MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnres 5995
Description: An equivalence for functionality of a restriction. Compare dffun8 5904. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnres ((𝐹𝐴) Fn 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem fnres
StepHypRef Expression
1 ancom 466 . . 3 ((∀𝑥𝐴 ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 𝑥𝐹𝑦) ↔ (∀𝑥𝐴𝑦 𝑥𝐹𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
2 vex 3198 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
32brres 5391 . . . . . . . . 9 (𝑥(𝐹𝐴)𝑦 ↔ (𝑥𝐹𝑦𝑥𝐴))
4 ancom 466 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐹𝑦𝑥𝐴) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐹𝑦))
53, 4bitri 264 . . . . . . . 8 (𝑥(𝐹𝐴)𝑦 ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐹𝑦))
65mobii 2491 . . . . . . 7 (∃*𝑦 𝑥(𝐹𝐴)𝑦 ↔ ∃*𝑦(𝑥𝐴𝑥𝐹𝑦))
7 moanimv 2529 . . . . . . 7 (∃*𝑦(𝑥𝐴𝑥𝐹𝑦) ↔ (𝑥𝐴 → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
86, 7bitri 264 . . . . . 6 (∃*𝑦 𝑥(𝐹𝐴)𝑦 ↔ (𝑥𝐴 → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
98albii 1745 . . . . 5 (∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝐹𝐴)𝑦 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
10 relres 5414 . . . . . 6 Rel (𝐹𝐴)
11 dffun6 5891 . . . . . 6 (Fun (𝐹𝐴) ↔ (Rel (𝐹𝐴) ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝐹𝐴)𝑦))
1210, 11mpbiran 952 . . . . 5 (Fun (𝐹𝐴) ↔ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝐹𝐴)𝑦)
13 df-ral 2914 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
149, 12, 133bitr4i 292 . . . 4 (Fun (𝐹𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦)
15 dmres 5407 . . . . . . 7 dom (𝐹𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
16 inss1 3825 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝐴
1715, 16eqsstri 3627 . . . . . 6 dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴
18 eqss 3610 . . . . . 6 (dom (𝐹𝐴) = 𝐴 ↔ (dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ dom (𝐹𝐴)))
1917, 18mpbiran 952 . . . . 5 (dom (𝐹𝐴) = 𝐴𝐴 ⊆ dom (𝐹𝐴))
20 dfss3 3585 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ dom (𝐹𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ dom (𝐹𝐴))
2115elin2 3793 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ dom (𝐹𝐴) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ dom 𝐹))
2221baib 943 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ dom (𝐹𝐴) ↔ 𝑥 ∈ dom 𝐹))
23 vex 3198 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
2423eldm 5310 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↔ ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦)
2522, 24syl6bb 276 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ dom (𝐹𝐴) ↔ ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦))
2625ralbiia 2976 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ dom (𝐹𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦 𝑥𝐹𝑦)
2720, 26bitri 264 . . . . 5 (𝐴 ⊆ dom (𝐹𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦 𝑥𝐹𝑦)
2819, 27bitri 264 . . . 4 (dom (𝐹𝐴) = 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦 𝑥𝐹𝑦)
2914, 28anbi12i 732 . . 3 ((Fun (𝐹𝐴) ∧ dom (𝐹𝐴) = 𝐴) ↔ (∀𝑥𝐴 ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 𝑥𝐹𝑦))
30 r19.26 3060 . . 3 (∀𝑥𝐴 (∃𝑦 𝑥𝐹𝑦 ∧ ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦) ↔ (∀𝑥𝐴𝑦 𝑥𝐹𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
311, 29, 303bitr4i 292 . 2 ((Fun (𝐹𝐴) ∧ dom (𝐹𝐴) = 𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴 (∃𝑦 𝑥𝐹𝑦 ∧ ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
32 df-fn 5879 . 2 ((𝐹𝐴) Fn 𝐴 ↔ (Fun (𝐹𝐴) ∧ dom (𝐹𝐴) = 𝐴))
33 eu5 2494 . . 3 (∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦 ↔ (∃𝑦 𝑥𝐹𝑦 ∧ ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
3433ralbii 2977 . 2 (∀𝑥𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦 ↔ ∀𝑥𝐴 (∃𝑦 𝑥𝐹𝑦 ∧ ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
3531, 32, 343bitr4i 292 1 ((𝐹𝐴) Fn 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wal 1479   = wceq 1481  wex 1702  wcel 1988  ∃!weu 2468  ∃*wmo 2469  wral 2909  cin 3566  wss 3567   class class class wbr 4644  dom cdm 5104  cres 5106  Rel wrel 5109  Fun wfun 5870   Fn wfn 5871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pr 4897
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-br 4645  df-opab 4704  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-res 5116  df-fun 5878  df-fn 5879
This theorem is referenced by:  f1ompt  6368  omxpenlem  8046  tz6.12-afv  41016
  Copyright terms: Public domain W3C validator