Theorem fofi 8293

Description: If a function has a finite domain, its range is finite. Theorem 37 of [Suppes] p. 104. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fofi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem fofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fodomfi 8280	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
2		domfi 8222	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
3	1, 2	syldan 486	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  –onto→wfo 5924   ≼ cdom 7995  Fincfn 7997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-om 7108  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-fin 8001

This theorem is referenced by:  f1fi  8294  imafi  8300  f1opwfi  8311  indexfi  8315  intrnfi  8363  infpwfien  8923  ttukeylem6  9374  fseqsupcl  12816  fiinfnf1o  13178  vdwlem6  15737  0ram2  15772  0ramcl  15774  mplsubrglem  19487  tgcmp  21252  hauscmplem  21257  1stcfb  21296  comppfsc  21383  1stckgenlem  21404  ptcnplem  21472  txtube  21491  txcmplem1  21492  tmdgsum2  21947  tsmsf1o  21995  tsmsxplem1  22003  ovolicc2lem4  23334  i1fadd  23507  i1fmul  23508  itg1addlem4  23511  i1fmulc  23515  mbfi1fseqlem4  23530  limciun  23703  edgusgrnbfin  26319  erdszelem2  31300  mvrsfpw  31529  itg2addnclem2  33592  istotbnd3  33700  sstotbnd  33704  prdsbnd  33722  cntotbnd  33725  heiborlem1  33740  heibor  33750  lmhmfgima  37971