Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnodvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnodvds 41883
Description: Any Fermat number divides a greater Fermat number minus 2. Corrolary of fmtnorec2 41882, see ProofWiki "Product of Sequence of Fermat Numbers plus 2/Corollary", 31-Jul-2021. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnodvds ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘𝑁) ∥ ((FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) − 2))

Proof of Theorem fmtnodvds
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 nn0nnaddcl 11437 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ)
3 nnm1nn0 11447 . . . . 5 ((𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ → ((𝑁 + 𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
5 1red 10168 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
6 nnre 11140 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
76adantl 473 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
8 nn0re 11414 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
98adantr 472 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
10 nnge1 11159 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
1110adantl 473 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑀)
125, 7, 9, 11leadd2dd 10755 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 𝑀))
13 readdcl 10132 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ)
148, 6, 13syl2an 495 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ)
15 leaddsub 10617 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 𝑀) ∈ ℝ) → ((𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 𝑀) ↔ 𝑁 ≤ ((𝑁 + 𝑀) − 1)))
169, 5, 14, 15syl3anc 1439 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 𝑀) ↔ 𝑁 ≤ ((𝑁 + 𝑀) − 1)))
1712, 16mpbid 222 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ≤ ((𝑁 + 𝑀) − 1))
18 elfz2nn0 12545 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 𝑀) − 1) ∈ ℕ0𝑁 ≤ ((𝑁 + 𝑀) − 1)))
191, 4, 17, 18syl3anbrc 1383 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)))
20 fzfid 12887 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) ∈ Fin)
21 fz0ssnn0 12549 . . . . 5 (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) ⊆ ℕ0
2221a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) ⊆ ℕ0)
23 2nn0 11422 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
2423a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
25 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
2624, 25nn0expcld 13146 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
2724, 26nn0expcld 13146 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℕ0)
2827nn0zd 11593 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℤ)
2928peano2zd 11598 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) ∈ ℤ)
3029adantl 473 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) ∈ ℤ)
31 df-fmtno 41867 . . . . 5 FermatNo = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
3230, 31fmptd 6500 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → FermatNo:ℕ0⟶ℤ)
3320, 22, 32fprodfvdvdsd 15181 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑛) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘))
34 fveq2 6304 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑁))
3534breq1d 4770 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → ((FermatNo‘𝑛) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) ↔ (FermatNo‘𝑁) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘)))
3635rspcv 3409 . . 3 (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) → (∀𝑛 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑛) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) → (FermatNo‘𝑁) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘)))
3719, 33, 36sylc 65 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘𝑁) ∥ ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘))
38 elfznn0 12547 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3938adantl 473 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
40 fmtnonn 41870 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑘) ∈ ℕ)
4139, 40syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))) → (FermatNo‘𝑘) ∈ ℕ)
4241nncnd 11149 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))) → (FermatNo‘𝑘) ∈ ℂ)
4320, 42fprodcl 14802 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) ∈ ℂ)
44 2cnd 11206 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
45 nn0cn 11415 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
46 nncn 11141 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
47 addcl 10131 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℂ)
4845, 46, 47syl2an 495 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℂ)
49 npcan1 10568 . . . . . . 7 ((𝑁 + 𝑀) ∈ ℂ → (((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1) = (𝑁 + 𝑀))
5048, 49syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1) = (𝑁 + 𝑀))
5150eqcomd 2730 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝑀) = (((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1))
5251fveq2d 6308 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) = (FermatNo‘(((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1)))
53 fmtnorec2 41882 . . . . 5 (((𝑁 + 𝑀) − 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1)) = (∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) + 2))
544, 53syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘(((𝑁 + 𝑀) − 1) + 1)) = (∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) + 2))
5552, 54eqtrd 2758 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) = (∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘) + 2))
5643, 44, 55mvrraddd 10558 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ((FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) − 2) = ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 𝑀) − 1))(FermatNo‘𝑘))
5737, 56breqtrrd 4788 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (FermatNo‘𝑁) ∥ ((FermatNo‘(𝑁 + 𝑀)) − 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014  wss 3680   class class class wbr 4760  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052  cle 10188  cmin 10379  cn 11133  2c2 11183  0cn0 11405  cz 11490  ...cfz 12440  cexp 12975  cprod 14755  cdvds 15103  FermatNocfmtno 41866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-oi 8531  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-seq 12917  df-exp 12976  df-hash 13233  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-clim 14339  df-prod 14756  df-dvds 15104  df-fmtno 41867
This theorem is referenced by:  goldbachthlem1  41884
  Copyright terms: Public domain W3C validator