Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnlimf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnlimf 40382
 Description: The limit function of real functions, is a real-valued function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fnlimf.p 𝑚𝜑
fnlimf.m 𝑚𝐹
fnlimf.n 𝑥𝐹
fnlimf.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
fnlimf.f ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
fnlimf.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
fnlimf.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
Assertion
Ref Expression
fnlimf (𝜑𝐺:𝐷⟶ℝ)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑚,𝑛   𝑛,𝐹   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem fnlimf
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnlimf.p . . . 4 𝑚𝜑
2 nfv 1980 . . . 4 𝑚 𝑧𝐷
31, 2nfan 1965 . . 3 𝑚(𝜑𝑧𝐷)
4 fnlimf.m . . 3 𝑚𝐹
5 fnlimf.n . . 3 𝑥𝐹
6 fnlimf.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
7 fnlimf.f . . . 4 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
87adantlr 753 . . 3 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
9 fnlimf.d . . 3 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
10 simpr 479 . . 3 ((𝜑𝑧𝐷) → 𝑧𝐷)
113, 4, 5, 6, 8, 9, 10fnlimfvre 40378 . 2 ((𝜑𝑧𝐷) → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))) ∈ ℝ)
12 fnlimf.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
13 nfrab1 3249 . . . . 5 𝑥{𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
149, 13nfcxfr 2888 . . . 4 𝑥𝐷
15 nfcv 2890 . . . 4 𝑧𝐷
16 nfcv 2890 . . . 4 𝑧( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))
17 nfcv 2890 . . . . 5 𝑥
18 nfcv 2890 . . . . . 6 𝑥𝑍
19 nfcv 2890 . . . . . . . 8 𝑥𝑚
205, 19nffv 6347 . . . . . . 7 𝑥(𝐹𝑚)
21 nfcv 2890 . . . . . . 7 𝑥𝑧
2220, 21nffv 6347 . . . . . 6 𝑥((𝐹𝑚)‘𝑧)
2318, 22nfmpt 4886 . . . . 5 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))
2417, 23nffv 6347 . . . 4 𝑥( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)))
25 fveq2 6340 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝐹𝑚)‘𝑧))
2625mpteq2dv 4885 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)))
2726fveq2d 6344 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))))
2814, 15, 16, 24, 27cbvmptf 4888 . . 3 (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))) = (𝑧𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))))
2912, 28eqtri 2770 . 2 𝐺 = (𝑧𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧))))
3011, 29fmptd 6536 1 (𝜑𝐺:𝐷⟶ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1620  Ⅎwnf 1845   ∈ wcel 2127  Ⅎwnfc 2877  {crab 3042  ∪ ciun 4660  ∩ ciin 4661   ↦ cmpt 4869  dom cdm 5254  ⟶wf 6033  ‘cfv 6037  ℝcr 10098  ℤ≥cuz 11850   ⇝ cli 14385 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-pm 8014  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8501  df-inf 8502  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-fl 12758  df-seq 12967  df-exp 13026  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-clim 14389  df-rlim 14390 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator