-xnn0 11571  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497  df-s1 13498  df-s2 13802  df-s3 13803  df-trkgc 25568  df-trkgb 25569  df-trkgcb 25570  df-trkg 25573  df-cgrg 25627  df-leg 25699  df-mir 25769  df-rag 25810  df-perpg 25812
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator