MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnmpt2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnmpt2i 7407
Description: Functionality and domain of a class given by the "maps to" notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
fmpt2.1 𝐹 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶)
fnmpt2i.2 𝐶 ∈ V
Assertion
Ref Expression
fnmpt2i 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fnmpt2i
StepHypRef Expression
1 fnmpt2i.2 . . 3 𝐶 ∈ V
21rgen2w 3063 . 2 𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 ∈ V
3 fmpt2.1 . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶)
43fnmpt2 7406 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 ∈ V → 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵))
52, 4ax-mp 5 1 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  Vcvv 3340   × cxp 5264   Fn wfn 6044  cmpt2 6815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334
This theorem is referenced by:  dmmpt2  7408  fnoa  7757  fnom  7758  fnoe  7759  fnmap  8030  fnpm  8031  cdafn  9183  addpqnq  9952  mulpqnq  9955  elq  11983  cnref1o  12020  ccatfn  13544  qnnen  15141  restfn  16287  prdsdsfn  16327  imasdsfn  16376  imasvscafn  16399  homffn  16554  comfffn  16565  comffn  16566  isoval  16626  cofucl  16749  fnfuc  16806  natffn  16810  catcisolem  16957  estrchomfn  16976  funcestrcsetclem4  16984  funcsetcestrclem4  16999  fnxpc  17017  1stfcl  17038  2ndfcl  17039  prfcl  17044  evlfcl  17063  curf1cl  17069  curfcl  17073  hofcl  17100  yonedalem3  17121  yonedainv  17122  plusffn  17451  mulgfval  17743  mulgfn  17745  gimfn  17904  symgplusg  18009  sylow2blem2  18236  scaffn  19086  lmimfn  19228  mplsubrglem  19641  ipffn  20198  tx1stc  21655  tx2ndc  21656  hmeofn  21762  symgtgp  22106  qustgplem  22125  nmoffn  22716  rrxmfval  23389  mbfimaopnlem  23621  i1fadd  23661  i1fmul  23662  smatrcl  30171  txomap  30210  qtophaus  30212  pstmxmet  30249  dya2icoseg  30648  dya2iocrfn  30650  fncvm  31546  cntotbnd  33908  rnghmfn  42400  rhmfn  42428  rnghmsscmap2  42483  rnghmsscmap  42484  rngchomffvalALTV  42505  rngchomrnghmresALTV  42506  rhmsscmap2  42529  rhmsscmap  42530  funcringcsetcALTV2lem4  42549  funcringcsetclem4ALTV  42572  srhmsubc  42586  fldc  42593  fldhmsubc  42594  rhmsubclem1  42596  srhmsubcALTV  42604  fldcALTV  42611  fldhmsubcALTV  42612  rhmsubcALTVlem1  42614
  Copyright terms: Public domain W3C validator