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Theorem fmul01lt1lem2 40339
Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value 𝐸 larger than any multiplicand, is larger than the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmul01lt1lem2.1 𝑖𝐵
fmul01lt1lem2.2 𝑖𝜑
fmul01lt1lem2.3 𝐴 = seq𝐿( · , 𝐵)
fmul01lt1lem2.4 (𝜑𝐿 ∈ ℤ)
fmul01lt1lem2.5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝐿))
fmul01lt1lem2.6 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
fmul01lt1lem2.7 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
fmul01lt1lem2.8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
fmul01lt1lem2.9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
fmul01lt1lem2.10 (𝜑𝐽 ∈ (𝐿...𝑀))
fmul01lt1lem2.11 (𝜑 → (𝐵𝐽) < 𝐸)
Assertion
Ref Expression
fmul01lt1lem2 (𝜑 → (𝐴𝑀) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐽   𝑖,𝐿   𝑖,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝐸(𝑖)

Proof of Theorem fmul01lt1lem2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmul01lt1lem2.1 . . 3 𝑖𝐵
2 fmul01lt1lem2.2 . . . 4 𝑖𝜑
3 nfv 1993 . . . 4 𝑖 𝐽 = 𝐿
42, 3nfan 1978 . . 3 𝑖(𝜑𝐽 = 𝐿)
5 fmul01lt1lem2.3 . . 3 𝐴 = seq𝐿( · , 𝐵)
6 fmul01lt1lem2.4 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℤ)
76adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐽 = 𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
8 fmul01lt1lem2.5 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝐿))
98adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐽 = 𝐿) → 𝑀 ∈ (ℤ𝐿))
10 fmul01lt1lem2.6 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
1110adantlr 753 . . 3 (((𝜑𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
12 fmul01lt1lem2.7 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
1312adantlr 753 . . 3 (((𝜑𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
14 fmul01lt1lem2.8 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
1514adantlr 753 . . 3 (((𝜑𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
16 fmul01lt1lem2.9 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
1716adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐽 = 𝐿) → 𝐸 ∈ ℝ+)
18 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝐽 = 𝐿) → 𝐽 = 𝐿)
1918fveq2d 6358 . . . 4 ((𝜑𝐽 = 𝐿) → (𝐵𝐽) = (𝐵𝐿))
20 fmul01lt1lem2.11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐽) < 𝐸)
2120adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐽 = 𝐿) → (𝐵𝐽) < 𝐸)
2219, 21eqbrtrrd 4829 . . 3 ((𝜑𝐽 = 𝐿) → (𝐵𝐿) < 𝐸)
231, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 22fmul01lt1lem1 40338 . 2 ((𝜑𝐽 = 𝐿) → (𝐴𝑀) < 𝐸)
245fveq1i 6355 . . 3 (𝐴𝑀) = (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀)
25 nfv 1993 . . . . . . . . 9 𝑖 𝑎 ∈ (𝐿...𝑀)
262, 25nfan 1978 . . . . . . . 8 𝑖(𝜑𝑎 ∈ (𝐿...𝑀))
27 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 𝑖𝑎
281, 27nffv 6361 . . . . . . . . 9 𝑖(𝐵𝑎)
2928nfel1 2918 . . . . . . . 8 𝑖(𝐵𝑎) ∈ ℝ
3026, 29nfim 1975 . . . . . . 7 𝑖((𝜑𝑎 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)
31 eleq1w 2823 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑎 → (𝑖 ∈ (𝐿...𝑀) ↔ 𝑎 ∈ (𝐿...𝑀)))
3231anbi2d 742 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑎 → ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) ↔ (𝜑𝑎 ∈ (𝐿...𝑀))))
33 fveq2 6354 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑎 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝑎))
3433eleq1d 2825 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑎 → ((𝐵𝑖) ∈ ℝ ↔ (𝐵𝑎) ∈ ℝ))
3532, 34imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑎 → (((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑎 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)))
3630, 35, 10chvar 2408 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)
37 remulcl 10234 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑎 · 𝑗) ∈ ℝ)
3837adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) → (𝑎 · 𝑗) ∈ ℝ)
398, 36, 38seqcl 13036 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) ∈ ℝ)
4039adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) ∈ ℝ)
41 fmul01lt1lem2.10 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (𝐿...𝑀))
42 elfzuz3 12553 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (𝐿...𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ𝐽))
4341, 42syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝐽))
44 nfv 1993 . . . . . . . . 9 𝑖 𝑎 ∈ (𝐽...𝑀)
452, 44nfan 1978 . . . . . . . 8 𝑖(𝜑𝑎 ∈ (𝐽...𝑀))
4645, 29nfim 1975 . . . . . . 7 𝑖((𝜑𝑎 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)
47 eleq1w 2823 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑎 → (𝑖 ∈ (𝐽...𝑀) ↔ 𝑎 ∈ (𝐽...𝑀)))
4847anbi2d 742 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑎 → ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) ↔ (𝜑𝑎 ∈ (𝐽...𝑀))))
4948, 34imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑎 → (((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑎 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)))
506adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝐿 ∈ ℤ)
51 eluzelz 11910 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (ℤ𝐿) → 𝑀 ∈ ℤ)
528, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5352adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
54 elfzelz 12556 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (𝐽...𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
5554adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝑖 ∈ ℤ)
5650, 53, 553jca 1123 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
576zred 11695 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
5857adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝐿 ∈ ℝ)
59 elfzelz 12556 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ (𝐿...𝑀) → 𝐽 ∈ ℤ)
6041, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
6160zred 11695 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
6261adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℝ)
6354zred 11695 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (𝐽...𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
6463adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝑖 ∈ ℝ)
65 elfzle1 12558 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ (𝐿...𝑀) → 𝐿𝐽)
6641, 65syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐿𝐽)
6766adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝐿𝐽)
68 elfzle1 12558 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (𝐽...𝑀) → 𝐽𝑖)
6968adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝐽𝑖)
7058, 62, 64, 67, 69letrd 10407 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝐿𝑖)
71 elfzle2 12559 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (𝐽...𝑀) → 𝑖𝑀)
7271adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝑖𝑀)
7370, 72jca 555 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐿𝑖𝑖𝑀))
74 elfz2 12547 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (𝐿...𝑀) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑖𝑖𝑀)))
7556, 73, 74sylanbrc 701 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀))
7675, 10syldan 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
7746, 49, 76chvar 2408 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)
7843, 77, 38seqcl 13036 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀) ∈ ℝ)
7978adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀) ∈ ℝ)
8016rpred 12086 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
8180adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝐸 ∈ ℝ)
82 remulcl 10234 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
8382adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
84 simp1 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
8584recnd 10281 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ)
86 simp2 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
8786recnd 10281 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℂ)
88 simp3 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → 𝑐 ∈ ℝ)
8988recnd 10281 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → 𝑐 ∈ ℂ)
9085, 87, 89mulassd 10276 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ((𝑎 · 𝑏) · 𝑐) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑐)))
9190adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ)) → ((𝑎 · 𝑏) · 𝑐) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑐)))
9260zcnd 11696 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
93 1cnd 10269 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
9492, 93npcand 10609 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐽 − 1) + 1) = 𝐽)
9594fveq2d 6358 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℤ‘((𝐽 − 1) + 1)) = (ℤ𝐽))
9643, 95eleqtrrd 2843 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘((𝐽 − 1) + 1)))
9796adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝑀 ∈ (ℤ‘((𝐽 − 1) + 1)))
986adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
9960adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝐽 ∈ ℤ)
100 1zzd 11621 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 1 ∈ ℤ)
10199, 100zsubcld 11700 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
102 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → ¬ 𝐽 = 𝐿)
103 eqcom 2768 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 = 𝐿𝐿 = 𝐽)
104102, 103sylnib 317 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → ¬ 𝐿 = 𝐽)
10557, 61leloed 10393 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐿𝐽 ↔ (𝐿 < 𝐽𝐿 = 𝐽)))
10666, 105mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 < 𝐽𝐿 = 𝐽))
107106adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐿 < 𝐽𝐿 = 𝐽))
108 orel2 397 . . . . . . . . . . 11 𝐿 = 𝐽 → ((𝐿 < 𝐽𝐿 = 𝐽) → 𝐿 < 𝐽))
109104, 107, 108sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝐿 < 𝐽)
110 zltlem1 11643 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐿 < 𝐽𝐿 ≤ (𝐽 − 1)))
1116, 60, 110syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐿 < 𝐽𝐿 ≤ (𝐽 − 1)))
112111adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐿 < 𝐽𝐿 ≤ (𝐽 − 1)))
113109, 112mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝐿 ≤ (𝐽 − 1))
114 eluz2 11906 . . . . . . . . 9 ((𝐽 − 1) ∈ (ℤ𝐿) ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ (𝐽 − 1)))
11598, 101, 113, 114syl3anbrc 1429 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐽 − 1) ∈ (ℤ𝐿))
116 nfv 1993 . . . . . . . . . . . 12 𝑖 ¬ 𝐽 = 𝐿
1172, 116nfan 1978 . . . . . . . . . . 11 𝑖(𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿)
118117, 25nfan 1978 . . . . . . . . . 10 𝑖((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...𝑀))
119118, 29nfim 1975 . . . . . . . . 9 𝑖(((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)
12031anbi2d 742 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑎 → (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) ↔ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...𝑀))))
121120, 34imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑎 → ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ) ↔ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)))
12210adantlr 753 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
123119, 121, 122chvar 2408 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)
12483, 91, 97, 115, 123seqsplit 13049 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) = ((seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) · (seq((𝐽 − 1) + 1)( · , 𝐵)‘𝑀)))
12594adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → ((𝐽 − 1) + 1) = 𝐽)
126125seqeq1d 13022 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → seq((𝐽 − 1) + 1)( · , 𝐵) = seq𝐽( · , 𝐵))
127126fveq1d 6356 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq((𝐽 − 1) + 1)( · , 𝐵)‘𝑀) = (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀))
128127oveq2d 6831 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → ((seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) · (seq((𝐽 − 1) + 1)( · , 𝐵)‘𝑀)) = ((seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) · (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀)))
129124, 128eqtrd 2795 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) = ((seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) · (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀)))
130 nfv 1993 . . . . . . . . . . 11 𝑖 𝑎 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))
131117, 130nfan 1978 . . . . . . . . . 10 𝑖((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1)))
132131, 29nfim 1975 . . . . . . . . 9 𝑖(((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)
133 eleq1w 2823 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑎 → (𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1)) ↔ 𝑎 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))))
134133anbi2d 742 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑎 → (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) ↔ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1)))))
135134, 34imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑎 → ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ) ↔ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)))
1366adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝐿 ∈ ℤ)
13752adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
138 elfzelz 12556 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
139138adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
140136, 137, 1393jca 1123 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
141 elfzle1 12558 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1)) → 𝐿𝑖)
142141adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝐿𝑖)
143138zred 11695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1)) → 𝑖 ∈ ℝ)
144143adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
14561adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝐽 ∈ ℝ)
14652zred 11695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
147146adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
148 1red 10268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14961, 148resubcld 10671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℝ)
150149adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐽 − 1) ∈ ℝ)
151 elfzle2 12559 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1)) → 𝑖 ≤ (𝐽 − 1))
152151adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝑖 ≤ (𝐽 − 1))
15361lem1d 11170 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐽 − 1) ≤ 𝐽)
154153adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐽 − 1) ≤ 𝐽)
155144, 150, 145, 152, 154letrd 10407 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝑖𝐽)
156 elfzle2 12559 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ (𝐿...𝑀) → 𝐽𝑀)
15741, 156syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐽𝑀)
158157adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝐽𝑀)
159144, 145, 147, 155, 158letrd 10407 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝑖𝑀)
160142, 159jca 555 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐿𝑖𝑖𝑀))
161140, 160, 74sylanbrc 701 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀))
162161, 10syldan 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
163162adantlr 753 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
164132, 135, 163chvar 2408 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ (𝐿...(𝐽 − 1))) → (𝐵𝑎) ∈ ℝ)
