MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flodddiv4t2lthalf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flodddiv4t2lthalf 15347
Description: The floor of an odd number divided by 4, multiplied by 2 is less than the half of the odd number. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
flodddiv4t2lthalf ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < (𝑁 / 2))

Proof of Theorem flodddiv4t2lthalf
StepHypRef Expression
1 flodddiv4lt 15346 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 4)) < (𝑁 / 4))
2 zre 11582 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3 4re 11298 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℝ)
5 4ne0 11318 . . . . . . . . 9 4 ≠ 0
65a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 4 ≠ 0)
72, 4, 6redivcld 11054 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
87flcld 12806 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℤ)
98zred 11683 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
10 2rp 12039 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
1110a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
129, 7, 11ltmul1d 12115 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) < (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < ((𝑁 / 4) · 2)))
1312adantr 466 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) < (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < ((𝑁 / 4) · 2)))
141, 13mpbid 222 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < ((𝑁 / 4) · 2))
15 zcn 11583 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
1615halfcld 11478 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
17 2cnd 11294 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
18 2ne0 11314 . . . . . 6 2 ≠ 0
1918a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
2016, 17, 19divcan1d 11003 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 / 2) / 2) · 2) = (𝑁 / 2))
21 2cnne0 11443 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
23 divdiv1 10937 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
2415, 22, 22, 23syl3anc 1475 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
25 2t2e4 11378 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
2625a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 2) = 4)
2726oveq2d 6808 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / (2 · 2)) = (𝑁 / 4))
2824, 27eqtrd 2804 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / 4))
2928oveq1d 6807 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 / 2) / 2) · 2) = ((𝑁 / 4) · 2))
3020, 29eqtr3d 2806 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) = ((𝑁 / 4) · 2))
3130adantr 466 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) = ((𝑁 / 4) · 2))
3214, 31breqtrrd 4812 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < (𝑁 / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942   class class class wbr 4784  cfv 6031  (class class class)co 6792  cc 10135  cr 10136  0cc0 10137   · cmul 10142   < clt 10275   / cdiv 10885  2c2 11271  4c4 11273  cz 11578  +crp 12034  cfl 12798  cdvds 15188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fl 12800  df-dvds 15189
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0e  25305
  Copyright terms: Public domain W3C validator