MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmfnfmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmfnfmlem1 21959
Description: Lemma for fmfnfm 21963. (Contributed by Jeff Hankins, 18-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fmfnfm.b (𝜑𝐵 ∈ (fBas‘𝑌))
fmfnfm.l (𝜑𝐿 ∈ (Fil‘𝑋))
fmfnfm.f (𝜑𝐹:𝑌𝑋)
fmfnfm.fm (𝜑 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ⊆ 𝐿)
Assertion
Ref Expression
fmfnfmlem1 (𝜑 → (𝑠 ∈ (fi‘𝐵) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐵   𝐹,𝑠,𝑡   𝐿,𝑠,𝑡   𝜑,𝑠,𝑡   𝑋,𝑠,𝑡   𝑌,𝑠,𝑡

Proof of Theorem fmfnfmlem1
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmfnfm.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (fBas‘𝑌))
2 fbssfi 21842 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → ∃𝑤𝐵 𝑤𝑠)
31, 2sylan 489 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → ∃𝑤𝐵 𝑤𝑠)
4 sstr2 3751 . . . . . 6 ((𝐹𝑤) ⊆ (𝐹𝑠) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝐹𝑤) ⊆ 𝑡))
5 imass2 5659 . . . . . 6 (𝑤𝑠 → (𝐹𝑤) ⊆ (𝐹𝑠))
64, 5syl11 33 . . . . 5 ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑤𝑠 → (𝐹𝑤) ⊆ 𝑡))
76reximdv 3154 . . . 4 ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (∃𝑤𝐵 𝑤𝑠 → ∃𝑤𝐵 (𝐹𝑤) ⊆ 𝑡))
83, 7syl5com 31 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → ∃𝑤𝐵 (𝐹𝑤) ⊆ 𝑡))
9 fmfnfm.l . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 ∈ (Fil‘𝑋))
10 filtop 21860 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋𝐿)
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐿)
12 fmfnfm.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑌𝑋)
13 elfm 21952 . . . . . . 7 ((𝑋𝐿𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝑡 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ (𝑡𝑋 ∧ ∃𝑤𝐵 (𝐹𝑤) ⊆ 𝑡)))
1411, 1, 12, 13syl3anc 1477 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ (𝑡𝑋 ∧ ∃𝑤𝐵 (𝐹𝑤) ⊆ 𝑡)))
15 fmfnfm.fm . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ⊆ 𝐿)
1615sseld 3743 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) → 𝑡𝐿))
1714, 16sylbird 250 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑡𝑋 ∧ ∃𝑤𝐵 (𝐹𝑤) ⊆ 𝑡) → 𝑡𝐿))
1817expcomd 453 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑤𝐵 (𝐹𝑤) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿)))
1918adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → (∃𝑤𝐵 (𝐹𝑤) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿)))
208, 19syld 47 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (fi‘𝐵)) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿)))
2120ex 449 1 (𝜑 → (𝑠 ∈ (fi‘𝐵) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑡 → (𝑡𝑋𝑡𝐿))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2139  wrex 3051  wss 3715  cima 5269  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  ficfi 8481  fBascfbas 19936  Filcfil 21850   FilMap cfm 21938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-fin 8125  df-fi 8482  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-fil 21851  df-fm 21943
This theorem is referenced by:  fmfnfmlem4  21962
  Copyright terms: Public domain W3C validator