Theorem focdmex 13353

Description: The codomain of an onto function is a set if its domain is a set. (Contributed by AV, 4-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
focdmex	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ V)

Proof of Theorem focdmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fof 6277	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	anim2i 594	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵))
3	2	ancomd 466	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
4		fex 6654	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
5		rnexg 7264	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → ran 𝐹 ∈ V)
6	3, 4, 5	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → ran 𝐹 ∈ V)
7		forn 6280	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
8	7	eleq1d 2824	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (ran 𝐹 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
9	8	adantl 473	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → (ran 𝐹 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
10	6, 9	mpbid 222	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340  ran crn 5267  ⟶wf 6045  –onto→wfo 6047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055  ax-un 7115

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057

This theorem is referenced by:  hasheqf1oi  13354