Theorem fmtno5faclem2 42010

Description: Lemma 2 for fmtno5fac 42012. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5faclem2	⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Proof of Theorem fmtno5faclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 11514	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ0
2		7nn0 11515	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 11713	. . . . . 6 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
4		0nn0 11508	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 11713	. . . . 5 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 11713	. . . 4 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
7		4nn0 11512	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 11713	. . 3 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
9		1nn0 11509	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 11713	. 2 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
11		eqid 2770	. 2 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
12		2nn0 11510	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13	7, 4	deccl 11713	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
14	13, 12	deccl 11713	. . . . . 6 ⊢ ;;402 ∈ ℕ0
15	14, 4	deccl 11713	. . . . 5 ⊢ ;;;4020 ∈ ℕ0
16	15, 12	deccl 11713	. . . 4 ⊢ ;;;;40202 ∈ ℕ0
17	16, 7	deccl 11713	. . 3 ⊢ ;;;;;402024 ∈ ℕ0
18		eqid 2770	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
19		eqid 2770	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
20		eqid 2770	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
21		eqid 2770	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
22		eqid 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
23		3nn0 11511	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24		6t6e36 11846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 · 6) = ;36
25		3p1e4 11354	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
26		6p4e10 11798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 + 4) = ;10
27	23, 1, 7, 24, 25, 26	decaddci2 11781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 · 6) + 4) = ;40
28		7t6e42 11852	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 · 6) = ;42
29	1, 1, 2, 22, 12, 7, 27, 28	decmul1c 11787	. . . . . . . 8 ⊢ (;67 · 6) = ;;402
30		6cn 11303	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
31	30	mul02i 10426	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 6) = 0
32	1, 3, 4, 21, 4, 29, 31	decmul1 11785	. . . . . . 7 ⊢ (;;670 · 6) = ;;;4020
33	1, 5, 4, 20, 4, 32, 31	decmul1 11785	. . . . . 6 ⊢ (;;;6700 · 6) = ;;;;40200
34		2cn 11292	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
35	34	addid2i 10425	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
36	15, 4, 12, 33, 35	decaddi 11779	. . . . 5 ⊢ ((;;;6700 · 6) + 2) = ;;;;40202
37		4cn 11299	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
38		6t4e24 11843	. . . . . 6 ⊢ (6 · 4) = ;24
39	30, 37, 38	mulcomli 10248	. . . . 5 ⊢ (4 · 6) = ;24
40	1, 6, 7, 19, 7, 12, 36, 39	decmul1c 11787	. . . 4 ⊢ (;;;;67004 · 6) = ;;;;;402024
41	30	mulid2i 10244	. . . 4 ⊢ (1 · 6) = 6
42	1, 8, 9, 18, 1, 40, 41	decmul1 11785	. . 3 ⊢ (;;;;;670041 · 6) = ;;;;;;4020246
43		eqid 2770	. . . 4 ⊢ ;;;;;402024 = ;;;;;402024
44		4p1e5 11355	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
45	16, 7, 9, 43, 44	decaddi 11779	. . 3 ⊢ (;;;;;402024 + 1) = ;;;;;402025
46	17, 1, 7, 42, 45, 26	decaddci2 11781	. 2 ⊢ ((;;;;;670041 · 6) + 4) = ;;;;;;4020250
47	1, 10, 2, 11, 12, 7, 46, 28	decmul1c 11787	1 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502

Syntax hints:   = wceq 1630  (class class class)co 6792  0cc0 10137  1c1 10138   · cmul 10142  2c2 11271  3c3 11272  4c4 11273  5c5 11274  6c6 11275  7c7 11276  ;cdc 11694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-ltxr 10280  df-sub 10469  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-dec 11695

This theorem is referenced by:  fmtno5fac  42012