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Theorem fmfnfmlem4 21808
Description: Lemma for fmfnfm 21809. (Contributed by Jeff Hankins, 19-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fmfnfm.b (𝜑𝐵 ∈ (fBas‘𝑌))
fmfnfm.l (𝜑𝐿 ∈ (Fil‘𝑋))
fmfnfm.f (𝜑𝐹:𝑌𝑋)
fmfnfm.fm (𝜑 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ⊆ 𝐿)
Assertion
Ref Expression
fmfnfmlem4 (𝜑 → (𝑡𝐿 ↔ (𝑡𝑋 ∧ ∃𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))(𝐹𝑠) ⊆ 𝑡)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝐵   𝐹,𝑠,𝑡,𝑥   𝐿,𝑠,𝑡,𝑥   𝜑,𝑠,𝑡,𝑥   𝑋,𝑠,𝑡,𝑥   𝑌,𝑠,𝑡,𝑥

Proof of Theorem fmfnfmlem4
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmfnfm.l . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (Fil‘𝑋))
2 filelss 21703 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑡𝐿) → 𝑡𝑋)
32ex 449 . . . 4 (𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑡𝐿𝑡𝑋))
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝐿𝑡𝑋))
5 fmfnfm.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ (fBas‘𝑌))
6 mptexg 6525 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ V)
7 rnexg 7140 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ V → ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ V)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) → ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ V)
91, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ V)
10 unexg 7001 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ V) → (𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ V)
115, 9, 10syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ V)
12 ssfii 8366 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ V → (𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))))
1312unssbd 3824 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ V → ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))))
1411, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))))
1514adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝐿) → ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))))
16 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝐹𝑡) = (𝐹𝑡)
17 imaeq2 5497 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑡 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑡))
1817eqeq2d 2661 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑡 → ((𝐹𝑡) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑡) = (𝐹𝑡)))
1918rspcev 3340 . . . . . . . . 9 ((𝑡𝐿 ∧ (𝐹𝑡) = (𝐹𝑡)) → ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑡) = (𝐹𝑥))
2016, 19mpan2 707 . . . . . . . 8 (𝑡𝐿 → ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑡) = (𝐹𝑥))
2120adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐿) → ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑡) = (𝐹𝑥))
22 elfvdm 6258 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝑌 ∈ dom fBas)
235, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ dom fBas)
24 cnvimass 5520 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑡) ⊆ dom 𝐹
25 fmfnfm.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑌𝑋)
26 fdm 6089 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑌𝑋 → dom 𝐹 = 𝑌)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑌)
2824, 27syl5sseq 3686 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑡) ⊆ 𝑌)
2923, 28ssexd 4838 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑡) ∈ V)
3029adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝐿) → (𝐹𝑡) ∈ V)
31 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))
3231elrnmpt 5404 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑡) ∈ V → ((𝐹𝑡) ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ↔ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑡) = (𝐹𝑥)))
3330, 32syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐿) → ((𝐹𝑡) ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ↔ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑡) = (𝐹𝑥)))
3421, 33mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝐿) → (𝐹𝑡) ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))
3515, 34sseldd 3637 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝐿) → (𝐹𝑡) ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))))
36 ffun 6086 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑌𝑋 → Fun 𝐹)
37 ssid 3657 . . . . . . . 8 (𝐹𝑡) ⊆ (𝐹𝑡)
38 funimass2 6010 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹𝑡) ⊆ (𝐹𝑡)) → (𝐹 “ (𝐹𝑡)) ⊆ 𝑡)
3936, 37, 38sylancl 695 . . . . . . 7 (𝐹:𝑌𝑋 → (𝐹 “ (𝐹𝑡)) ⊆ 𝑡)
4025, 39syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐹𝑡)) ⊆ 𝑡)
4140adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝐿) → (𝐹 “ (𝐹𝑡)) ⊆ 𝑡)
42 imaeq2 5497 . . . . . . 7 (𝑠 = (𝐹𝑡) → (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝐹𝑡)))
4342sseq1d 3665 . . . . . 6 (𝑠 = (𝐹𝑡) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 ↔ (𝐹 “ (𝐹𝑡)) ⊆ 𝑡))
4443rspcev 3340 . . . . 5 (((𝐹𝑡) ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))) ∧ (𝐹 “ (𝐹𝑡)) ⊆ 𝑡) → ∃𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))(𝐹𝑠) ⊆ 𝑡)
4535, 41, 44syl2anc 694 . . . 4 ((𝜑𝑡𝐿) → ∃𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))(𝐹𝑠) ⊆ 𝑡)
4645ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝐿 → ∃𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))(𝐹𝑠) ⊆ 𝑡))
474, 46jcad 554 . 2 (𝜑 → (𝑡𝐿 → (𝑡𝑋 ∧ ∃𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))(𝐹𝑠) ⊆ 𝑡)))
48 elfiun 8377 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ V) → (𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))) ↔ (𝑠 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝑠 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ∨ ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑤 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))𝑠 = (𝑧𝑤))))
495, 9, 48syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))) ↔ (𝑠 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝑠 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ∨ ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑤 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))𝑠 = (𝑧𝑤))))
50 fmfnfm.fm . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ⊆ 𝐿)
515, 1, 25, 50fmfnfmlem1 21805 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (fi‘𝐵) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
525, 1, 25, 50fmfnfmlem3 21807 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) = ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))
5352eleq2d 2716 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ↔ 𝑠 ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))
54 vex 3234 . . . . . . . . . 10 𝑠 ∈ V
5531elrnmpt 5404 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ↔ ∃𝑥𝐿 𝑠 = (𝐹𝑥)))
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ↔ ∃𝑥𝐿 𝑠 = (𝐹𝑥))
575, 1, 25, 50fmfnfmlem2 21806 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑥𝐿 𝑠 = (𝐹𝑥) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
5856, 57syl5bi 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
5953, 58sylbid 230 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
6052eleq2d 2716 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑤 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ↔ 𝑤 ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))
61 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑤 ∈ V
6231elrnmpt 5404 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ↔ ∃𝑥𝐿 𝑤 = (𝐹𝑥)))
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)) ↔ ∃𝑥𝐿 𝑤 = (𝐹𝑥))
6460, 63syl6bb 276 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑤 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ↔ ∃𝑥𝐿 𝑤 = (𝐹𝑥)))
6564adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (fi‘𝐵)) → (𝑤 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ↔ ∃𝑥𝐿 𝑤 = (𝐹𝑥)))
66 fbssfi 21688 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵)) → ∃𝑠𝐵 𝑠𝑧)
675, 66sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (fi‘𝐵)) → ∃𝑠𝐵 𝑠𝑧)
681ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ ((𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡𝑡𝑋)) → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑋))
691adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑋))
7050adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑠𝐵) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ⊆ 𝐿)
71 filtop 21706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋𝐿)
721, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝑋𝐿)
7372, 5, 253jca 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝑋𝐿𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋))
7473adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑠𝐵) → (𝑋𝐿𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋))
75 ssfg 21723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐵 ⊆ (𝑌filGen𝐵))
765, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐵 ⊆ (𝑌filGen𝐵))
7776sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑠𝐵) → 𝑠 ∈ (𝑌filGen𝐵))
78 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑌filGen𝐵) = (𝑌filGen𝐵)
7978imaelfm 21802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋𝐿𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑠 ∈ (𝑌filGen𝐵)) → (𝐹𝑠) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵))
8074, 77, 79syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑠𝐵) → (𝐹𝑠) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵))
8170, 80sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑠𝐵) → (𝐹𝑠) ∈ 𝐿)
8281adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) → (𝐹𝑠) ∈ 𝐿)
8369, 82jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) → (𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐹𝑠) ∈ 𝐿))
84 filin 21705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐹𝑠) ∈ 𝐿𝑥𝐿) → ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) ∈ 𝐿)
85843expa 1284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐹𝑠) ∈ 𝐿) ∧ 𝑥𝐿) → ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) ∈ 𝐿)
8683, 85sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) → ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) ∈ 𝐿)
8786adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ ((𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡𝑡𝑋)) → ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) ∈ 𝐿)
88 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ ((𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡𝑡𝑋)) → 𝑡𝑋)
89 elin 3829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) ↔ (𝑤 ∈ (𝐹𝑠) ∧ 𝑤𝑥))
9025, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → Fun 𝐹)
91 fvelima 6287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((Fun 𝐹𝑤 ∈ (𝐹𝑠)) → ∃𝑦𝑠 (𝐹𝑦) = 𝑤)
9291ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (Fun 𝐹 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑠) → ∃𝑦𝑠 (𝐹𝑦) = 𝑤))
9390, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐹𝑠) → ∃𝑦𝑠 (𝐹𝑦) = 𝑤))
9493ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ 𝑡𝑋) → (𝑤 ∈ (𝐹𝑠) → ∃𝑦𝑠 (𝐹𝑦) = 𝑤))
9590ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ (𝑡𝑋 ∧ (𝑦𝑠 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑥))) → Fun 𝐹)
96 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) → 𝑠𝑧)
97 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑡𝑋 ∧ (𝑦𝑠 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑥)) → 𝑦𝑠)
98 ssel2 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑠𝑧𝑦𝑠) → 𝑦𝑧)
9996, 97, 98syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ (𝑡𝑋 ∧ (𝑦𝑠 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑥))) → 𝑦𝑧)
10090ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑦𝑠) → Fun 𝐹)
101 fbelss 21684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑠𝐵) → 𝑠𝑌)
1025, 101sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑠𝐵) → 𝑠𝑌)
10327adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑠𝐵) → dom 𝐹 = 𝑌)
104102, 103sseqtr4d 3675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑠𝐵) → 𝑠 ⊆ dom 𝐹)
105104adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) → 𝑠 ⊆ dom 𝐹)
106105sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑦𝑠) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
107 fvimacnv 6372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝑦 ∈ (𝐹𝑥)))
108100, 106, 107syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑦𝑠) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝑦 ∈ (𝐹𝑥)))
109108biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑦𝑠) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝑦 ∈ (𝐹𝑥)))
110109impr 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ (𝑦𝑠 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑥)) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑥))
111110ad2ant2rl 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ (𝑡𝑋 ∧ (𝑦𝑠 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑥))) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑥))
11299, 111elind 3831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ (𝑡𝑋 ∧ (𝑦𝑠 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑥))) → 𝑦 ∈ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)))
113 inss2 3867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)) ⊆ (𝐹𝑥)
114 cnvimass 5520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐹𝑥) ⊆ dom 𝐹
115113, 114sstri 3645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)) ⊆ dom 𝐹
116 funfvima2 6533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((Fun 𝐹 ∧ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)) ⊆ dom 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)))))
117115, 116mpan2 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (Fun 𝐹 → (𝑦 ∈ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)))))
11895, 112, 117sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ (𝑡𝑋 ∧ (𝑦𝑠 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑥))) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))))
119118anassrs 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ 𝑡𝑋) ∧ (𝑦𝑠 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑥)) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))))
120119expr 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ 𝑡𝑋) ∧ 𝑦𝑠) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥 → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)))))
121 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑥𝑤𝑥))
122 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → ((𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)))))
123121, 122imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → (((𝐹𝑦) ∈ 𝑥 → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)))) ↔ (𝑤𝑥𝑤 ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))))))
124120, 123syl5ibcom 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ 𝑡𝑋) ∧ 𝑦𝑠) → ((𝐹𝑦) = 𝑤 → (𝑤𝑥𝑤 ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))))))
125124rexlimdva 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ 𝑡𝑋) → (∃𝑦𝑠 (𝐹𝑦) = 𝑤 → (𝑤𝑥𝑤 ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))))))
12694, 125syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ 𝑡𝑋) → (𝑤 ∈ (𝐹𝑠) → (𝑤𝑥𝑤 ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))))))
127126impd 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ 𝑡𝑋) → ((𝑤 ∈ (𝐹𝑠) ∧ 𝑤𝑥) → 𝑤 ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)))))
12889, 127syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ 𝑡𝑋) → (𝑤 ∈ ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) → 𝑤 ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)))))
129128adantrl 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ ((𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡𝑡𝑋)) → (𝑤 ∈ ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) → 𝑤 ∈ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)))))
130129ssrdv 3642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ ((𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡𝑡𝑋)) → ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) ⊆ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))))
131 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ ((𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡𝑡𝑋)) → (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡)
132130, 131sstrd 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ ((𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡𝑡𝑋)) → ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) ⊆ 𝑡)
133 filss 21704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) ∈ 𝐿𝑡𝑋 ∧ ((𝐹𝑠) ∩ 𝑥) ⊆ 𝑡)) → 𝑡𝐿)
13468, 87, 88, 132, 133syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) ∧ ((𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡𝑡𝑋)) → 𝑡𝐿)
135134exp32 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) → ((𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿)))
136 ineq2 3841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = (𝐹𝑥) → (𝑧𝑤) = (𝑧 ∩ (𝐹𝑥)))
137136imaeq2d 5501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = (𝐹𝑥) → (𝐹 “ (𝑧𝑤)) = (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))))
138137sseq1d 3665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = (𝐹𝑥) → ((𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡 ↔ (𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡))
139138imbi1d 330 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = (𝐹𝑥) → (((𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿)) ↔ ((𝐹 “ (𝑧 ∩ (𝐹𝑥))) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
140135, 139syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) ∧ 𝑥𝐿) → (𝑤 = (𝐹𝑥) → ((𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
141140rexlimdva 3060 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑠𝑧)) → (∃𝑥𝐿 𝑤 = (𝐹𝑥) → ((𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
142141rexlimdvaa 3061 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∃𝑠𝐵 𝑠𝑧 → (∃𝑥𝐿 𝑤 = (𝐹𝑥) → ((𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿)))))
143142imp 444 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ∃𝑠𝐵 𝑠𝑧) → (∃𝑥𝐿 𝑤 = (𝐹𝑥) → ((𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
14467, 143syldan 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (fi‘𝐵)) → (∃𝑥𝐿 𝑤 = (𝐹𝑥) → ((𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
14565, 144sylbid 230 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (fi‘𝐵)) → (𝑤 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) → ((𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
146145impr 648 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))) → ((𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿)))
147 imaeq2 5497 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = (𝑧𝑤) → (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝑧𝑤)))
148147sseq1d 3665 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝑧𝑤) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 ↔ (𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡))
149148imbi1d 330 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝑧𝑤) → (((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿)) ↔ ((𝐹 “ (𝑧𝑤)) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
150146, 149syl5ibrcom 237 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))) → (𝑠 = (𝑧𝑤) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
151150rexlimdvva 3067 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑤 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))𝑠 = (𝑧𝑤) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
15251, 59, 1513jaod 1432 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝑠 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))) ∨ ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑤 ∈ (fi‘ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))𝑠 = (𝑧𝑤)) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
15349, 152sylbid 230 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥)))) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
154153rexlimdv 3059 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))(𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿)))
155154com23 86 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝑋 → (∃𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))(𝐹𝑠) ⊆ 𝑡𝑡𝐿)))
156155impd 446 . 2 (𝜑 → ((𝑡𝑋 ∧ ∃𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))(𝐹𝑠) ⊆ 𝑡) → 𝑡𝐿))
15747, 156impbid 202 1 (𝜑 → (𝑡𝐿 ↔ (𝑡𝑋 ∧ ∃𝑠 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ ran (𝑥𝐿 ↦ (𝐹𝑥))))(𝐹𝑠) ⊆ 𝑡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3o 1053  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wrex 2942  Vcvv 3231  cun 3605  cin 3606  wss 3607  cmpt 4762  ccnv 5142  dom cdm 5143  ran crn 5144  cima 5146  Fun wfun 5920  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  ficfi 8357  fBascfbas 19782  filGencfg 19783  Filcfil 21696   FilMap cfm 21784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-fin 8001  df-fi 8358  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-fil 21697  df-fm 21789
This theorem is referenced by:  fmfnfm  21809
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