Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fneval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fneval 32649
Description: Two covers are finer than each other iff they are both bases for the same topology. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fneval.1 = (Fne ∩ Fne)
Assertion
Ref Expression
fneval ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 𝐵 ↔ (topGen‘𝐴) = (topGen‘𝐵)))

Proof of Theorem fneval
StepHypRef Expression
1 fneval.1 . . . 4 = (Fne ∩ Fne)
21breqi 4806 . . 3 (𝐴 𝐵𝐴(Fne ∩ Fne)𝐵)
3 brin 4852 . . . 4 (𝐴(Fne ∩ Fne)𝐵 ↔ (𝐴Fne𝐵𝐴Fne𝐵))
4 fnerel 32635 . . . . . 6 Rel Fne
54relbrcnv 5660 . . . . 5 (𝐴Fne𝐵𝐵Fne𝐴)
65anbi2i 732 . . . 4 ((𝐴Fne𝐵𝐴Fne𝐵) ↔ (𝐴Fne𝐵𝐵Fne𝐴))
73, 6bitri 264 . . 3 (𝐴(Fne ∩ Fne)𝐵 ↔ (𝐴Fne𝐵𝐵Fne𝐴))
82, 7bitri 264 . 2 (𝐴 𝐵 ↔ (𝐴Fne𝐵𝐵Fne𝐴))
9 eqid 2756 . . . . . 6 𝐴 = 𝐴
10 eqid 2756 . . . . . 6 𝐵 = 𝐵
119, 10isfne4b 32638 . . . . 5 (𝐵𝑊 → (𝐴Fne𝐵 ↔ ( 𝐴 = 𝐵 ∧ (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐵))))
1210, 9isfne4b 32638 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (𝐵Fne𝐴 ↔ ( 𝐵 = 𝐴 ∧ (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐴))))
13 eqcom 2763 . . . . . . 7 ( 𝐵 = 𝐴 𝐴 = 𝐵)
1413anbi1i 733 . . . . . 6 (( 𝐵 = 𝐴 ∧ (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐴)) ↔ ( 𝐴 = 𝐵 ∧ (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐴)))
1512, 14syl6bb 276 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝐵Fne𝐴 ↔ ( 𝐴 = 𝐵 ∧ (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐴))))
1611, 15bi2anan9r 954 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((𝐴Fne𝐵𝐵Fne𝐴) ↔ (( 𝐴 = 𝐵 ∧ (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐵)) ∧ ( 𝐴 = 𝐵 ∧ (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐴)))))
17 eqss 3755 . . . . . 6 ((topGen‘𝐴) = (topGen‘𝐵) ↔ ((topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐵) ∧ (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐴)))
1817anbi2i 732 . . . . 5 (( 𝐴 = 𝐵 ∧ (topGen‘𝐴) = (topGen‘𝐵)) ↔ ( 𝐴 = 𝐵 ∧ ((topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐵) ∧ (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐴))))
19 anandi 906 . . . . 5 (( 𝐴 = 𝐵 ∧ ((topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐵) ∧ (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐴))) ↔ (( 𝐴 = 𝐵 ∧ (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐵)) ∧ ( 𝐴 = 𝐵 ∧ (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐴))))
2018, 19bitri 264 . . . 4 (( 𝐴 = 𝐵 ∧ (topGen‘𝐴) = (topGen‘𝐵)) ↔ (( 𝐴 = 𝐵 ∧ (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐵)) ∧ ( 𝐴 = 𝐵 ∧ (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐴))))
2116, 20syl6bbr 278 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((𝐴Fne𝐵𝐵Fne𝐴) ↔ ( 𝐴 = 𝐵 ∧ (topGen‘𝐴) = (topGen‘𝐵))))
22 unieq 4592 . . . . 5 ((topGen‘𝐴) = (topGen‘𝐵) → (topGen‘𝐴) = (topGen‘𝐵))
23 unitg 20969 . . . . . 6 (𝐴𝑉 (topGen‘𝐴) = 𝐴)
24 unitg 20969 . . . . . 6 (𝐵𝑊 (topGen‘𝐵) = 𝐵)
2523, 24eqeqan12d 2772 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ( (topGen‘𝐴) = (topGen‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
2622, 25syl5ib 234 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((topGen‘𝐴) = (topGen‘𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
2726pm4.71rd 670 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((topGen‘𝐴) = (topGen‘𝐵) ↔ ( 𝐴 = 𝐵 ∧ (topGen‘𝐴) = (topGen‘𝐵))))
2821, 27bitr4d 271 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((𝐴Fne𝐵𝐵Fne𝐴) ↔ (topGen‘𝐴) = (topGen‘𝐵)))
298, 28syl5bb 272 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 𝐵 ↔ (topGen‘𝐴) = (topGen‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1628  wcel 2135  cin 3710  wss 3711   cuni 4584   class class class wbr 4800  ccnv 5261  cfv 6045  topGenctg 16296  Fnecfne 32633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-ral 3051  df-rex 3052  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-id 5170  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fv 6053  df-topgen 16302  df-fne 32634
This theorem is referenced by:  fneer  32650  topfneec  32652  topfneec2  32653
  Copyright terms: Public domain W3C validator