Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnlimfvre2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnlimfvre2 40227
 Description: The limit function of real functions, applied to elements in its domain, evaluates to Real values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fnlimfvre2.p 𝑚𝜑
fnlimfvre2.m 𝑚𝐹
fnlimfvre2.n 𝑥𝐹
fnlimfvre2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
fnlimfvre2.f ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
fnlimfvre2.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
fnlimfvre2.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
fnlimfvre2.x (𝜑𝑋𝐷)
Assertion
Ref Expression
fnlimfvre2 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑚,𝑋,𝑛,𝑥   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem fnlimfvre2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnlimfvre2.x . . 3 (𝜑𝑋𝐷)
2 fvexd 6241 . . 3 (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ V)
3 nfcv 2793 . . . 4 𝑧𝑋
4 nfcv 2793 . . . 4 𝑧( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)))
5 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝑧 → ((𝐹𝑚)‘𝑋) = ((𝐹𝑚)‘𝑧))
65mpteq2dv 4778 . . . . . 6 (𝑋 = 𝑧 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)))
7 eqcom 2658 . . . . . . . 8 (𝑋 = 𝑧𝑧 = 𝑋)
87imbi1i 338 . . . . . . 7 ((𝑋 = 𝑧 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))) ↔ (𝑧 = 𝑋 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))))
9 eqcom 2658 . . . . . . . 8 ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)) ↔ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)))
109imbi2i 325 . . . . . . 7 ((𝑧 = 𝑋 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))) ↔ (𝑧 = 𝑋 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
118, 10bitri 264 . . . . . 6 ((𝑋 = 𝑧 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))) ↔ (𝑧 = 𝑋 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
126, 11mpbi 220 . . . . 5 (𝑧 = 𝑋 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)))
1312fveq2d 6233 . . . 4 (𝑧 = 𝑋 → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))) = ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
14 fnlimfvre2.g . . . . 5 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
15 fnlimfvre2.d . . . . . . 7 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
16 nfrab1 3152 . . . . . . 7 𝑥{𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
1715, 16nfcxfr 2791 . . . . . 6 𝑥𝐷
18 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑧𝐷
19 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑧( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))
20 nfcv 2793 . . . . . . 7 𝑥
21 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑥𝑍
22 fnlimfvre2.n . . . . . . . . . 10 𝑥𝐹
23 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑚
2422, 23nffv 6236 . . . . . . . . 9 𝑥(𝐹𝑚)
25 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑥𝑧
2624, 25nffv 6236 . . . . . . . 8 𝑥((𝐹𝑚)‘𝑧)
2721, 26nfmpt 4779 . . . . . . 7 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))
2820, 27nffv 6236 . . . . . 6 𝑥( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)))
29 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝐹𝑚)‘𝑧))
3029mpteq2dv 4778 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)))
3130fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))))
3217, 18, 19, 28, 31cbvmptf 4781 . . . . 5 (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))) = (𝑧𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))))
3314, 32eqtri 2673 . . . 4 𝐺 = (𝑧𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))))
343, 4, 13, 33fvmptf 6340 . . 3 ((𝑋𝐷 ∧ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ V) → (𝐺𝑋) = ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
351, 2, 34syl2anc 694 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑋) = ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
36 fnlimfvre2.p . . 3 𝑚𝜑
37 fnlimfvre2.m . . 3 𝑚𝐹
38 fnlimfvre2.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
39 fnlimfvre2.f . . 3 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
4036, 37, 22, 38, 39, 15, 1fnlimfvre 40224 . 2 (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
4135, 40eqeltrd 2730 1 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523  Ⅎwnf 1748   ∈ wcel 2030  Ⅎwnfc 2780  {crab 2945  Vcvv 3231  ∪ ciun 4552  ∩ ciin 4553   ↦ cmpt 4762  dom cdm 5143  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  ℝcr 9973  ℤ≥cuz 11725   ⇝ cli 14259 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator