MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flge0nn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flge0nn0 12811
Description: The floor of a number greater than or equal to 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
flge0nn0 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem flge0nn0
StepHypRef Expression
1 flcl 12786 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
21adantr 472 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3 0z 11576 . . . 4 0 ∈ ℤ
4 flge 12796 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
53, 4mpan2 709 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
65biimpa 502 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (⌊‘𝐴))
7 elnn0z 11578 . 2 ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
82, 6, 7sylanbrc 701 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2135   class class class wbr 4800  cfv 6045  cr 10123  0cc0 10124  cle 10263  0cn0 11480  cz 11565  cfl 12781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-sup 8509  df-inf 8510  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-n0 11481  df-z 11566  df-uz 11876  df-fl 12783
This theorem is referenced by:  fldivnn0  12813  expnbnd  13183  facavg  13278  o1fsum  14740  efcllem  15003  odzdvds  15698  prmreclem3  15820  1arith  15829  odmodnn0  18155  lebnumii  22962  lmnn  23257  vitalilem4  23575  mbfi1fseqlem1  23677  mbfi1fseqlem3  23679  mbfi1fseqlem5  23681  harmoniclbnd  24930  harmonicbnd4  24932  fsumharmonic  24933  ppiltx  25098  logfac2  25137  chpval2  25138  chpchtsum  25139  chpub  25140  logfaclbnd  25142  logfacbnd3  25143  logfacrlim  25144  bposlem1  25204  gausslemma2dlem0d  25279  lgsquadlem2  25301  chtppilimlem1  25357  vmadivsum  25366  rpvmasumlem  25371  dchrisumlema  25372  dchrisumlem1  25373  dchrisum0lem1b  25399  dchrisum0lem1  25400  dchrisum0lem2a  25401  dchrisum0lem3  25403  mudivsum  25414  mulogsumlem  25415  selberglem2  25430  selberg2lem  25434  pntrsumo1  25449  pntrlog2bndlem2  25462  pntrlog2bndlem4  25464  pntrlog2bndlem6a  25466  pntpbnd1  25470  pntpbnd2  25471  pntlemg  25482  pntlemj  25487  pntlemf  25489  ostth2lem2  25518  ostth2lem3  25519  minvecolem3  28037  minvecolem4  28041  itg2addnclem2  33771  irrapxlem4  37887  irrapxlem5  37888  recnnltrp  40087  rpgtrecnn  40091  ioodvbdlimc1lem2  40646  ioodvbdlimc2lem  40648  fourierdlem47  40869  vonioolem1  41396  fllog2  42868  blennnelnn  42876  dignnld  42903  dignn0flhalf  42918
  Copyright terms: Public domain W3C validator