Theorem fmtno 41959

Description: The 𝑁 th Fermat number. (Contributed by AV, 13-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))

Proof of Theorem fmtno

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fmtno 41958	. . 3 ⊢ FermatNo = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → FermatNo = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(2↑𝑛)) + 1)))
3		oveq2 6800	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (2↑𝑛) = (2↑𝑁))
4	3	oveq2d 6808	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑁)))
5	4	oveq1d 6807	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
6	5	adantl 467	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
7		id 22	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		ovexd 6824	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ V)
9	2, 6, 7, 8	fvmptd 6430	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  Vcvv 3349   ↦ cmpt 4861  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  1c1 10138   + caddc 10140  2c2 11271  ℕ₀cn0 11493  ↑cexp 13066  FermatNocfmtno 41957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pr 5034

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fv 6039  df-ov 6795  df-fmtno 41958

This theorem is referenced by:  fmtnoge3  41960  fmtnom1nn  41962  fmtnoodd  41963  fmtnof1  41965  fmtnorec1  41967  fmtnosqrt  41969  fmtno0  41970  fmtno1  41971  fmtnorec2lem  41972  fmtnorec3  41978  fmtnorec4  41979  fmtno2  41980  fmtno3  41981  fmtno4  41982  fmtnoprmfac1lem  41994  fmtno4prm  42005  2pwp1prmfmtno  42022