Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno4nprmfac193 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno4nprmfac193 42014
 Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno4nprmfac193 ¬ 193 ∥ (FermatNo‘4)

Proof of Theorem fmtno4nprmfac193
StepHypRef Expression
1 1nn0 11510 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
2 9nn0 11518 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11714 . . . 4 19 ∈ ℕ0
4 3nn 11388 . . . 4 3 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11720 . . 3 193 ∈ ℕ
6 3nn0 11512 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
76, 6deccl 11714 . . . 4 33 ∈ ℕ0
87, 2deccl 11714 . . 3 339 ∈ ℕ0
9 1nn 11233 . . . . 5 1 ∈ ℕ
101, 9decnncl 11720 . . . 4 11 ∈ ℕ
1110decnncl2 11727 . . 3 110 ∈ ℕ
12 6nn0 11515 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
13 5nn0 11514 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
1412, 13deccl 11714 . . . . . 6 65 ∈ ℕ0
15 4nn0 11513 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
1614, 15deccl 11714 . . . . 5 654 ∈ ℕ0
17 2nn0 11511 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
1816, 17deccl 11714 . . . 4 6542 ∈ ℕ0
19 7nn0 11516 . . . 4 7 ∈ ℕ0
201, 1deccl 11714 . . . 4 11 ∈ ℕ0
21 0nn0 11509 . . . 4 0 ∈ ℕ0
223, 6deccl 11714 . . . . 5 193 ∈ ℕ0
23 eqid 2771 . . . . 5 339 = 339
241, 19deccl 11714 . . . . . 6 17 ∈ ℕ0
2524, 6deccl 11714 . . . . 5 173 ∈ ℕ0
26 eqid 2771 . . . . . 6 33 = 33
27 eqid 2771 . . . . . 6 173 = 173
28 8nn0 11517 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ0
2913, 28deccl 11714 . . . . . 6 58 ∈ ℕ0
3013, 19deccl 11714 . . . . . . 7 57 ∈ ℕ0
31 eqid 2771 . . . . . . . 8 193 = 193
32 eqid 2771 . . . . . . . . 9 19 = 19
33 3cn 11297 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
3433mulid2i 10245 . . . . . . . . . . 11 (1 · 3) = 3
3534oveq1i 6803 . . . . . . . . . 10 ((1 · 3) + 2) = (3 + 2)
36 3p2e5 11362 . . . . . . . . . 10 (3 + 2) = 5
3735, 36eqtri 2793 . . . . . . . . 9 ((1 · 3) + 2) = 5
38 9t3e27 11865 . . . . . . . . 9 (9 · 3) = 27
396, 1, 2, 32, 19, 17, 37, 38decmul1c 11788 . . . . . . . 8 (19 · 3) = 57
40 3t3e9 11382 . . . . . . . 8 (3 · 3) = 9
416, 3, 6, 31, 2, 39, 40decmul1 11786 . . . . . . 7 (193 · 3) = 579
42 eqid 2771 . . . . . . . 8 17 = 17
43 eqid 2771 . . . . . . . 8 58 = 58
44 5cn 11302 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℂ
45 ax-1cn 10196 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
46 5p1e6 11357 . . . . . . . . . . 11 (5 + 1) = 6
4744, 45, 46addcomli 10430 . . . . . . . . . 10 (1 + 5) = 6
4847oveq1i 6803 . . . . . . . . 9 ((1 + 5) + 1) = (6 + 1)
49 6p1e7 11358 . . . . . . . . 9 (6 + 1) = 7
5048, 49eqtri 2793 . . . . . . . 8 ((1 + 5) + 1) = 7
51 8cn 11308 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
52 7cn 11306 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
53 8p7e15 11818 . . . . . . . . 9 (8 + 7) = 15
5451, 52, 53addcomli 10430 . . . . . . . 8 (7 + 8) = 15
551, 19, 13, 28, 42, 43, 50, 13, 54decaddc 11773 . . . . . . 7 (17 + 58) = 75
56 4p1e5 11356 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
57 eqid 2771 . . . . . . . . 9 57 = 57
58 7p7e14 11810 . . . . . . . . 9 (7 + 7) = 14
5913, 19, 19, 57, 46, 15, 58decaddci 11781 . . . . . . . 8 (57 + 7) = 64
6012, 15, 56, 59decsuc 11737 . . . . . . 7 ((57 + 7) + 1) = 65
61 9p5e14 11824 . . . . . . 7 (9 + 5) = 14
6230, 2, 19, 13, 41, 55, 60, 15, 61decaddc 11773 . . . . . 6 ((193 · 3) + (17 + 58)) = 654
63 7p1e8 11359 . . . . . . . 8 (7 + 1) = 8
6413, 19, 63, 57decsuc 11737 . . . . . . 7 (57 + 1) = 58
65 9p3e12 11822 . . . . . . 7 (9 + 3) = 12
6630, 2, 6, 41, 64, 17, 65decaddci 11781 . . . . . 6 ((193 · 3) + 3) = 582
676, 6, 24, 6, 26, 27, 22, 17, 29, 62, 66decma2c 11769 . . . . 5 ((193 · 33) + 173) = 6542
68 9cn 11310 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℂ
6968mulid2i 10245 . . . . . . . . . 10 (1 · 9) = 9
7069oveq1i 6803 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + 8) = (9 + 8)
71 9p8e17 11827 . . . . . . . . 9 (9 + 8) = 17
7270, 71eqtri 2793 . . . . . . . 8 ((1 · 9) + 8) = 17
73 9t9e81 11871 . . . . . . . 8 (9 · 9) = 81
742, 1, 2, 32, 1, 28, 72, 73decmul1c 11788 . . . . . . 7 (19 · 9) = 171
75 1p2e3 11354 . . . . . . 7 (1 + 2) = 3
7624, 1, 17, 74, 75decaddi 11780 . . . . . 6 ((19 · 9) + 2) = 173
7768, 33, 38mulcomli 10249 . . . . . 6 (3 · 9) = 27
782, 3, 6, 31, 19, 17, 76, 77decmul1c 11788 . . . . 5 (193 · 9) = 1737
7922, 7, 2, 23, 19, 25, 67, 78decmul2c 11790 . . . 4 (193 · 339) = 65427
80 eqid 2771 . . . 4 110 = 110
81 eqid 2771 . . . . 5 6542 = 6542
82 eqid 2771 . . . . 5 11 = 11
83 eqid 2771 . . . . . 6 654 = 654
8414, 15, 56, 83decsuc 11737 . . . . 5 (654 + 1) = 655
85 2p1e3 11353 . . . . 5 (2 + 1) = 3
8616, 17, 1, 1, 81, 82, 84, 85decadd 11771 . . . 4 (6542 + 11) = 6553
8752addid1i 10425 . . . 4 (7 + 0) = 7
8818, 19, 20, 21, 79, 80, 86, 87decadd 11771 . . 3 ((193 · 339) + 110) = 65537
89 10pos 11717 . . . 4 0 < 10
90 9nn 11394 . . . . 5 9 ∈ ℕ
91 1lt9 11431 . . . . 5 1 < 9
921, 1, 90, 91declt 11732 . . . 4 11 < 19
9320, 3, 21, 6, 89, 92decltc 11734 . . 3 110 < 193
945, 8, 11, 88, 93ndvdsi 15344 . 2 ¬ 193 ∥ 65537
95 fmtno4 41992 . . 3 (FermatNo‘4) = 65537
9695breq2i 4794 . 2 (193 ∥ (FermatNo‘4) ↔ 193 ∥ 65537)
9794, 96mtbir 312 1 ¬ 193 ∥ (FermatNo‘4)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   class class class wbr 4786  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  2c2 11272  3c3 11273  4c4 11274  5c5 11275  6c6 11276  7c7 11277  8c8 11278  9c9 11279  ;cdc 11695   ∥ cdvds 15189  FermatNocfmtno 41967 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-fmtno 41968 This theorem is referenced by:  fmtno4prm  42015
 Copyright terms: Public domain W3C validator