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Theorem fmtnoprmfac2 42007
Description: Divisor of Fermat number (special form of Lucas' result, see fmtnofac2 42009): Let Fn be a Fermat number. Let p be a prime divisor of Fn. Then p is in the form: k*2^(n+2)+1 where k is a positive integer. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoprmfac2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘

Proof of Theorem fmtnoprmfac2
StepHypRef Expression
1 breq1 4789 . . . . . . 7 (𝑃 = 2 → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
21adantr 466 . . . . . 6 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
3 eluzge2nn0 11929 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4 fmtnoodd 41973 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))
65adantl 467 . . . . . . 7 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))
76pm2.21d 119 . . . . . 6 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (2 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
82, 7sylbid 230 . . . . 5 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
98a1d 25 . . . 4 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
109ex 397 . . 3 (𝑃 = 2 → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))))
11103impd 1441 . 2 (𝑃 = 2 → ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
12 simpr1 1233 . . . . 5 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
13 neqne 2951 . . . . . . . . . 10 𝑃 = 2 → 𝑃 ≠ 2)
1413anim2i 603 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
15 eldifsn 4453 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
1614, 15sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
1716ex 397 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 𝑃 = 2 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})))
18173ad2ant2 1128 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (¬ 𝑃 = 2 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})))
1918impcom 394 . . . . 5 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
20 simpr3 1237 . . . . 5 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))
21 fmtnoprmfac2lem1 42006 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
2212, 19, 20, 21syl3anc 1476 . . . 4 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
23 simpl 468 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → 𝑃 ∈ ℙ)
24 2nn 11387 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → 2 ∈ ℕ)
26 oddprm 15722 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
2716, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
2827nnnn0d 11553 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
2925, 28nnexpcld 13237 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℕ)
3029nnzd 11683 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
3123, 30jca 501 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ))
3231ex 397 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)))
33323ad2ant2 1128 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (¬ 𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)))
3433impcom 394 . . . . . 6 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ))
35 modprm1div 15709 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ) → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
3634, 35syl 17 . . . . 5 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
37 prmnn 15595 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3837adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → 𝑃 ∈ ℕ)
39 2z 11611 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → 2 ∈ ℤ)
4113necomd 2998 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 = 2 → 2 ≠ 𝑃)
4241adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → 2 ≠ 𝑃)
43 2prm 15612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℙ
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑃 = 2 → 2 ∈ ℙ)
4544anim2i 603 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ))
4645ancomd 453 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ))
47 prmrp 15631 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
4942, 48mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (2 gcd 𝑃) = 1)
5038, 40, 493jca 1122 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1))
5150, 28jca 501 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
5251ex 397 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 𝑃 = 2 → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)))
53523ad2ant2 1128 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (¬ 𝑃 = 2 → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)))
5453impcom 394 . . . . . . 7 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
55 odzdvds 15707 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1) ↔ ((od𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2)))
5654, 55syl 17 . . . . . 6 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (𝑃 ∥ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1) ↔ ((od𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2)))
57 eluz2nn 11928 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
58573ad2ant1 1127 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
5958adantl 467 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
60 fmtnoprmfac1lem 42004 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))
6159, 19, 20, 60syl3anc 1476 . . . . . . 7 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))
62 breq1 4789 . . . . . . . . . 10 (((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)) → (((od𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2)))
6362adantl 467 . . . . . . . . 9 (((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))) → (((od𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2)))
6424a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ)
65 peano2nn 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
6657, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
6766nnnn0d 11553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
6864, 67nnexpcld 13237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
69 nndivides 15199 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2)))
7068, 27, 69syl2an 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2)) → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2)))
71 eqcom 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2) ↔ ((𝑃 − 1) / 2) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))))
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2) ↔ ((𝑃 − 1) / 2) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1)))))
7337nncnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
74 peano2cnm 10549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
7675adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
7776adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
78 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
7968ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
8078, 79nnmulcld 11270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℕ)
8180nncnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
82 2cnne0 11444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
84 divmul3 10892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑃 − 1) / 2) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) ↔ (𝑃 − 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) · 2)))
8577, 81, 83, 84syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑃 − 1) / 2) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) ↔ (𝑃 − 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) · 2)))
86 nncn 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
8786adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
8868nncnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
8988ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
90 2cnd 11295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
9187, 89, 90mulassd 10265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) · 2) = (𝑘 · ((2↑(𝑁 + 1)) · 2)))
92 2cnd 11295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
9365nnnn0d 11553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
9492, 93expp1d 13216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((𝑁 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 + 1)) · 2))
95 nncn 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
96 add1p1 11485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
9897oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((𝑁 + 1) + 1)) = (2↑(𝑁 + 2)))
9994, 98eqtr3d 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(𝑁 + 1)) · 2) = (2↑(𝑁 + 2)))
10057, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(𝑁 + 1)) · 2) = (2↑(𝑁 + 2)))
101100ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 + 1)) · 2) = (2↑(𝑁 + 2)))
102101oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · ((2↑(𝑁 + 1)) · 2)) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))))
10391, 102eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) · 2) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))))
104103eqeq2d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) · 2) ↔ (𝑃 − 1) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2)))))
10573adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℂ)
106105adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
107 1cnd 10258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
108 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
10924a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
110108, 109nnaddcld 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ ℕ)
111110nnnn0d 11553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ ℕ0)
11257, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 2) ∈ ℕ0)
11364, 112nnexpcld 13237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℕ)
114113nncnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
115114ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
11687, 115mulcld 10262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ)
117106, 107, 116subadd2d 10613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) = (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) ↔ ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = 𝑃))
118 eqcom 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = 𝑃𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = 𝑃𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
120104, 117, 1193bitrd 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) · 2) ↔ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
12172, 85, 1203bitrd 294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2) ↔ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
122121rexbidva 3197 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (∃𝑘 ∈ ℕ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
123122biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (∃𝑘 ∈ ℕ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
124123adantrr 696 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2)) → (∃𝑘 ∈ ℕ (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
12570, 124sylbid 230 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2)) → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
126125expr 444 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (¬ 𝑃 = 2 → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
1271263adant3 1126 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (¬ 𝑃 = 2 → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
128127impcom 394 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
129128adantr 466 . . . . . . . . 9 (((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))) → ((2↑(𝑁 + 1)) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
13063, 129sylbid 230 . . . . . . . 8 (((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))) → (((od𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
131130ex 397 . . . . . . 7 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)) → (((od𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
13261, 131mpd 15 . . . . . 6 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((od𝑃)‘2) ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
13356, 132sylbid 230 . . . . 5 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (𝑃 ∥ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
13436, 133sylbid 230 . . . 4 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
13522, 134mpd 15 . . 3 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
136135ex 397 . 2 𝑃 = 2 → ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
13711, 136pm2.61i 176 1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062  cdif 3720  {csn 4316   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  cmin 10468   / cdiv 10886  cn 11222  2c2 11272  0cn0 11494  cz 11579  cuz 11888   mod cmo 12876  cexp 13067  cdvds 15189   gcd cgcd 15424  cprime 15592  odcodz 15675  FermatNocfmtno 41967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-prod 14843  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-prm 15593  df-odz 15677  df-phi 15678  df-pc 15749  df-lgs 25241  df-fmtno 41968
This theorem is referenced by:  fmtnofac2  42009  fmtno4prmfac  42012
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