MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodomfib Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fodomfib 8281
Description: Equivalence of an onto mapping and dominance for a nonempty finite set. Unlike fodomb 9386 for arbitrary sets, this theorem does not require the Axiom of Choice for its proof. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
fodomfib (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem fodomfib
StepHypRef Expression
1 fof 6153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐴onto𝐵𝑓:𝐴𝐵)
2 fdm 6089 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐴𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐴onto𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
43eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
5 dm0rn0 5374 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝑓 = ∅ ↔ ran 𝑓 = ∅)
6 forn 6156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐴onto𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
76eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (ran 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
85, 7syl5bb 272 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
94, 8bitr3d 270 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (𝐴 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
109necon3bid 2867 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
1110biimpac 502 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
1211adantll 750 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
13 vex 3234 . . . . . . . . . . . 12 𝑓 ∈ V
1413rnex 7142 . . . . . . . . . . 11 ran 𝑓 ∈ V
156, 14syl6eqelr 2739 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ V)
1615adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ∈ V)
17 0sdomg 8130 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → (∅ ≺ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → (∅ ≺ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
1918adantlr 751 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → (∅ ≺ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
2012, 19mpbird 247 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → ∅ ≺ 𝐵)
2120ex 449 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑓:𝐴onto𝐵 → ∅ ≺ 𝐵))
22 fodomfi 8280 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵𝐴)
2322ex 449 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵𝐴))
2423adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵𝐴))
2521, 24jcad 554 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑓:𝐴onto𝐵 → (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
2625exlimdv 1901 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵 → (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
2726expimpd 628 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵) → (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
28 sdomdomtr 8134 . . . 4 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
29 0sdomg 8130 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
3028, 29syl5ib 234 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → 𝐴 ≠ ∅))
31 fodomr 8152 . . . 4 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵)
3231a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵))
3330, 32jcad 554 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵)))
3427, 33impbid 202 1 (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  c0 3948   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  ran crn 5144  wf 5922  ontowfo 5924  cdom 7995  csdm 7996  Fincfn 7997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-om 7108  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator