Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno4prmfac193 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno4prmfac193 41995
Description: If P was a (prime) factor of the fourth Fermat number, it would be 193. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno4prmfac193 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑃 = 193)

Proof of Theorem fmtno4prmfac193
StepHypRef Expression
1 fmtno4prmfac 41994 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))
2 5nn 11380 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ
3 1nn0 11500 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
4 3nn 11378 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11710 . . . . . . . 8 13 ∈ ℕ
6 1lt5 11395 . . . . . . . 8 1 < 5
7 1nn 11223 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
8 3nn0 11502 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
9 1lt10 11873 . . . . . . . . 9 1 < 10
107, 8, 3, 9declti 11738 . . . . . . . 8 1 < 13
11 eqid 2760 . . . . . . . 8 (5 · 13) = (5 · 13)
122, 5, 6, 10, 11nprmi 15604 . . . . . . 7 ¬ (5 · 13) ∈ ℙ
13 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 65 → 𝑃 = 65)
14 5nn0 11504 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ0
15 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 13 = 13
16 5cn 11292 . . . . . . . . . . . . 13 5 ∈ ℂ
1716mulid1i 10234 . . . . . . . . . . . 12 (5 · 1) = 5
1817oveq1i 6823 . . . . . . . . . . 11 ((5 · 1) + 1) = (5 + 1)
19 5p1e6 11347 . . . . . . . . . . 11 (5 + 1) = 6
2018, 19eqtri 2782 . . . . . . . . . 10 ((5 · 1) + 1) = 6
21 5t3e15 11827 . . . . . . . . . 10 (5 · 3) = 15
2214, 3, 8, 15, 14, 3, 20, 21decmul2c 11781 . . . . . . . . 9 (5 · 13) = 65
2313, 22syl6eqr 2812 . . . . . . . 8 (𝑃 = 65 → 𝑃 = (5 · 13))
2423eleq1d 2824 . . . . . . 7 (𝑃 = 65 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (5 · 13) ∈ ℙ))
2512, 24mtbiri 316 . . . . . 6 (𝑃 = 65 → ¬ 𝑃 ∈ ℙ)
2625pm2.21d 118 . . . . 5 (𝑃 = 65 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = 193))
27 4nn0 11503 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ0
2827, 4decnncl 11710 . . . . . . . 8 43 ∈ ℕ
29 4nn 11379 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ
3029, 8, 3, 9declti 11738 . . . . . . . 8 1 < 43
31 1lt3 11388 . . . . . . . 8 1 < 3
32 eqid 2760 . . . . . . . 8 (43 · 3) = (43 · 3)
3328, 4, 30, 31, 32nprmi 15604 . . . . . . 7 ¬ (43 · 3) ∈ ℙ
34 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 129 → 𝑃 = 129)
35 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 43 = 43
36 9nn0 11508 . . . . . . . . . 10 9 ∈ ℕ0
37 4t3e12 11824 . . . . . . . . . 10 (4 · 3) = 12
38 3t3e9 11372 . . . . . . . . . 10 (3 · 3) = 9
398, 27, 8, 35, 36, 37, 38decmul1 11777 . . . . . . . . 9 (43 · 3) = 129
4034, 39syl6eqr 2812 . . . . . . . 8 (𝑃 = 129 → 𝑃 = (43 · 3))
4140eleq1d 2824 . . . . . . 7 (𝑃 = 129 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (43 · 3) ∈ ℙ))
4233, 41mtbiri 316 . . . . . 6 (𝑃 = 129 → ¬ 𝑃 ∈ ℙ)
4342pm2.21d 118 . . . . 5 (𝑃 = 129 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = 193))
44 ax-1 6 . . . . 5 (𝑃 = 193 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = 193))
4526, 43, 443jaoi 1540 . . . 4 ((𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193) → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = 193))
4645com12 32 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193) → 𝑃 = 193))
47463ad2ant1 1128 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → ((𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193) → 𝑃 = 193))
481, 47mpd 15 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑃 = 193)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3o 1071  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  cle 10267  2c2 11262  3c3 11263  4c4 11264  5c5 11265  6c6 11266  9c9 11269  cdc 11685  cfl 12785  csqrt 14172  cdvds 15182  cprime 15587  FermatNocfmtno 41949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-prod 14835  df-dvds 15183  df-gcd 15419  df-prm 15588  df-odz 15672  df-phi 15673  df-pc 15744  df-lgs 25219  df-fmtno 41950
This theorem is referenced by:  fmtno4prm  41997
  Copyright terms: Public domain W3C validator