Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmcncfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmcncfil 30318
Description: The image of a Cauchy filter by a continuous filter map is a Cauchy filter. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmcncfil.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
fmcncfil.2 𝐾 = (MetOpen‘𝐸)
Assertion
Ref Expression
fmcncfil (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐸))

Proof of Theorem fmcncfil
Dummy variables 𝑒 𝑏 𝑥 𝑦 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1227 . 2 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌))
2 simpl1 1225 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
3 fmcncfil.1 . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
43cmetcvg 23308 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐽 fLim 𝐵) ≠ ∅)
5 n0 4075 . . . . . 6 ((𝐽 fLim 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵))
64, 5sylib 208 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵))
72, 6sylancom 701 . . . 4 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵))
8 cmetmet 23309 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
9 metxmet 22365 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
102, 8, 93syl 18 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11 cfilfil 23290 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐵 ∈ (Fil‘𝑋))
1210, 11sylancom 701 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐵 ∈ (Fil‘𝑋))
133mopntopon 22470 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
1410, 13syl 17 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
15 fmcncfil.2 . . . . . . . . 9 𝐾 = (MetOpen‘𝐸)
1615mopntopon 22470 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
171, 16syl 17 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
18 simpl3 1229 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
19 cnflf 22032 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑏 ∈ (Fil‘𝑋)∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹))))
2019simplbda 652 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ∀𝑏 ∈ (Fil‘𝑋)∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹))
2114, 17, 18, 20syl21anc 1473 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑏 ∈ (Fil‘𝑋)∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹))
22 oveq2 6799 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐵 → (𝐽 fLim 𝑏) = (𝐽 fLim 𝐵))
23 oveq2 6799 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐵 → (𝐾 fLimf 𝑏) = (𝐾 fLimf 𝐵))
2423fveq1d 6333 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹) = ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))
2524eleq2d 2834 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹) ↔ (𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹)))
2622, 25raleqbidv 3299 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹)))
2726rspcv 3453 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (Fil‘𝑋) → (∀𝑏 ∈ (Fil‘𝑋)∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑏)(𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝑏)‘𝐹) → ∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹)))
2812, 21, 27sylc 65 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))
29 df-ral 3064 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹)))
3028, 29sylib 208 . . . 4 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹)))
31 19.29r 1952 . . . . 5 ((∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))))
32 pm3.35 613 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))) → (𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))
3332eximi 1908 . . . . 5 (∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))) → ∃𝑥(𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))
3431, 33syl 17 . . . 4 ((∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))) → ∃𝑥(𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))
357, 30, 34syl2anc 693 . . 3 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∃𝑥(𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹))
363, 15metcn 22574 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦𝑋 ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑 → ((𝐹𝑥)𝐸(𝐹𝑦)) < 𝑒))))
3736biimpa 503 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦𝑋 ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑 → ((𝐹𝑥)𝐸(𝐹𝑦)) < 𝑒)))
3810, 1, 18, 37syl21anc 1473 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦𝑋 ((𝑥𝐷𝑦) < 𝑑 → ((𝐹𝑥)𝐸(𝐹𝑦)) < 𝑒)))
3938simpld 478 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐹:𝑋𝑌)
40 flfval 22020 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐵 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹) = (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵)))
4117, 12, 39, 40syl3anc 1474 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹) = (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵)))
4241eleq2d 2834 . . . 4 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹) ↔ (𝐹𝑥) ∈ (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵))))
4342exbidv 2000 . . 3 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (∃𝑥(𝐹𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf 𝐵)‘𝐹) ↔ ∃𝑥(𝐹𝑥) ∈ (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵))))
4435, 43mpbid 222 . 2 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∃𝑥(𝐹𝑥) ∈ (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵)))
4515flimcfil 23337 . . . 4 ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵))) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐸))
4645ex 448 . . 3 (𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) → ((𝐹𝑥) ∈ (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵)) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐸)))
4746exlimdv 2011 . 2 (𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) → (∃𝑥(𝐹𝑥) ∈ (𝐾 fLim ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵)) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐸)))
481, 44, 47sylc 65 1 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝐵 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((𝑌 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1069  wal 1627   = wceq 1629  wex 1850  wcel 2143  wne 2941  wral 3059  wrex 3060  c0 4060   class class class wbr 4783  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6791   < clt 10274  +crp 12034  ∞Metcxmt 19952  Metcme 19953  MetOpencmopn 19957  TopOnctopon 20941   Cn ccn 21255  Filcfil 21875   FilMap cfm 21963   fLim cflim 21964   fLimf cflf 21965  CauFilccfil 23275  CMetcms 23277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-map 8009  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-sup 8502  df-inf 8503  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ico 12385  df-topgen 16318  df-psmet 19959  df-xmet 19960  df-met 19961  df-bl 19962  df-mopn 19963  df-fbas 19964  df-fg 19965  df-top 20925  df-topon 20942  df-bases 20977  df-ntr 21051  df-nei 21129  df-cn 21258  df-cnp 21259  df-fil 21876  df-fm 21968  df-flim 21969  df-flf 21970  df-cfil 23278  df-cmet 23280
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator