Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnorec3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnorec3 41978
Description: The third recurrence relation for Fermat numbers, see Wikipedia "Fermat number", 31-Jul-2021, https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Basic_properties. (Contributed by AV, 2-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnorec3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘𝑁) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛))))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem fmtnorec3
StepHypRef Expression
1 fzfid 12979 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (0...(𝑁 − 2)) ∈ Fin)
2 elfznn0 12639 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
3 fmtnonn 41961 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℕ)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2)) → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℕ)
54nncnd 11237 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2)) → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
65adantl 467 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))) → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
71, 6fprodcl 14888 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
8 2cn 11292 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
98a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℂ)
10 uznn0sub 11920 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
11 fmtnorec2 41973 . . . . . . 7 ((𝑁 − 2) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) + 2))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) + 2))
1312eqcomd 2776 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) + 2) = (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)))
147, 9, 13mvlraddd 10645 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) = ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2))
1514oveq2d 6808 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2)))
1615oveq2d 6808 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2))))
17 2nn0 11510 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
1817a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ0)
19 eluz2nn 11927 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
20 nnm1nn0 11535 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
2218, 21nn0expcld 13237 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
2318, 22nn0expcld 13237 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ0)
2423nn0cnd 11554 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
25 peano2nn0 11534 . . . . . . . 8 ((𝑁 − 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 2) + 1) ∈ ℕ0)
2610, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) ∈ ℕ0)
27 fmtnonn 41961 . . . . . . 7 (((𝑁 − 2) + 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) ∈ ℕ)
2826, 27syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) ∈ ℕ)
2928nncnd 11237 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) ∈ ℂ)
3024, 29, 9subdid 10687 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2)) = (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
31 eluzelcn 11899 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
32 ax-1cn 10195 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℂ)
34 subsub 10512 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
3534eqcomd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
3631, 9, 33, 35syl3anc 1475 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
37 2m1e1 11336 . . . . . . . . 9 (2 − 1) = 1
3837oveq2i 6803 . . . . . . . 8 (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1)
3936, 38syl6eq 2820 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
4039fveq2d 6336 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) = (FermatNo‘(𝑁 − 1)))
4140oveq2d 6808 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1))) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))
4241oveq1d 6807 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)) = (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
4330, 42eqtrd 2804 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2)) = (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
4443oveq2d 6808 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))))
45 fmtnonn 41961 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
4621, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
4746nncnd 11237 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
4847mulid2d 10259 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = (FermatNo‘(𝑁 − 1)))
4948eqcomd 2776 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = (1 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))
5049oveq1d 6807 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = ((1 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
5133, 24, 47adddird 10266 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = ((1 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
5233, 24addcomd 10439 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
53 fmtno 41959 . . . . . . . . 9 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
5421, 53syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
5552, 54eqtr4d 2807 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = (FermatNo‘(𝑁 − 1)))
5655oveq1d 6807 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))
5747sqvald 13211 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))
5856, 57eqtr4d 2807 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2))
5950, 51, 583eqtr2d 2810 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2))
6059oveq1d 6807 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
6124, 47mulcld 10261 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
6224, 9mulcld 10261 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2) ∈ ℂ)
6347, 61, 62addsubassd 10613 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))))
64 npcan1 10656 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
6531, 64syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
6665eqcomd 2776 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
6766fveq2d 6336 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘((𝑁 − 1) + 1)))
68 fmtnorec1 41967 . . . . 5 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) + 1))
6921, 68syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) + 1))
70 binom2sub1 13188 . . . . . . 7 ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ → (((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1))
7147, 70syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1))
7271oveq1d 6807 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) + 1) = (((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1) + 1))
7346nnsqcld 13235 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) ∈ ℕ)
7473nncnd 11237 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) ∈ ℂ)
759, 47mulcld 10261 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
7674, 75subcld 10593 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) ∈ ℂ)
7776, 33, 33addassd 10263 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1) + 1) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (1 + 1)))
78322timesi 11348 . . . . . . . . 9 (2 · 1) = (1 + 1)
7978eqcomi 2779 . . . . . . . 8 (1 + 1) = (2 · 1)
8079a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 + 1) = (2 · 1))
8180oveq2d 6808 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (1 + 1)) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (2 · 1)))
8277, 81eqtrd 2804 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1) + 1) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (2 · 1)))
838, 32mulcli 10246 . . . . . . . 8 (2 · 1) ∈ ℂ
8483a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 1) ∈ ℂ)
8574, 75, 84subadd23d 10615 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (2 · 1)) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + ((2 · 1) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))))
869, 33, 47subdid 10687 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = ((2 · 1) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
8786eqcomd 2776 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2 · 1) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
8887oveq2d 6808 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + ((2 · 1) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))))
8933, 47subcld 10593 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
909, 89mulneg2d 10685 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · -(1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = -(2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
9133, 47negsubdi2d 10609 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → -(1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1))
92 fmtnom1nn 41962 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
9321, 92syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
9491, 93eqtrd 2804 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → -(1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
9594oveq2d 6808 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · -(1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
9690, 95eqtr3d 2806 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → -(2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
9796oveq2d 6808 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − -(2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))))
989, 89mulcld 10261 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) ∈ ℂ)
9974, 98subnegd 10600 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − -(2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))))
1009, 24mulcomd 10262 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))
101100oveq2d 6808 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
10297, 99, 1013eqtr3d 2812 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
10385, 88, 1023eqtrd 2808 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (2 · 1)) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
10472, 82, 1033eqtrd 2808 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) + 1) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
10567, 69, 1043eqtrrd 2809 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)) = (FermatNo‘𝑁))
10660, 63, 1053eqtr3d 2812 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))) = (FermatNo‘𝑁))
10716, 44, 1063eqtrrd 2809 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘𝑁) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  cfv 6031  (class class class)co 6792  cc 10135  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142  cmin 10467  -cneg 10468  cn 11221  2c2 11271  0cn0 11493  cuz 11887  ...cfz 12532  cexp 13066  cprod 14841  FermatNocfmtno 41957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-prod 14842  df-fmtno 41958
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator