Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno5fac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno5fac 42022
Description: The factorisation of the 5 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno5fac (FermatNo‘5) = (6700417 · 641)

Proof of Theorem fmtno5fac
StepHypRef Expression
1 4nn0 11513 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℕ0
2 2nn0 11511 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11714 . . . . . . . . . 10 42 ∈ ℕ0
4 8nn0 11517 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ0
53, 4deccl 11714 . . . . . . . . 9 428 ∈ ℕ0
65, 4deccl 11714 . . . . . . . 8 4288 ∈ ℕ0
76, 2deccl 11714 . . . . . . 7 42882 ∈ ℕ0
8 6nn0 11515 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
97, 8deccl 11714 . . . . . 6 428826 ∈ ℕ0
109, 8deccl 11714 . . . . 5 4288266 ∈ ℕ0
1110, 4deccl 11714 . . . 4 42882668 ∈ ℕ0
1211, 4deccl 11714 . . 3 428826688 ∈ ℕ0
13 0nn0 11509 . . 3 0 ∈ ℕ0
14 7nn0 11516 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
158, 14deccl 11714 . . . . . . 7 67 ∈ ℕ0
1615, 13deccl 11714 . . . . . 6 670 ∈ ℕ0
1716, 13deccl 11714 . . . . 5 6700 ∈ ℕ0
1817, 1deccl 11714 . . . 4 67004 ∈ ℕ0
19 1nn0 11510 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2018, 19deccl 11714 . . 3 670041 ∈ ℕ0
21 fmtno5faclem3 42021 . . . 4 (402025020 + 26801668) = 428826688
2221deceq1i 11706 . . 3 (402025020 + 26801668)0 = 4288266880
23 eqid 2771 . . 3 6700417 = 6700417
24 eqid 2771 . . . 4 428826688 = 428826688
25 eqid 2771 . . . 4 670041 = 670041
26 eqid 2771 . . . . 5 42882668 = 42882668
27 eqid 2771 . . . . 5 67004 = 67004
28 9nn0 11518 . . . . . . . . . 10 9 ∈ ℕ0
293, 28deccl 11714 . . . . . . . . 9 429 ∈ ℕ0
3029, 1deccl 11714 . . . . . . . 8 4294 ∈ ℕ0
3130, 28deccl 11714 . . . . . . 7 42949 ∈ ℕ0
3231, 8deccl 11714 . . . . . 6 429496 ∈ ℕ0
33 6p1e7 11358 . . . . . 6 (6 + 1) = 7
34 eqid 2771 . . . . . . 7 4288266 = 4288266
35 eqid 2771 . . . . . . 7 6700 = 6700
36 eqid 2771 . . . . . . . 8 428826 = 428826
37 eqid 2771 . . . . . . . 8 670 = 670
38 eqid 2771 . . . . . . . . 9 42882 = 42882
39 eqid 2771 . . . . . . . . 9 67 = 67
40 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 4288 = 4288
41 8p1e9 11360 . . . . . . . . . . 11 (8 + 1) = 9
42 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 428 = 428
433, 4, 41, 42decsuc 11737 . . . . . . . . . 10 (428 + 1) = 429
44 8p6e14 11817 . . . . . . . . . 10 (8 + 6) = 14
455, 4, 8, 40, 43, 1, 44decaddci 11781 . . . . . . . . 9 (4288 + 6) = 4294
46 7cn 11306 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℂ
47 2cn 11293 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
48 7p2e9 11374 . . . . . . . . . 10 (7 + 2) = 9
4946, 47, 48addcomli 10430 . . . . . . . . 9 (2 + 7) = 9
506, 2, 8, 14, 38, 39, 45, 49decadd 11771 . . . . . . . 8 (42882 + 67) = 42949
51 6cn 11304 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
5251addid1i 10425 . . . . . . . 8 (6 + 0) = 6
537, 8, 15, 13, 36, 37, 50, 52decadd 11771 . . . . . . 7 (428826 + 670) = 429496
549, 8, 16, 13, 34, 35, 53, 52decadd 11771 . . . . . 6 (4288266 + 6700) = 4294966
5532, 8, 33, 54decsuc 11737 . . . . 5 ((4288266 + 6700) + 1) = 4294967
56 8p4e12 11815 . . . . 5 (8 + 4) = 12
5710, 4, 17, 1, 26, 27, 55, 2, 56decaddc 11773 . . . 4 (42882668 + 67004) = 42949672
5811, 4, 18, 19, 24, 25, 57, 41decadd 11771 . . 3 (428826688 + 670041) = 429496729
5946addid2i 10426 . . 3 (0 + 7) = 7
6012, 13, 20, 14, 22, 23, 58, 59decadd 11771 . 2 ((402025020 + 26801668)0 + 6700417) = 4294967297
618, 1deccl 11714 . . 3 64 ∈ ℕ0
6220, 14deccl 11714 . . 3 6700417 ∈ ℕ0
63 fmtno5faclem2 42020 . . . . . 6 (6700417 · 6) = 40202502
6463eqcomi 2780 . . . . 5 40202502 = (6700417 · 6)
65 fmtno5faclem1 42019 . . . . . 6 (6700417 · 4) = 26801668
6665eqcomi 2780 . . . . 5 26801668 = (6700417 · 4)
678, 1, 62, 64, 66decmul10add 11794 . . . 4 (6700417 · 64) = (402025020 + 26801668)
6867eqcomi 2780 . . 3 (402025020 + 26801668) = (6700417 · 64)
6962nn0cni 11506 . . . . 5 6700417 ∈ ℂ
7069mulid1i 10244 . . . 4 (6700417 · 1) = 6700417
7170eqcomi 2780 . . 3 6700417 = (6700417 · 1)
7261, 19, 62, 68, 71decmul10add 11794 . 2 (6700417 · 641) = ((402025020 + 26801668)0 + 6700417)
73 fmtno5 41997 . 2 (FermatNo‘5) = 4294967297
7460, 72, 733eqtr4ri 2804 1 (FermatNo‘5) = (6700417 · 641)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1631  cfv 6031  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  2c2 11272  4c4 11274  5c5 11275  6c6 11276  7c7 11277  8c8 11278  9c9 11279  cdc 11695  FermatNocfmtno 41967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fmtno 41968
This theorem is referenced by:  fmtno5nprm  42023
  Copyright terms: Public domain W3C validator