16537adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ)) → (𝑎 · 𝑗) ∈ ℝ)
166115, 164, 165seqcl 13036 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) ∈ ℝ)
167 1red 10268 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 1 ∈ ℝ)
168 eqid 2761 . . . . . . . . 9 seq𝐽( · , 𝐵) = seq𝐽( · , 𝐵)
16943adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝑀 ∈ (ℤ𝐽))
170 eluzfz2 12563 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (ℤ𝐽) → 𝑀 ∈ (𝐽...𝑀))
17143, 170syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (𝐽...𝑀))
172171adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝑀 ∈ (𝐽...𝑀))
17376adantlr 753 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
17475, 12syldan 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
175174adantlr 753 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
17675, 14syldan 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
177176adantlr 753 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐽...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
1781, 117, 168, 99, 169, 172, 173, 175, 177fmul01 40334 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (0 ≤ (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀) ∧ (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀) ≤ 1))
179178simpld 477 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 0 ≤ (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀))
180 eqid 2761 . . . . . . . . 9 seq𝐿( · , 𝐵) = seq𝐿( · , 𝐵)
1818adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝑀 ∈ (ℤ𝐿))
182 1zzd 11621 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
18360, 182zsubcld 11700 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
1846, 52, 1833jca 1123 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 1) ∈ ℤ))
185184adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 1) ∈ ℤ))
186149, 61, 1463jca 1123 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐽 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
187186adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → ((𝐽 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
18861adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝐽 ∈ ℝ)
189188lem1d 11170 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐽 − 1) ≤ 𝐽)
190157adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → 𝐽𝑀)
191189, 190jca 555 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → ((𝐽 − 1) ≤ 𝐽𝐽𝑀))
192 letr 10344 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (((𝐽 − 1) ≤ 𝐽𝐽𝑀) → (𝐽 − 1) ≤ 𝑀))
193187, 191, 192sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐽 − 1) ≤ 𝑀)
194113, 193jca 555 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐿 ≤ (𝐽 − 1) ∧ (𝐽 − 1) ≤ 𝑀))
195 elfz2 12547 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 − 1) ∈ (𝐿...𝑀) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ (𝐽 − 1) ∧ (𝐽 − 1) ≤ 𝑀)))
196185, 194, 195sylanbrc 701 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐽 − 1) ∈ (𝐿...𝑀))
19712adantlr 753 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
19814adantlr 753 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
1991, 117, 180, 98, 181, 196, 122, 197, 198fmul01 40334 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (0 ≤ (seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) ∧ (seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) ≤ 1))
200199simprd 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) ≤ 1)
201166, 167, 79, 179, 200lemul1ad 11176 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → ((seq𝐿( · , 𝐵)‘(𝐽 − 1)) · (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀)) ≤ (1 · (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀)))
202129, 201eqbrtrd 4827 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) ≤ (1 · (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀)))
20379recnd 10281 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀) ∈ ℂ)
204203mulid2d 10271 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (1 · (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀)) = (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀))
205202, 204breqtrd 4831 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) ≤ (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀))
2061, 2, 168, 60, 43, 76, 174, 176, 16, 20fmul01lt1lem1 40338 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀) < 𝐸)
207206adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐽( · , 𝐵)‘𝑀) < 𝐸)
20840, 79, 81, 205, 207lelttrd 10408 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) < 𝐸)
20924, 208syl5eqbr 4840 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿) → (𝐴𝑀) < 𝐸)
21023, 209pm2.61dan 867 1 (𝜑 → (𝐴𝑀) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wnf 1857  wcel 2140  wnfc 2890   class class class wbr 4805  cfv 6050  (class class class)co 6815  cr 10148  0cc0 10149  1c1 10150   + caddc 10152   · cmul 10154   < clt 10287  cle 10288  cmin 10479  cz 11590  cuz 11900  +crp 12046  ...cfz 12540  seqcseq 13016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017
This theorem is referenced by:  fmul01lt1  40340
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