Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnlimabslt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnlimabslt 40229
Description: A sequence of function values, approximates the corresponding limit function value, all but finitely many times. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fnlimabslt.p 𝑚𝜑
fnlimabslt.f 𝑚𝐹
fnlimabslt.n 𝑥𝐹
fnlimabslt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
fnlimabslt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
fnlimabslt.b ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
fnlimabslt.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
fnlimabslt.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
fnlimabslt.x (𝜑𝑋𝐷)
fnlimabslt.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
fnlimabslt (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑚,𝑋,𝑛   𝑚,𝑌,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚)   𝑀(𝑥,𝑚)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem fnlimabslt
Dummy variables 𝑗 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnlimabslt.p . . . 4 𝑚𝜑
2 fnlimabslt.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 fnlimabslt.b . . . 4 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
4 eqid 2651 . . . 4 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
5 fnlimabslt.d . . . . . 6 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
6 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑥𝑍
7 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑥(ℤ𝑛)
8 fnlimabslt.n . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐹
9 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑚
108, 9nffv 6236 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝐹𝑚)
1110nfdm 5399 . . . . . . . . . 10 𝑥dom (𝐹𝑚)
127, 11nfiin 4581 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
136, 12nfiun 4580 . . . . . . . 8 𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
14 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
15 nfv 1883 . . . . . . . 8 𝑦(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝
16 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑦
1710, 16nffv 6236 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝐹𝑚)‘𝑦)
186, 17nfmpt 4779 . . . . . . . . 9 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦))
19 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑥dom ⇝
2018, 19nfel 2806 . . . . . . . 8 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝
21 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝐹𝑚)‘𝑦))
2221mpteq2dv 4778 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)))
2322eleq1d 2715 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ))
2413, 14, 15, 20, 23cbvrab 3229 . . . . . . 7 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } = {𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ }
25 ssrab2 3720 . . . . . . 7 {𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ } ⊆ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
2624, 25eqsstri 3668 . . . . . 6 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ⊆ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
275, 26eqsstri 3668 . . . . 5 𝐷 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
28 fnlimabslt.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐷)
2927, 28sseldi 3634 . . . 4 (𝜑𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
301, 2, 3, 4, 29allbutfifvre 40225 . . 3 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ)
31 nfv 1883 . . . . . 6 𝑗𝜑
32 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑗(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))
33 fnlimabslt.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
34 fnlimabslt.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
358, 5, 34, 28fnlimcnv 40217 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ⇝ (𝐺𝑋))
36 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑙((𝐹𝑚)‘𝑋)
37 fnlimabslt.f . . . . . . . . . . 11 𝑚𝐹
38 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑚𝑙
3937, 38nffv 6236 . . . . . . . . . 10 𝑚(𝐹𝑙)
40 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑚𝑋
4139, 40nffv 6236 . . . . . . . . 9 𝑚((𝐹𝑙)‘𝑋)
42 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑙 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑙))
4342fveq1d 6231 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑙 → ((𝐹𝑚)‘𝑋) = ((𝐹𝑙)‘𝑋))
4436, 41, 43cbvmpt 4782 . . . . . . . 8 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑙𝑍 ↦ ((𝐹𝑙)‘𝑋))
4544a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑙𝑍 ↦ ((𝐹𝑙)‘𝑋)))
46 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑗 → (𝐹𝑙) = (𝐹𝑗))
4746fveq1d 6231 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑗 → ((𝐹𝑙)‘𝑋) = ((𝐹𝑗)‘𝑋))
4847adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑙 = 𝑗) → ((𝐹𝑙)‘𝑋) = ((𝐹𝑗)‘𝑋))
49 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
50 fvexd 6241 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ V)
5145, 48, 49, 50fvmptd 6327 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))‘𝑗) = ((𝐹𝑗)‘𝑋))
52 fnlimabslt.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
5331, 32, 2, 33, 35, 51, 52climd 40222 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
54 nfv 1883 . . . . . . 7 𝑗(((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌)
55 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑚𝑗
5637, 55nffv 6236 . . . . . . . . . 10 𝑚(𝐹𝑗)
5756, 40nffv 6236 . . . . . . . . 9 𝑚((𝐹𝑗)‘𝑋)
58 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑚
5957, 58nfel 2806 . . . . . . . 8 𝑚((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ
60 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑚abs
61 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑚
62 nfmpt1 4780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))
63 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚dom ⇝
6462, 63nfel 2806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝
65 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚𝑍
66 nfii1 4583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
6765, 66nfiun 4580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
6864, 67nfrab 3153 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚{𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
695, 68nfcxfr 2791 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑚𝐷
70 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚
7170, 62nffv 6236 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑚( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))
7269, 71nfmpt 4779 . . . . . . . . . . . . 13 𝑚(𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
7334, 72nfcxfr 2791 . . . . . . . . . . . 12 𝑚𝐺
7473, 40nffv 6236 . . . . . . . . . . 11 𝑚(𝐺𝑋)
7557, 61, 74nfov 6716 . . . . . . . . . 10 𝑚(((𝐹𝑗)‘𝑋) − (𝐺𝑋))
7660, 75nffv 6236 . . . . . . . . 9 𝑚(abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑋) − (𝐺𝑋)))
77 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑚 <
78 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑚𝑌
7976, 77, 78nfbr 4732 . . . . . . . 8 𝑚(abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌
8059, 79nfan 1868 . . . . . . 7 𝑚(((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌)
81 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑗 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑗))
8281fveq1d 6231 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑗 → ((𝐹𝑚)‘𝑋) = ((𝐹𝑗)‘𝑋))
8382eleq1d 2715 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑗 → (((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ↔ ((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ))
8482oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑗 → (((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋)) = (((𝐹𝑗)‘𝑋) − (𝐺𝑋)))
8584fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑗 → (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) = (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑋) − (𝐺𝑋))))
8685breq1d 4695 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑗 → ((abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌 ↔ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
8783, 86anbi12d 747 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑗 → ((((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌) ↔ (((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌)))
8854, 80, 87cbvral 3197 . . . . . 6 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌) ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
8988rexbii 3070 . . . . 5 (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌) ↔ ∃𝑛𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
9053, 89sylibr 224 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
91 nfv 1883 . . . . . . 7 𝑚 𝑛𝑍
921, 91nfan 1868 . . . . . 6 𝑚(𝜑𝑛𝑍)
93 simpr 476 . . . . . . 7 ((((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌) → (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌)
9493a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ((((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌) → (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
9592, 94ralimdaa 2987 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
9695reximdva 3046 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌) → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
9790, 96mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌)
9830, 97jca 553 . 2 (𝜑 → (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
992rexanuz2 14133 . 2 (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌) ↔ (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
10098, 99sylibr 224 1 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wnf 1748  wcel 2030  wnfc 2780  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231   ciun 4552   ciin 4553   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973   < clt 10112  cmin 10304  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  abscabs 14018  cli 14259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263
This theorem is referenced by:  smflimlem4  41303
  Copyright terms: Public domain W3C validator