MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flhalf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flhalf 12839
Description: Ordering relation for the floor of half of an integer. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
flhalf (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))))

Proof of Theorem flhalf
StepHypRef Expression
1 zre 11588 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2 peano2re 10415 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
43rehalfcld 11486 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℝ)
5 flltp1 12809 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℝ → ((𝑁 + 1) / 2) < ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1))
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) < ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1))
74flcld 12807 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ)
87zred 11689 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℝ)
9 1red 10261 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
108, 9readdcld 10275 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1) ∈ ℝ)
11 2rp 12040 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
1211a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
133, 10, 12ltdivmuld 12126 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) < ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1) ↔ (𝑁 + 1) < (2 · ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1))))
146, 13mpbid 222 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) < (2 · ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1)))
159recnd 10274 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
16152timesd 11482 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 1) = (1 + 1))
1716oveq2d 6812 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + (2 · 1)) = ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + (1 + 1)))
18 2cnd 11299 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
198recnd 10274 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℂ)
2018, 19, 15adddid 10270 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1)) = ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + (2 · 1)))
21 2re 11296 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
2322, 8remulcld 10276 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ∈ ℝ)
2423recnd 10274 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ∈ ℂ)
2524, 15, 15addassd 10268 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) + 1) = ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + (1 + 1)))
2617, 20, 253eqtr4d 2815 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1)) = (((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) + 1))
2714, 26breqtrd 4813 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) < (((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) + 1))
2823, 9readdcld 10275 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) ∈ ℝ)
291, 28, 9ltadd1d 10826 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) ↔ (𝑁 + 1) < (((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) + 1)))
3027, 29mpbird 247 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 < ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1))
31 2z 11616 . . . . 5 2 ∈ ℤ
3231a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
3332, 7zmulcld 11695 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ∈ ℤ)
34 zleltp1 11635 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ↔ 𝑁 < ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1)))
3533, 34mpdan 667 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ↔ 𝑁 < ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1)))
3630, 35mpbird 247 1 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wcel 2145   class class class wbr 4787  cfv 6030  (class class class)co 6796  cr 10141  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147   < clt 10280  cle 10281   / cdiv 10890  2c2 11276  cz 11584  +crp 12035  cfl 12799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8508  df-inf 8509  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fl 12801
This theorem is referenced by:  ovolunlem1a  23484
  Copyright terms: Public domain W3C validator