MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnn0ind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnn0ind 11514
Description: Induction on the integers from 0 to 𝑁 inclusive. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
fnn0ind.1 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜓))
fnn0ind.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
fnn0ind.3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜃))
fnn0ind.4 (𝑥 = 𝐾 → (𝜑𝜏))
fnn0ind.5 (𝑁 ∈ ℕ0𝜓)
fnn0ind.6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < 𝑁) → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
fnn0ind ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝐾𝑁) → 𝜏)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐾(𝑦)

Proof of Theorem fnn0ind
StepHypRef Expression
1 elnn0z 11428 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
2 nn0z 11438 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
3 0z 11426 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
4 fnn0ind.1 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜓))
5 fnn0ind.2 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
6 fnn0ind.3 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜃))
7 fnn0ind.4 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐾 → (𝜑𝜏))
8 elnn0z 11428 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
9 fnn0ind.5 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝜓)
108, 9sylbir 225 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝜓)
11103adant1 1099 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝜓)
12 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
13 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
14 0re 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
15 lelttr 10166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
16 ltle 10164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
17163adant2 1100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
1815, 17syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
1914, 18mp3an1 1451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
2012, 13, 19syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
2120ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)))
2221com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℤ → ((0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 0 ≤ 𝑁)))
23223impib 1281 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 0 ≤ 𝑁))
2423impcom 445 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁)) → 0 ≤ 𝑁)
25 elnn0z 11428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℕ0 ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦))
2625anbi1i 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < 𝑁) ↔ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁))
27 fnn0ind.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < 𝑁) → (𝜒𝜃))
28273expb 1285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < 𝑁)) → (𝜒𝜃))
298, 26, 28syl2anbr 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝜒𝜃))
3029expcom 450 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝜒𝜃)))
31303impa 1278 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝜒𝜃)))
3231expd 451 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 → (𝜒𝜃))))
3332impcom 445 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁)) → (0 ≤ 𝑁 → (𝜒𝜃)))
3424, 33mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁)) → (𝜒𝜃))
3534adantll 750 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁)) → (𝜒𝜃))
364, 5, 6, 7, 11, 35fzind 11513 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾𝐾𝑁)) → 𝜏)
373, 36mpanl1 716 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾𝐾𝑁)) → 𝜏)
3837expcom 450 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾𝐾𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏))
392, 38syl5 34 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾𝐾𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0𝜏))
40393expa 1284 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ 𝐾𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0𝜏))
411, 40sylanb 488 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐾𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0𝜏))
4241impcom 445 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐾𝑁)) → 𝜏)
43423impb 1279 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝐾𝑁) → 𝜏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  0cn0 11330  cz 11415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416
This theorem is referenced by:  nn0seqcvgd  15330  poimirlem28  33567
  Copyright terms: Public domain W3C validator