Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnof1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnof1 41874
Description: The enumeration of the Fermat numbers is a one-one function into the positive integers. (Contributed by AV, 3-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnof1 FermatNo:ℕ01-1→ℕ

Proof of Theorem fmtnof1
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-fmtno 41867 . . 3 FermatNo = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
2 2nn 11298 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
32a1i 11 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
4 2nn0 11422 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
54a1i 11 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
6 id 22 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
75, 6nn0expcld 13146 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
83, 7nnexpcld 13145 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℕ)
98peano2nnd 11150 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) ∈ ℕ)
101, 9fmpti 6498 . 2 FermatNo:ℕ0⟶ℕ
11 fmtno 41868 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) = ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
12 fmtno 41868 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑚) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1))
1311, 12eqeqan12d 2740 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) ↔ ((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1)))
145, 7nn0expcld 13146 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℕ0)
1514nn0cnd 11466 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℂ)
1615adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℂ)
174a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
18 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0)
1917, 18nn0expcld 13146 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑𝑚) ∈ ℕ0)
2017, 19nn0expcld 13146 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑚)) ∈ ℕ0)
2120nn0cnd 11466 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑚)) ∈ ℂ)
2221adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑚)) ∈ ℂ)
23 1cnd 10169 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
2416, 22, 23addcan2d 10353 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1) ↔ (2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑚))))
25 2re 11203 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
277nn0zd 11593 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑𝑛) ∈ ℤ)
2827adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℤ)
2919nn0zd 11593 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
3029adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
31 1lt2 11307 . . . . . . . 8 1 < 2
3231a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → 1 < 2)
33 expcan 13028 . . . . . . 7 (((2 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑛) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑚) ∈ ℤ) ∧ 1 < 2) → ((2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑚)) ↔ (2↑𝑛) = (2↑𝑚)))
3426, 28, 30, 32, 33syl31anc 1442 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑚)) ↔ (2↑𝑛) = (2↑𝑚)))
3524, 34bitrd 268 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1) ↔ (2↑𝑛) = (2↑𝑚)))
36 nn0z 11513 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
3736adantr 472 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
38 nn0z 11513 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℤ)
3938adantl 473 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℤ)
40 expcan 13028 . . . . . . 7 (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 < 2) → ((2↑𝑛) = (2↑𝑚) ↔ 𝑛 = 𝑚))
4140biimpd 219 . . . . . 6 (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 < 2) → ((2↑𝑛) = (2↑𝑚) → 𝑛 = 𝑚))
4226, 37, 39, 32, 41syl31anc 1442 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑛) = (2↑𝑚) → 𝑛 = 𝑚))
4335, 42sylbid 230 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1) → 𝑛 = 𝑚))
4413, 43sylbid 230 . . 3 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) → 𝑛 = 𝑚))
4544rgen2 3077 . 2 𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0 ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) → 𝑛 = 𝑚)
46 dff13 6627 . 2 (FermatNo:ℕ01-1→ℕ ↔ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0 ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) → 𝑛 = 𝑚)))
4710, 45, 46mpbir2an 993 1 FermatNo:ℕ01-1→ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014   class class class wbr 4760  wf 5997  1-1wf1 5998  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047  cr 10048  1c1 10050   + caddc 10052   < clt 10187  cn 11133  2c2 11183  0cn0 11405  cz 11490  cexp 12975  FermatNocfmtno 41866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-seq 12917  df-exp 12976  df-fmtno 41867
This theorem is referenced by:  fmtnoinf  41875
  Copyright terms: Public domain W3C validator