Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnoge3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnoge3 41921
Description: Each Fermat number is greater than or equal to 3. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoge3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ (ℤ‘3))

Proof of Theorem fmtnoge3
StepHypRef Expression
1 fmtno 41920 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
2 3z 11573 . . . 4 3 ∈ ℤ
32a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℤ)
4 2nn0 11472 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
54a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
6 id 22 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
75, 6nn0expcld 13196 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
85, 7nn0expcld 13196 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
9 peano2nn0 11496 . . . . 5 ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ0)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ0)
1110nn0zd 11643 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℤ)
12 3m1e2 11300 . . . . 5 (3 − 1) = 2
13 2cn 11254 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
14 exp1 13031 . . . . . . 7 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6 (2↑1) = 2
16 2re 11253 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
18 1le2 11404 . . . . . . . . 9 1 ≤ 2
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ 2)
2017, 6, 19expge1d 13192 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (2↑𝑁))
21 1zzd 11571 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
227nn0zd 11643 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
23 1lt2 11357 . . . . . . . . 9 1 < 2
2423a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 < 2)
2517, 21, 22, 24leexp2d 13204 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ (2↑𝑁) ↔ (2↑1) ≤ (2↑(2↑𝑁))))
2620, 25mpbid 222 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑1) ≤ (2↑(2↑𝑁)))
2715, 26syl5eqbrr 4828 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≤ (2↑(2↑𝑁)))
2812, 27syl5eqbr 4827 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (3 − 1) ≤ (2↑(2↑𝑁)))
29 3re 11257 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
3029a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℝ)
31 1red 10218 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
328nn0red 11515 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ)
3330, 31, 32lesubaddd 10787 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((3 − 1) ≤ (2↑(2↑𝑁)) ↔ 3 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
3428, 33mpbid 222 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
35 eluz2 11856 . . 3 (((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
363, 11, 34, 35syl3anbrc 1407 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ (ℤ‘3))
371, 36eqeltrd 2827 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ (ℤ‘3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1620  wcel 2127   class class class wbr 4792  cfv 6037  (class class class)co 6801  cc 10097  cr 10098  1c1 10100   + caddc 10102   < clt 10237  cle 10238  cmin 10429  2c2 11233  3c3 11234  0cn0 11455  cz 11540  cuz 11850  cexp 13025  FermatNocfmtno 41918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-seq 12967  df-exp 13026  df-fmtno 41919
This theorem is referenced by:  fmtnonn  41922  prmdvdsfmtnof  41977  prmdvdsfmtnof1  41978
  Copyright terms: Public domain W3C validator